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【摘要】《高等数学》课是理工院校必修的一门重要的基础课，也是许多学生学习的难点.极限的概念是《高等数学》中最基本的概念，也是整个微积分赖以建立的基础，一直以来是学生学习的重难点，如何引入极限的概念，使学生充分理解掌握其思想，历来是教学中的难点.文章从“引用典故，孕育学生极限思想”“逐步引导，层层深入，得到数列极限的严密定义”“深入剖析极限的定义，加深学生对此定义的理解”三方面阐述了极限引入的一点心得体会.
【关键词】数列；极限；无限
极限的概念是《高等数学》中最基本的概念，也是整个微积分赖以建立的基础，一直以来是学生学习的重点，也是学习的难点.如何合理地引入极限的概念，使学生真正理解和掌握这一概念，对学生学习后续内容起着举足轻重的作用.由于学生长期学习的初等数学是“常量数学”，他们很难理解这种体现变化和运动的“变量数学”，而极限概念又恰恰是最好、最直接地体现了从“不变”到“变”，从“有限”到“无限”的辩证唯物主义思想，因此在极限教学中，我们应从学生的实际出发，层层引导，逐步概括出数列极限的定义，以收到良好的教学效果.
一、引用典故，抛出“绣球”，孕育学生极限思想
引例1 刘徽的“割圆术”
我国古代著名数学家刘徽为了计算圆的面积,采用了逼近原理,简称“割圆术”.具体操作：首先作圆的内接正六边形,接着作圆的内接正十二形、内接正二十四边形,内接正四十八边形……即作圆的内接正n边形,其中n为正整数.其对应面积记为An,这就得到一个数列A1，A2，…，An，…n越大,圆的内接正n边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆面积的近似值也就越精确.但是只是近似值，如何才能得到精确值呢？学生经过思考会回答“n很大很大”，那多大呢？“无限大”.
引例2 “阿基里斯永远追不上一只乌龟.”
阿基里斯和乌龟赛跑，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟.因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米.就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！是不是这样呢？事实上我们知道：能追上.可该如何解释呢？
以上两例告诉我们，在任何有限的过程中，我们仅能解决一些近似计算问题.只有在无限的过程中才能对问题彻底解决，而解决问题的重要数学工具就是“极限”.
二、逐步引导，层层深入，得到数列极限的严密定义
1通过直观图示，初步解释极限概念
所举数列一定要典型、直观，学生能够较容易地分析出它一般项的变化趋势，为了与直观定义相对应，一开始不宜给出极限不存在或极限为无穷大的例子，下列数列都是可供选择的引例:x=1n，x=1+(-1)n-1n等.对于上述例子，学生都能很容易观察出其变化趋势，这时就可给出数列极限的下列直观定义:当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一个确定的常数A，则A称为数列{xn}的极限.
2循循善诱，启发学生总结出数列极限的定义
在刚刚的极限叙述中，我们用了“无限增大”“无限接近”等词，但如何才能算作“无限”呢?我们能否给极限以严密的定义呢?提出问题引导学生先去思考，暂且不管“无限”两字，引导学生思考：“数轴上两点距离”在数学上如何来描述?同学们一般都会想到可以用“这两点间的距离”来描述，而两点间的距离是可以用一个绝对值来表示的.因此我们指出所谓“xn无限地接近于某一个确定的常数A”就是|xn-A|可以无穷小，那么又如何表示？这时再引导学生进一步分析：（1）首先|xn-A|是一个非负数，其次|xn-A|可以小于任意一个正数ε，那么是否就可以描述我们所需描述的思想了呢?学生经过思考后回答是肯定的，因为他们知道一个非负数小于任意一个正数，只有当这个非负数可以无限小才有可能.（2）“当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一个确定的常数A”是不是可以这样叙述：对于上述ε，存在一个自然数N，当n无限增大时，也即当n>N时，总有|xn-A|<ε成立.至此综合上述分析推理，可以帮助学生总结出下列数列极限的分析定义:对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得对n>N的一切xn，不等式|xn-A|<ε总成立，则称A为数列{xn}的极限，记作limn→+∞xn=A.
三、深入剖析极限的定义，加深学生对此定义的理解
1小正数ε是事先给定的，具有任意性，定义中的N是依赖于ε的.
2常数A是客观存在的，并且是唯一的.
3不等式|xn-A|<ε不是对数列{xn}中的一切项都成立，只要求对N以后的那些项都成立，即无论ε>0如何小，不满足|xn-A|<ε的项只有有限项.
4只有无穷数列才能讨论它的极限问题.
总之，对于数列极限概念的教学，速度要慢，所花时间稍多，但学生将这一概念搞清了，就为下一步学习函数极限的各种定义打下了良好的基础.从有限到无限是一个质的飞跃，对刚刚接触《高等数学》的学生来说是一道门槛，教师在教学中应充分理解学生的困难，站在更高的理论角度帮助学生理解，培养学生对数学学习的兴趣.让学生了解身边的数学，激发学习兴趣，减轻学生与数学的距离感；增强学生对未知世界的好奇心，培养勇于探索的创新意识.
