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概率与统计是考查学生数学应用、实践能力的有效的载体，尤其是新增的随机变量这部分内容。要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想和方法(观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化)。这类问题背景多联系生活实际，有时大胆创新、构思新颖，综合考查多种分支知识及多种思想方法，在知识网络的交汇处设计试题。本章节蕴涵的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、正难则反思想、分析综合思想等。
1．分类讨论的思想
在数学解题中，将问题划分为几种情况，使条件具体化、难点分散化，并对每种情况分别讨论、各个击破，最终使整个问题获解，这就是分类讨论。是一种重要的数学思想方法，同时更是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想。由于分类讨论的思想具有明显的逻辑性、综合性、探索性，所以历年高考中必考分类讨论型的数学问题，用以考查学生数学思维的条理性和概括性。
【例1】父、母、子三人举行比赛，每局总有一人胜一人负(没有平局)。每局的优胜者与未参加此局比赛的人再进行比赛，如果某人首先胜了两局，则他(她)就是整个比赛的优胜者。由父决定第一局由哪两人比赛，其中儿子实力最强，所以父就决定第一局由他与妻子先比赛。则父的决策对于他自己而言是否为最优的决策?(指父胜的可能性最大)并说明理由。
【分析】父的决策是否为最优决策，取决于父的决策是否使父得胜的概率最大，这就需要比较在各种情况下父得胜的概率的大小。
解：设A、B、C分别表示父、母、子得胜的事件，又设父胜母的概率为a，那么母胜父的概率为1-a；父胜子的概率为b，那么子胜父的概率为1-b；母胜子的概率为c，那么子胜母的概率为1-c．由于儿子实力最强，于是有a>b，1-a>c，b<12，c<12
(1)若第一局先由父与母比赛，则父得胜的可能情况为：AA，ACBA，BCAA，则父胜的概率为P1=ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)ba．
(2)若第一局先由父与子比赛，则父得胜的可能情况为：AA，ABCA，CBAA，于是父胜的概率为P2=ba+b(1-a)(1-c)b+(1-b)cab．
(3)若第一局先由母与子比赛，则父得胜的可能情况为：BAA，CAA，从而父胜的概率为P3=cab+(1-c)ba．
现比较三种情况下概率的大小。
P1-P2=ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)ba-ba-b(1-a)(1-c)b-(1-b)cab=(a-b)［ac(1-b)+b(1-a)(1-c)］>0；
P1-P3=ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)ba-cab-(1-c)ba=ab(1-a)+ac(a-b)>0．
于是，第一种情况下，父得胜的概率最大，即父的决策为最优决策。
评注：①解题关键点：分清第一局比赛由哪两位对抗，分清父在最多四局比赛中胜两局(另两位至多各只胜一局)各种情形，正面直接进行入手比较各种情况下父胜的概率大小。
②解题技巧：建立概率模型来解决方案优化型、决策最优型等开放性问题，是进行定量分析的一种重要手段。
③解题易错点：这里涉及两类事件，即互斥事件与相互独立事件，易忽视使用这两个事件概率的计算公式的前提条件。
2．数形结合的思想
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，它是数学规律性与灵活性的有机结合。
【例2】甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。
【分析】利用直角坐标法在直角坐标系中标出两人到达某地的时间，然后利用它们的面积之比来计算两人能会面的概率。
解：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|15．在平面上建立直角坐标系如图，则(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示。
故P(两人能会面)=602-452602=716
评注：从例题的求解看出，我们可以用平面图形F内的点来表示等可能事件Ω的所有不同结果，并用包含在F内的另一个图形G内的点来表示事件A（AΩ）发生的所有不同结果。这样，只要算出图形G与F的面积比，就可以求出事件A发生的概率。这种数形结合的方法为概率的计算和研究提供了非常广阔的途径。
3．化归的思想
化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题。化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是化归的过程。
