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20世纪80年代以来，“几何”拓展为“空间与图形”是数学课程改革的一种国际趋势。作为《标准》的四个领域之一，“空间与图形”主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好 地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。
“空间与图形”课程的首要目标是使学生更好地认识、理解和把握自己赖以生存的空间.可以从以下几个方面来认识空间与图形的课程目标:(1)获得必需的知识与技能;(2)培养空间观念与几何直觉;(3)在探索图形性质的过程中发展合情推理能力,初步感受公理化思想;(4)在解决实际问题的数学活动中培养学生的创新精神.通过举例说明如何让学生经历探索、猜测、建立数学模型等数学活动.并指出正确认识空间与图形的课程目标,能让学生体验数学学习的乐趣,逐步积累数学活动经验,发展空间观念和自主创新意识,从而更好地认识和理解自己的生存空间.
关于“空间与图形”在教学中既有优势之处，也有劣势之处。优势之处：这部分内容大多数以几何图形为基础，教学时能通过图形找到生活中实物进行替换、比较并得出结论，学生不是简单的感知，凭空的想像。劣势之处：受小学生空间观念和空间想象力的制约，不容易理解和掌握。
“空间与图形”是小学数学的主要内容之一。而小学生的思维方式正处于以具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，这一阶段恰恰也是儿童空间知觉，即形体直观认知能力形成的重要阶段。所以在空间与图形的教学中，新课标把发展学生的空间观念作为核心目标。教学中，经常可以发现小学生“空间与图形”部分的知识掌握的不太理想，研究其原因是多方面的。怎样帮助学生学好“空间与图形”呢？我们泗孟小学开展了“小学数学 ‘空间与图形’学生错题成因及解决对策研究”的课题。经过初步研究，成因是多方面的，主要是针对知识点方面进行总结。
1．小学数学 “空间与图形”学生错题成因具体分析如下：
1．1概念不清。
1．1．1错例：（如图1）
如图1
如图2
错因分析：该生对轴对称图形的定义不清晰，只是凭感觉判断平行四边形是轴对称图形；其次她对梯形的定义里的“只有”与“有”的意义没有理解透，以为是一样的意思，而判断失误。
1．1．2“找对称轴”错例（如下图2）
错因分析：上面第二个图形是由三个圆形相切而成的一个组合图形，出错的学生没有把它看作一个整体。也有的学生对轴对称图形和对称轴的定义不是很明确。学生没有想到把图形沿着对称轴折叠是否完全重叠。
1．2空间观念弱。
“长方体的表面积计算”错例（如下图）
错因分析：错例1、2都是属于求长方体的四个面（前、后、左、右面）的面积和。错例1的学生没弄清求哪几个面的面积；错例2的学生虽然知道求几个面的面积，但列式时条件找错了，应求左（右）面面积却当求上（下）面面积。总的来讲，这些学生的空间观念弱。没办法在头脑中形成一个空间图形。
1．3计算方面的错误。
圆面积计算错例1：计算出错。 圆面积计算错例2：错在最后的单位换算。
1．4数形转换的问题。
1．4．1 “比较图形的面积”的错例
错因分析：该学生只是凭感觉来判断哪个图形面积大哪个图形面积小的。他在数形方面不会进行转换，没有具体数出每个图形的面积，更没想到用面积公式计算出每个图形的面积，把图形转换成数据然后进行比较。
1．4．2 “等积变形”的错例
错因分析：该生在数形转换方面出错，这题是要根据已知的长方形求出面积，也就求出了所要画的图形的面积，再根据面积来确定平行四边形和三角形的底和高。特别是三角形的底和高，然后根据求出的底和高来画图形。这就是把图形转换成数据，再根据数据转换成图形。该生在数形转换方面出错，求三角形的底和高错了，所以图形也就画错了。