【参考文献】
［1］李心灿.高等数学应用205例［M］.北京:高等教育出版社，1997.
［2］李薇，戴明强.高等数学教学中应加强应用［J］.高等数学研究，2005（2）：30-32.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】数列；极限；无限
极限的概念是《高等数学》中最基本的概念，也是整个微积分赖以建立的基础，一直以来是学生学习的重点，也是学习的难点.如何合理地引入极限的概念，使学生真正理解和掌握这一概念，对学生学习后续内容起着举足轻重的作用.由于学生长期学习的初等数学是“常量数学”，他们很难理解这种体现变化和运动的“变量数学”，而极限概念又恰恰是最好、最直接地体现了从“不变”到“变”，从“有限”到“无限”的辩证唯物主义思想，因此在极限教学中，我们应从学生的实际出发，层层引导，逐步概括出数列极限的定义，以收到良好的教学效果.
一、引用典故，抛出“绣球”，孕育学生极限思想
引例1 刘徽的“割圆术”
我国古代著名数学家刘徽为了计算圆的面积,采用了逼近原理,简称“割圆术”.具体操作：首先作圆的内接正六边形,接着作圆的内接正十二形、内接正二十四边形,内接正四十八边形……即作圆的内接正n边形,其中n为正整数.其对应面积记为An,这就得到一个数列A1，A2，…，An，…n越大,圆的内接正n边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆面积的近似值也就越精确.但是只是近似值，如何才能得到精确值呢？学生经过思考会回答“n很大很大”，那多大呢？“无限大”.
引例2 “阿基里斯永远追不上一只乌龟.”
阿基里斯和乌龟赛跑，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟.因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米.就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！是不是这样呢？事实上我们知道：能追上.可该如何解释呢？
以上两例告诉我们，在任何有限的过程中，我们仅能解决一些近似计算问题.只有在无限的过程中才能对问题彻底解决，而解决问题的重要数学工具就是“极限”.
二、逐步引导，层层深入，得到数列极限的严密定义
1通过直观图示，初步解释极限概念
所举数列一定要典型、直观，学生能够较容易地分析出它一般项的变化趋势，为了与直观定义相对应，一开始不宜给出极限不存在或极限为无穷大的例子，下列数列都是可供选择的引例:x=1n，x=1+(-1)n-1n等.对于上述例子，学生都能很容易观察出其变化趋势，这时就可给出数列极限的下列直观定义:当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一个确定的常数A，则A称为数列{xn}的极限.
2循循善诱，启发学生总结出数列极限的定义
在刚刚的极限叙述中，我们用了“无限增大”“无限接近”等词，但如何才能算作“无限”呢?我们能否给极限以严密的定义呢?提出问题引导学生先去思考，暂且不管“无限”两字，引导学生思考：“数轴上两点距离”在数学上如何来描述?同学们一般都会想到可以用“这两点间的距离”来描述，而两点间的距离是可以用一个绝对值来表示的.因此我们指出所谓“xn无限地接近于某一个确定的常数A”就是|xn-A|可以无穷小，那么又如何表示？这时再引导学生进一步分析：（1）首先|xn-A|是一个非负数，其次|xn-A|可以小于任意一个正数ε，那么是否就可以描述我们所需描述的思想了呢?学生经过思考后回答是肯定的，因为他们知道一个非负数小于任意一个正数，只有当这个非负数可以无限小才有可能.（2）“当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一个确定的常数A”是不是可以这样叙述：对于上述ε，存在一个自然数N，当n无限增大时，也即当n>N时，总有|xn-A|<ε成立.至此综合上述分析推理，可以帮助学生总结出下列数列极限的分析定义:对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得对n>N的一切xn，不等式|xn-A|<ε总成立，则称A为数列{xn}的极限，记作limn→+∞xn=A.
三、深入剖析极限的定义，加深学生对此定义的理解
1小正数ε是事先给定的，具有任意性，定义中的N是依赖于ε的.
2常数A是客观存在的，并且是唯一的.
3不等式|xn-A|<ε不是对数列{xn}中的一切项都成立，只要求对N以后的那些项都成立，即无论ε>0如何小，不满足|xn-A|<ε的项只有有限项.
4只有无穷数列才能讨论它的极限问题.
总之，对于数列极限概念的教学，速度要慢，所花时间稍多，但学生将这一概念搞清了，就为下一步学习函数极限的各种定义打下了良好的基础.从有限到无限是一个质的飞跃，对刚刚接触《高等数学》的学生来说是一道门槛，教师在教学中应充分理解学生的困难，站在更高的理论角度帮助学生理解，培养学生对数学学习的兴趣.让学生了解身边的数学，激发学习兴趣，减轻学生与数学的距离感；增强学生对未知世界的好奇心，培养勇于探索的创新意识.
【参考文献】
［1］李心灿.高等数学应用205例［M］.北京:高等教育出版社，1997.
［2］李薇，戴明强.高等数学教学中应加强应用［J］.高等数学研究，2005（2）：30-32.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文