【例3】在某次投球游戏中，规定每10位选手投球10次，记分规则是，投进一球得3分，否则得0分，并且参赛选手一律加2分，某选手投进球的概率为0.8．
(1)求该选手在比赛中得分的分布列；
(2)求该选手得分的期望与方差。
解：(1)设投进为k次，则得分为ξ=3k+2,k—B(10，0．8)，有ξ258…32k012…10PC010 0．210 C110 0．8•0.29C210 0．82•0.28…C1010 0．810
(2)∵ Ek=10×0．8=8， Dk=10×0．8×0．2=1．6
∴ Eξ=3Ek+2=26,Dξ=32Dk=14．4
评注：教材中对于变量有线性关系：如果η=aξ+b，则Eη=aξE+b,Dη=a2Dξ，但其应用在中学却鲜为人所研究，其实此公式可以简化计算过程，将不熟悉的、复杂的数据转化为熟悉的、简单的数据加以计算。该题的新意正在于此。
4．正难则反的思想
一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解数学问题一般总是从正面入手进行的，但有些问题从正面入手不易解决时，这时可考虑从反面来思考，逆向思维，往往能得到更简捷的方法，这就是正难则反的思想。
【例4】一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为0．1，计算机失灵的概率为0．3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100小时失灵的概率。
【分析】本题如果从正面考虑报警器失灵则有三类情况：雷达、计算机至少有一个失灵，较繁，所以可以采用正难则反的思想，进行逆向思考。
解：先考虑报警器不失灵的概率，即求雷达和计算机均不失灵的概率。记“使用100小时后雷达失灵”为A，记“使用100小时后计算机失灵”为B，则报警器使用100小时失灵的概率为：1-p(A•B）=1-p（A）p（B）=1-［1-p(A)］［1-p(B)］=1-0．63=0．37．
评注：有时解题思维受阻是因为思考的角度不对，此时，若能转换一下思维角度，常可使问题轻松获解。
5．分析综合的思想
从已知条件出发，运用学过的定义、公式、定理进行一步步地正确推理，最后证得结论，这种论证命题的思维方法叫做综合法；从命题的结论入手，寻找使这个结论成立的充分条件，一直追溯到已知条件为止，这种论证命题的思维方法叫做分析法；把分析法与综合法结合起来去论证命题的思想方法叫做分析综合思想，此法较易发现证题的突破口，能收到事半功倍的效果。
【例5】如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作。已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0．80，0．90，0．90。试分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2．
【分析】这题主要检测运用概率知识分析和解决实际问题的能力。只须分清事件的性质，利用概率公式进行解题。
解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件P(A）=0．80，P(B)=0．90，P(C）=0．90．
(1）因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率为P1=P(A•B•C)=P(A)•P(B)•P(C)=0．80×0．90×0．90=0．648．
故系统N1正常工作的概率为0．648．
(2)因为元件A正常工作与元件B、C至少有一个正常工作相互独立，而B、C没有一个正常工作的概率为P(B•C)，于是B、C至少有一个正常工作的概率为1-P(B•C)，从而系统N2正常工作的概率为P2=P(A)•［1-P（B•C）］=P(A)•［1-P（B）•P（C））］．
又P(B)=1-P(B)=1-0．90=0．10，P(C)=1-P(C)=1-0．90=0．10
故P2=0．80×(1-0．10×0．10)=0．792
于是，系统N2正常工作的概率为0．792．
评注：①解题关键点：正确理解相互独立事件同时发生的概率和互斥事件至少有一个发生的概率及其计算方法。
②解题方法：第(2)问中，关于元件B、C至少有一个正常工作的概率也可这样进行计算：P(B)［1-P（C）］+P（C）［1-P（B）］+P（B）P（C）=P(B)+P（C）-P(B)P（C）=0．9+0．9-0．9×0．9=0．99．
③解题技巧：将元件B、C至少有一个正常工作的概率，转化为元件B、C没有一个正常工作的概率，利用了补集的思想。
④解题易错点：容易混淆“相互独立事件同时发生”和“互斥事件至少有一个发生”的区别和联系，并用错它们的概率计算公式。只有互斥事件A与B，才能运用公式P（A+B)=P(A)+P(B)；只有相互独立事件A与B，才能运用公式P（A•B）=P（A）•P（B）等。