2．根据上述原因，要减少小学生学习“空间与图形”的出错率，在教学中就必须采取切实可行的方法和策略。
2．1明确概念。
数学概念是小学数学知识的基本要素。小学数学是由许多概念、法则、性质等组成的确定体系。每一个法则、性质等实际上都是一个判断，而且离不开概念。可以说，判断是概念与概念的联合。因此，要使学生掌握所学的“空间与图形”知识和计算，并且能够实际应用，首先要使他们掌握好所学的数学概念。
对于“空间与图形”数学概念引入时 ，教师可从学生的生活实际入手，充分运用实物、教具、图表等直观教具，以及动手操作等直观手段，帮助学 生获得正确、完整、丰富的表象，训练学生的形象思维。
例如“面积”的概念，可通过引导学生观察黑板、桌子、课本等实物的面引入，还可以引导学生用小刀剖 开萝卜观察它的截面，让学生亲眼看一看，亲手摸一摸引入。通过多种感官的协同活动，使面积的具体形象在 学生头脑中得到全面的反映。
例如下错例1：（如图1）
图1
解决对策：
题4，首先，引导该生正确理解轴对称图形的定义：“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。”，然后让她动手操作：将一个平行四边形沿着某一条直线对折，反复操作，看看得到的图形能否完全重合。通过操作，她终于明白平行四边形不是轴对称图形。
题5，举例说明“只有”和“有”的含义是不一样的，“在四边形里，如果说只有一组对边平行，那意味着另一组对边是不平行的。”而“在四边形里，如果说有一组对边平行，那另一组对边有可能也是平行的。
“错例2（如下图2）
如图2
解决策略：
明确定义。首先要检查学生是否明白轴对称图形和对称轴的定义。（如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。）
2．2加强实践操作，培养空间观念。
心理学研究证明： 视觉、触觉、听觉等多种感官共同参与几何材料的操作，有利于空间观念的形成和巩固。教学中让学生通过看一看、摸一摸、比一比、量一量、想一想、画一画、折一折、剪一剪、摆一摆等实践活动，逐步建立图形的表象，对于建立空间观念是很重要的。
例如解决“找对称轴”错例，明确定义以后，要通过动手操作加深体验。为了帮助学生准确找出对称轴，让学生把题中的图形画出来，并剪下来，折一折，看看是否为轴对称图形。注意指导学生从不同方向折一折，看各有几条对称轴。
为了让学生进一步熟练找对称轴，多出一些类似的练习题。逐步过度到不用动手操作，凭空间想象来找轴对称图形的对称轴。
又例如解决“长方体的表面积计算”：可训练学生根据题意画出图形，并标出已知数据。（如下图）
利用画图帮助解题应该是学生要形成的一个良好学习习惯，我们要在平时的学习当中就要不断向学生渗透这种观念，逐步培养。例如在一个长方体里剪出一个最大的圆，（或者在一个长方体里削出一个最大的圆柱体），只要一画图学生就会马上理解为什么要以最短的边为半径，又如绕圆形花坛周围铺小路，通过画图学生解题算直径就不会只加一边的小路宽，大大降低错误率。让题组训练使学生意识到画图对自己解题的帮助和重要性，学生就会自觉画图，长期坚持下来，就可以逐步形成习惯。
2．3分散教学难点，削减知识教学的坡度，进行专项练习。
例如解决“长方体的表面积计算”对于小学生来说，有一定的难度。这题要分三个步骤来分析：第一看是求长方体哪几个面的面积，第二看给出什么条件，第三如何根据题意列式。
为了分散教学难点，削减知识教学的坡度，可进行一些专项练习。
2．3．1（如下图）根据题意，判断求哪几个面的面积。
2．2．2说出下图中长方体的长、宽、高各是多少分米？再说出它的上、下、前、后、左、右六个面的长和宽分别是多少？
