例析数学思想在解答不等式问题中的应用

来源 :语数外学习·高中版上旬 | 被引量 : 0次 | 上传用户:YUZHOU2010
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  不等式问题的形式多种多样,如解不等式、求参数的取值范围、比较两式的大小、证明不等式恒成立等.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和逻辑推理能力.而灵活运用数学思想,能有效帮助我们快速求得问题的答案.本文重点探讨了函数思想、数形结合思想、分类讨论思想在解答不等式问题中的应用.
  一、灵活运用函数思想
  函数思想是指运用函数的图象和性质解题的思想.在解答不等式问题时,我们可以将不等式进行合理变形,构造出合适的函数模型,然后借助函数的图象来分析函数的单调性、对称性、周期性、最值等,建立新关系式,从而证明不等式成立或者求得不等式的解.
  例 1.
  解:
  我们首先根据函数单调性的定义,判断出函数 f(x)的单调性,求得函数的最值,根据不等式恒成立建立关于参数 a 的不等式,解不等式即可求得 a 的取值范圍.
  二、灵活运用数形结合思想
  数形结合思想是解答函数、不等式问题的重要方法.在解题时,我们需先画出相应的图形,通过分析图形找出使不等式恒成立的极端情形,建立新关系式,便可求得不等式的解集或者参数的取值范围.
  例2.已知函数,则实数c 的取值范围是____.
  解:
  由图象可知当f(x)的值域为
  解答本题,我们只需根据已知的函数解析式画出对应的函数图象,然后结合图象明确函数取得最值的情形,求出函数取最值时对应的 x 的值,即可求得 c 的取值范围.
  三、灵活运用分类讨论思想
  分类讨论思想是指把所有研究的问题分成若干类,转化成若干个小问题来求解的思想.在解答不等式问题时,我们需要根据题目的特点和要求,把问题进行分类,可按照参数的取值来进行分类,也可按照问题的不同情况进行分类,还可按照不等式成立的条件来分类,等等.在分类后,对各种情况逐一进行研究、讨论,最后综合所得的结果即可.
  例3.解不等式
  解:将不等式变形可得
  在本题中,a 为参数,而不等式的解受 a 影响,所以需对a进行分类讨论,可分为a >1、0<a <1、a =0、a <0几种情况进行讨论.
  不等式问题是一类综合性较强的问题,在解题时我们不仅要熟练运用相关的不等式知识类求解,还要学会灵活运用数学思想来辅助解题,这样才能使解题变得更加高效.
  (作者单位:山东省青岛市即墨区第二中学)
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