反思小结：用各种数学思想方法解题时，有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁。这就要求我们在学习数学的过程中，要不断地优化、完善知识结构，形成知识网络，领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，才能提高数学思维品质和数学能力。
(审稿：周沛耕编校：吴春燕)
1．分类讨论的思想
在数学解题中，将问题划分为几种情况，使条件具体化、难点分散化，并对每种情况分别讨论、各个击破，最终使整个问题获解，这就是分类讨论。是一种重要的数学思想方法，同时更是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想。由于分类讨论的思想具有明显的逻辑性、综合性、探索性，所以历年高考中必考分类讨论型的数学问题，用以考查学生数学思维的条理性和概括性。
【例1】父、母、子三人举行比赛，每局总有一人胜一人负(没有平局)。每局的优胜者与未参加此局比赛的人再进行比赛，如果某人首先胜了两局，则他(她)就是整个比赛的优胜者。由父决定第一局由哪两人比赛，其中儿子实力最强，所以父就决定第一局由他与妻子先比赛。则父的决策对于他自己而言是否为最优的决策?(指父胜的可能性最大)并说明理由。
【分析】父的决策是否为最优决策，取决于父的决策是否使父得胜的概率最大，这就需要比较在各种情况下父得胜的概率的大小。
解：设A、B、C分别表示父、母、子得胜的事件，又设父胜母的概率为a，那么母胜父的概率为1-a；父胜子的概率为b，那么子胜父的概率为1-b；母胜子的概率为c，那么子胜母的概率为1-c．由于儿子实力最强，于是有a>b，1-a>c，b<12，c<12
(1)若第一局先由父与母比赛，则父得胜的可能情况为：AA，ACBA，BCAA，则父胜的概率为P1=ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)ba．
(2)若第一局先由父与子比赛，则父得胜的可能情况为：AA，ABCA，CBAA，于是父胜的概率为P2=ba+b(1-a)(1-c)b+(1-b)cab．
(3)若第一局先由母与子比赛，则父得胜的可能情况为：BAA，CAA，从而父胜的概率为P3=cab+(1-c)ba．
现比较三种情况下概率的大小。
P1-P2=ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)ba-ba-b(1-a)(1-c)b-(1-b)cab=(a-b)［ac(1-b)+b(1-a)(1-c)］>0；
P1-P3=ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)ba-cab-(1-c)ba=ab(1-a)+ac(a-b)>0．
于是，第一种情况下，父得胜的概率最大，即父的决策为最优决策。
评注：①解题关键点：分清第一局比赛由哪两位对抗，分清父在最多四局比赛中胜两局(另两位至多各只胜一局)各种情形，正面直接进行入手比较各种情况下父胜的概率大小。
②解题技巧：建立概率模型来解决方案优化型、决策最优型等开放性问题，是进行定量分析的一种重要手段。
③解题易错点：这里涉及两类事件，即互斥事件与相互独立事件，易忽视使用这两个事件概率的计算公式的前提条件。
2．数形结合的思想
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，它是数学规律性与灵活性的有机结合。
【例2】甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。
【分析】利用直角坐标法在直角坐标系中标出两人到达某地的时间，然后利用它们的面积之比来计算两人能会面的概率。
解：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|15．在平面上建立直角坐标系如图，则(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示。
故P(两人能会面)=602-452602=716
评注：从例题的求解看出，我们可以用平面图形F内的点来表示等可能事件Ω的所有不同结果，并用包含在F内的另一个图形G内的点来表示事件A（AΩ）发生的所有不同结果。这样，只要算出图形G与F的面积比，就可以求出事件A发生的概率。这种数形结合的方法为概率的计算和研究提供了非常广阔的途径。
3．化归的思想
化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题。化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是化归的过程。
【例3】在某次投球游戏中，规定每10位选手投球10次，记分规则是，投进一球得3分，否则得0分，并且参赛选手一律加2分，某选手投进球的概率为0.8．
(1)求该选手在比赛中得分的分布列；
(2)求该选手得分的期望与方差。