（说明：这类练习主要是帮助学生搞清楚长方体的每一个面的长和宽分别是长方体的长、宽、高的哪一条棱，这一点非常重要，在求表面积时有助于学生找到正确的数据列式计算。）
对于计算方面的错误，进行有针对性的计算练习。可利用课前的几分钟进行口算，如平方的计算，圆周率的计算等等。
2．4课堂上加强对学生的关注，让他们能积极、充分参与学习活动。
教师要用心去做小学生的朋友，培养他们学习的兴趣，在课堂上可采取小组合作学习。如何让学生有合作的空间呢？首先，在小组合作的角色分配上，要让学生用手操作、用眼观察、用心思考，优秀生协助、辅导。其次，课堂小组合作时，教师要深入到各个小组中去，特别关注学生的操作、思考，倾听他们对知识的理解，引导、帮助他们对新知识加以理解和掌握。第三，小组合作结束后，在小组汇报时，可让学生代表小组来汇报合作学习的结果，并提问：“通过刚才的讨论，你知道了什么？”“你是怎样想的？”“你为什么这样想？”“还有没有其他的想法？”等问题。这既是检查小组合作的情况，又可检查学生对新知识的理解和掌握情况
2．5加强指导，养成良好的学习方法
对于学习方法不当学生 ，教师应指导他们学会学习 ，提高学习效率。指导内容包括 :（１）小学数学各环节的学习方法（怎样预习、听课、复习、作业和总结） ；（２）在数学学习中如何启动智力因素（如何观察、记忆、类比、联想、猜想、归纳、转换等） ；（３）在数学学习中如何调动非智力因素（如何激发动机、磨炼意志、锤炼性格、提高兴趣、培养情感等） ；（４）在数学学习中如何制定计划、谋划解题策略 ；（５）如何吸取数学思想和培养思维能力。展开学习指导 ，让学生掌握有效的学习方法 ，使他们学得轻松、学得愉快。教师应在教学过程中 ，有意识地结合教学内容 ，将蕴含其中的数学思想、数学能力挖掘出来 ，通过点拨、启迪、暗示、归纳等途径传授给学生 ，使学生不仅获得知识 ，更重要的是获得能力和方法。要做到这些 ，教师在平时备课和教研中 ，不仅要认真地“备教材”、“研教法” ，还要认真地“备学生”、“研学法”。
2．6加强割、补、拼引起点、线、面、形、体的变化，条件共享题等方面的训练。
在各位“鲁班”面前，我们不敢班门弄斧，以上只是我们泗孟小学数学教师就这个版块中，学生存在问题的不成熟解决策略，在和大家分享的时候，还是有点诚惶诚恐。
3．在“空间与图形”教学中，我们学校有些困惑？
收集问题归纳如下：
3．1学生建立图形、空间的表象比较容易，但是深化、巩固学生掌握不住，如何解决呢？
3．2 如何掌握教学中的收与放的度？
3．3小组合作的实效性如何体现？
3．4热闹的课堂如何增加思考性？
3．5 在“空间与图形”教学中，学生在应用实际解决问题中，要让学生掌握到什么程度，很难把握？
3．6我一直思考的问题：如何上好总复习课？如何把知识的纵、横联系起来？每当我看到学生懒洋洋的做总复习的题目时，总是感到很惶恐。对教师来说，复习的内容多，复习的时间短；对学生来说，复习的内容都已经学过了，没有多大的兴趣。总复习承担的任务是什么？仅仅完成一些题目吗？
我想仁者见仁，智者见智，欢迎大家一起来探讨。最后我想到两句话与大家共勉：“一支独秀不是春，百花齐放春满园。”“送人玫瑰，手有余香。”
收稿日期：2009-06-29
“空间与图形”课程的首要目标是使学生更好地认识、理解和把握自己赖以生存的空间.可以从以下几个方面来认识空间与图形的课程目标:(1)获得必需的知识与技能;(2)培养空间观念与几何直觉;(3)在探索图形性质的过程中发展合情推理能力,初步感受公理化思想;(4)在解决实际问题的数学活动中培养学生的创新精神.通过举例说明如何让学生经历探索、猜测、建立数学模型等数学活动.并指出正确认识空间与图形的课程目标,能让学生体验数学学习的乐趣,逐步积累数学活动经验,发展空间观念和自主创新意识,从而更好地认识和理解自己的生存空间.
