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摘 要：Matlab具有强大的科学运算和灵活的程序设计，可提供高质量的图像可视化，已经在很多领域得到广泛应用。分形是非线性科学的重要分支，分形几何学却具有尺度上的对称性，分型图形是计算机图形学和分形理论相结合的产物。该文利用Matlab强大的编程工具和图形显示功能实现Cantor集、Koch曲线、分形树图形，这对数学类、计算机图形学和相关专业类研究人员有一定的参考价值。
关键词：分形 Matlab Cantor集 Koch曲线
中图分类号：TP312 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）01（b）-0105-02
Matlab是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。Matlab提供了强大的科学运算、灵活的程序设计、高质量的图像可视化以及便捷地与其他程序和语言接口的功能[1，2]。目前，Matlab已經应用到很多科研领域，如，生物信息学[3]、统计学[4]、信号处理[5]、小波分析[6]等。
分形（Fractal）是非线性科学的一个重要分支，应用于自然科学和社会科学的众多领域[7-9]。1973年，数学家Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分形的思想。他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的，已失去了通常的几何对称性。但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性或称标度不变性。
分形图形是计算机图形学和分形理论相结合的产物，在电脑模拟研究具有分形特征物体的图像。分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态（如，山脉、花草等）得以表达。分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。
该文中利用强大的编程工具Matlab来实现Cantor集、Koch曲线、分形树图形，这对数学类、计算机图形学和相关专业类研究人员有一定的参考价值。
1 Cantor集
取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为Cantor集。具体代码如下。
function f=cantor（ax，ay，bx，by）
c=0.2；
d=2；
if （bx-ax）>c
x=[ax，bx]；y=[ay，by]；hold on；
plot（x，y，’LineWidth’，5）；hold off；
cx=ax+（bx-ax）/3；
cy=ay-d；
dx=bx-（bx-ax）/3；
dy=by-d；
ay=ay-d；
by=by-d；
cantor（ax，ay，cx，cy）；
cantor（dx，dy，bx，by）；
end
end
执行cantor（1，4，10，4），结果显示如图1。
2 Koch曲线
Koch曲线，设想从一条直线段开始，将线段中间1/3部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形，在新的图形中，又将图中每一直线段中间的1/3部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形，以此重复，直至无穷。外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。具体代码如下。
function f=Koch（ax，ay，bx，by，c）
if （bx-ax）^2+（by-ay）^2 x=[ax，bx]；y=[ay，by]；
plot（x，y，’LineWidth’，2）；
axis equal
hold on；
else
cx=ax+（bx-ax）/3； cy=ay+（by-ay）/3；
ex=bx-（bx-ax）/3； ey=by-（by-ay）/3；
l=sqrt（（ex-cx）^2+（ey-cy）^2）；
alpha=atan（（ey-cy）/（ex-cx））；
if （alpha>=0&（ex-cx）<0）|（alpha<=0&（ex-cx）<0）
alpha=alpha+pi；
end
dy=cy+sin（alpha+pi/3）*l；
dx=cx+cos（alpha+pi/3）*l；
Koch（ax，ay，cx，cy，c）；
Koch（ex，ey，bx，by，c）；
Koch（cx，cy，dx，dy，c）；
Koch（dx，dy，ex，ey，c）；
end
end
执行Koch（0，0，120，0，10），结果显示如图2。
3 分形树
一条线段，以线段的终点为起点向两边分出一定的角度、长度的两条线段，分出的线段的终点再做相同处理，以此类推，生成一种分形树。具体代码如下。
function fractaltree（n，ax，ay，len，angle） bx=ax+len*cos（angle）；
by=ay+len*sin（angle）；
plot（[ax，bx]，[ay，by]）；
angle1=pi/6；
angle2=pi/9；
hold on
if n==0
return；
end
fractaltree（n-1，bx，by，0.6*len，angle+angle1）；
fractaltree（n-1，bx，by，0.7*len，angle-angle2）；
end
執行fractaltree（12，150，20，50，pi/2），结果显示如图3。
4 结语
分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要。分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息做大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。
参考文献
[1] 姜健飞.数值分析及其MATLAB实验[M].北京：清华大学出版社，2015.
[2] 史峰.MATLAB智能算法30个案例分析[M].北京：北京航空航天大学出版社，2015.
[3] 张乐平，黄非，闵波，等.基于MATLAB生物信息学工具箱构建分子系统发生树[J].医学信息学杂志，2010，31（6）：34-37.
[4] 张林泉.MATLAB在统计学实验教学中的应用[J].高师理科学刊，2011，31（1）：84-87.
[5] 刘波，文忠.MATLAB信号处理[M].北京：电子工业出版社，2006.
[6] 张德丰.MATLAB小波分析[M].北京：机械工业出版社，2009.