解：(1)设投进为k次，则得分为ξ=3k+2,k—B(10，0．8)，有ξ258…32k012…10PC010 0．210 C110 0．8•0.29C210 0．82•0.28…C1010 0．810
(2)∵ Ek=10×0．8=8， Dk=10×0．8×0．2=1．6
∴ Eξ=3Ek+2=26,Dξ=32Dk=14．4
评注：教材中对于变量有线性关系：如果η=aξ+b，则Eη=aξE+b,Dη=a2Dξ，但其应用在中学却鲜为人所研究，其实此公式可以简化计算过程，将不熟悉的、复杂的数据转化为熟悉的、简单的数据加以计算。该题的新意正在于此。
4．正难则反的思想
一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解数学问题一般总是从正面入手进行的，但有些问题从正面入手不易解决时，这时可考虑从反面来思考，逆向思维，往往能得到更简捷的方法，这就是正难则反的思想。
【例4】一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为0．1，计算机失灵的概率为0．3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100小时失灵的概率。
【分析】本题如果从正面考虑报警器失灵则有三类情况：雷达、计算机至少有一个失灵，较繁，所以可以采用正难则反的思想，进行逆向思考。
解：先考虑报警器不失灵的概率，即求雷达和计算机均不失灵的概率。记“使用100小时后雷达失灵”为A，记“使用100小时后计算机失灵”为B，则报警器使用100小时失灵的概率为：1-p(A•B）=1-p（A）p（B）=1-［1-p(A)］［1-p(B)］=1-0．63=0．37．
评注：有时解题思维受阻是因为思考的角度不对，此时，若能转换一下思维角度，常可使问题轻松获解。
5．分析综合的思想
从已知条件出发，运用学过的定义、公式、定理进行一步步地正确推理，最后证得结论，这种论证命题的思维方法叫做综合法；从命题的结论入手，寻找使这个结论成立的充分条件，一直追溯到已知条件为止，这种论证命题的思维方法叫做分析法；把分析法与综合法结合起来去论证命题的思想方法叫做分析综合思想，此法较易发现证题的突破口，能收到事半功倍的效果。
【例5】如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作。已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0．80，0．90，0．90。试分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2．
【分析】这题主要检测运用概率知识分析和解决实际问题的能力。只须分清事件的性质，利用概率公式进行解题。
解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件P(A）=0．80，P(B)=0．90，P(C）=0．90．
(1）因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率为P1=P(A•B•C)=P(A)•P(B)•P(C)=0．80×0．90×0．90=0．648．
故系统N1正常工作的概率为0．648．
(2)因为元件A正常工作与元件B、C至少有一个正常工作相互独立，而B、C没有一个正常工作的概率为P(B•C)，于是B、C至少有一个正常工作的概率为1-P(B•C)，从而系统N2正常工作的概率为P2=P(A)•［1-P（B•C）］=P(A)•［1-P（B）•P（C））］．
又P(B)=1-P(B)=1-0．90=0．10，P(C)=1-P(C)=1-0．90=0．10
故P2=0．80×(1-0．10×0．10)=0．792
于是，系统N2正常工作的概率为0．792．
评注：①解题关键点：正确理解相互独立事件同时发生的概率和互斥事件至少有一个发生的概率及其计算方法。
②解题方法：第(2)问中，关于元件B、C至少有一个正常工作的概率也可这样进行计算：P(B)［1-P（C）］+P（C）［1-P（B）］+P（B）P（C）=P(B)+P（C）-P(B)P（C）=0．9+0．9-0．9×0．9=0．99．
③解题技巧：将元件B、C至少有一个正常工作的概率，转化为元件B、C没有一个正常工作的概率，利用了补集的思想。
④解题易错点：容易混淆“相互独立事件同时发生”和“互斥事件至少有一个发生”的区别和联系，并用错它们的概率计算公式。只有互斥事件A与B，才能运用公式P（A+B)=P(A)+P(B)；只有相互独立事件A与B，才能运用公式P（A•B）=P（A）•P（B）等。
反思小结：用各种数学思想方法解题时，有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁。这就要求我们在学习数学的过程中，要不断地优化、完善知识结构，形成知识网络，领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，才能提高数学思维品质和数学能力。
(审稿：周沛耕编校：吴春燕)