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§1 问题的提出rn如果你能听到由一面“鼓”发出的所有声音,那么你能唯一确定这面“鼓”的几何形状吗?rn如图所示,若“鼓”Q视为Rn上的一个区域(或者看成是一块薄膜),当受到外力而产生振动时,在时刻t其位移函数u(t,x)满足如下的波动方程rnθ2u/θt2=△u,t＞0,x∈Ω;u=0,t≥0,x∈θQ;(1)这里△=nΣj=iθ2/θxj2称为拉普拉斯(Laplace)算子,θQ是Q的边界.rn为寻求问题(1)的驻波解(stationary solution),我们利用分离变量法.令u(t,z)=ψ(t)·φ(x),将此代入方程(1)并考虑到边界条件,则对λ＞0,我们有rnΔψ/ψ=ψa/ψ=-λ,(2)rn这表明rnu(t,x)=sin(√λt)·φ(z),rn这里φ(x)满足如下的特征值问题rn-△φ=λφ,z∈Ω;φ=0,z∈θQ.(3)