[7] 刘莹，胡敏，余桂英，等.分形理论及其应用[J].江西科学，2006，24（2）：205-209.
[8] 孙霞，吴自勤，黄畵.分形原理及应用[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2003.
[9] 王达.几类复系统分形的特性分析与控制[D].山东大学，2016.
关键词：分形 Matlab Cantor集 Koch曲线
中图分类号：TP312 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）01（b）-0105-02
Matlab是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。Matlab提供了强大的科学运算、灵活的程序设计、高质量的图像可视化以及便捷地与其他程序和语言接口的功能[1，2]。目前，Matlab已經应用到很多科研领域，如，生物信息学[3]、统计学[4]、信号处理[5]、小波分析[6]等。
分形（Fractal）是非线性科学的一个重要分支，应用于自然科学和社会科学的众多领域[7-9]。1973年，数学家Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分形的思想。他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的，已失去了通常的几何对称性。但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性或称标度不变性。
分形图形是计算机图形学和分形理论相结合的产物，在电脑模拟研究具有分形特征物体的图像。分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态（如，山脉、花草等）得以表达。分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。
该文中利用强大的编程工具Matlab来实现Cantor集、Koch曲线、分形树图形，这对数学类、计算机图形学和相关专业类研究人员有一定的参考价值。
1 Cantor集
取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为Cantor集。具体代码如下。
function f=cantor（ax，ay，bx，by）
c=0.2；
d=2；
if （bx-ax）>c
x=[ax，bx]；y=[ay，by]；hold on；
plot（x，y，’LineWidth’，5）；hold off；
cx=ax+（bx-ax）/3；
cy=ay-d；
dx=bx-（bx-ax）/3；
dy=by-d；
ay=ay-d；
by=by-d；
cantor（ax，ay，cx，cy）；
cantor（dx，dy，bx，by）；
end
end
执行cantor（1，4，10，4），结果显示如图1。
2 Koch曲线
Koch曲线，设想从一条直线段开始，将线段中间1/3部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形，在新的图形中，又将图中每一直线段中间的1/3部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形，以此重复，直至无穷。外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。具体代码如下。
function f=Koch（ax，ay，bx，by，c）
if （bx-ax）^2+（by-ay）^2
plot（x，y，’LineWidth’，2）；
axis equal
hold on；
else
cx=ax+（bx-ax）/3； cy=ay+（by-ay）/3；
ex=bx-（bx-ax）/3； ey=by-（by-ay）/3；
l=sqrt（（ex-cx）^2+（ey-cy）^2）；
alpha=atan（（ey-cy）/（ex-cx））；
if （alpha>=0&（ex-cx）<0）|（alpha<=0&（ex-cx）<0）
alpha=alpha+pi；
end
dy=cy+sin（alpha+pi/3）*l；
dx=cx+cos（alpha+pi/3）*l；
Koch（ax，ay，cx，cy，c）；
Koch（ex，ey，bx，by，c）；
Koch（cx，cy，dx，dy，c）；
Koch（dx，dy，ex，ey，c）；
end
end
执行Koch（0，0，120，0，10），结果显示如图2。
3 分形树
一条线段，以线段的终点为起点向两边分出一定的角度、长度的两条线段，分出的线段的终点再做相同处理，以此类推，生成一种分形树。具体代码如下。
function fractaltree（n，ax，ay，len，angle） bx=ax+len*cos（angle）；
by=ay+len*sin（angle）；
plot（[ax，bx]，[ay，by]）；
angle1=pi/6；
angle2=pi/9；
hold on
if n==0
return；
end
fractaltree（n-1，bx，by，0.6*len，angle+angle1）；
fractaltree（n-1，bx，by，0.7*len，angle-angle2）；
end
執行fractaltree（12，150，20，50，pi/2），结果显示如图3。
4 结语
分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及其内在联系的需要。分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息做大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。
参考文献
[1] 姜健飞.数值分析及其MATLAB实验[M].北京：清华大学出版社，2015.
[2] 史峰.MATLAB智能算法30个案例分析[M].北京：北京航空航天大学出版社，2015.
[3] 张乐平，黄非，闵波，等.基于MATLAB生物信息学工具箱构建分子系统发生树[J].医学信息学杂志，2010，31（6）：34-37.
[4] 张林泉.MATLAB在统计学实验教学中的应用[J].高师理科学刊，2011，31（1）：84-87.
[5] 刘波，文忠.MATLAB信号处理[M].北京：电子工业出版社，2006.
[6] 张德丰.MATLAB小波分析[M].北京：机械工业出版社，2009.
[7] 刘莹，胡敏，余桂英，等.分形理论及其应用[J].江西科学，2006，24（2）：205-209.
[8] 孙霞，吴自勤，黄畵.分形原理及应用[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2003.
[9] 王达.几类复系统分形的特性分析与控制[D].山东大学，2016.