关于“空间与图形”在教学中既有优势之处，也有劣势之处。优势之处：这部分内容大多数以几何图形为基础，教学时能通过图形找到生活中实物进行替换、比较并得出结论，学生不是简单的感知，凭空的想像。劣势之处：受小学生空间观念和空间想象力的制约，不容易理解和掌握。
“空间与图形”是小学数学的主要内容之一。而小学生的思维方式正处于以具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，这一阶段恰恰也是儿童空间知觉，即形体直观认知能力形成的重要阶段。所以在空间与图形的教学中，新课标把发展学生的空间观念作为核心目标。教学中，经常可以发现小学生“空间与图形”部分的知识掌握的不太理想，研究其原因是多方面的。怎样帮助学生学好“空间与图形”呢？我们泗孟小学开展了“小学数学 ‘空间与图形’学生错题成因及解决对策研究”的课题。经过初步研究，成因是多方面的，主要是针对知识点方面进行总结。
1．小学数学 “空间与图形”学生错题成因具体分析如下：
1．1概念不清。
1．1．1错例：（如图1）
如图1
如图2
错因分析：该生对轴对称图形的定义不清晰，只是凭感觉判断平行四边形是轴对称图形；其次她对梯形的定义里的“只有”与“有”的意义没有理解透，以为是一样的意思，而判断失误。
1．1．2“找对称轴”错例（如下图2）
错因分析：上面第二个图形是由三个圆形相切而成的一个组合图形，出错的学生没有把它看作一个整体。也有的学生对轴对称图形和对称轴的定义不是很明确。学生没有想到把图形沿着对称轴折叠是否完全重叠。
1．2空间观念弱。
“长方体的表面积计算”错例（如下图）
错因分析：错例1、2都是属于求长方体的四个面（前、后、左、右面）的面积和。错例1的学生没弄清求哪几个面的面积；错例2的学生虽然知道求几个面的面积，但列式时条件找错了，应求左（右）面面积却当求上（下）面面积。总的来讲，这些学生的空间观念弱。没办法在头脑中形成一个空间图形。
1．3计算方面的错误。
圆面积计算错例1：计算出错。 圆面积计算错例2：错在最后的单位换算。
1．4数形转换的问题。
1．4．1 “比较图形的面积”的错例
错因分析：该学生只是凭感觉来判断哪个图形面积大哪个图形面积小的。他在数形方面不会进行转换，没有具体数出每个图形的面积，更没想到用面积公式计算出每个图形的面积，把图形转换成数据然后进行比较。
1．4．2 “等积变形”的错例
错因分析：该生在数形转换方面出错，这题是要根据已知的长方形求出面积，也就求出了所要画的图形的面积，再根据面积来确定平行四边形和三角形的底和高。特别是三角形的底和高，然后根据求出的底和高来画图形。这就是把图形转换成数据，再根据数据转换成图形。该生在数形转换方面出错，求三角形的底和高错了，所以图形也就画错了。
2．根据上述原因，要减少小学生学习“空间与图形”的出错率，在教学中就必须采取切实可行的方法和策略。
2．1明确概念。
数学概念是小学数学知识的基本要素。小学数学是由许多概念、法则、性质等组成的确定体系。每一个法则、性质等实际上都是一个判断，而且离不开概念。可以说，判断是概念与概念的联合。因此，要使学生掌握所学的“空间与图形”知识和计算，并且能够实际应用，首先要使他们掌握好所学的数学概念。
对于“空间与图形”数学概念引入时 ，教师可从学生的生活实际入手，充分运用实物、教具、图表等直观教具，以及动手操作等直观手段，帮助学 生获得正确、完整、丰富的表象，训练学生的形象思维。
例如“面积”的概念，可通过引导学生观察黑板、桌子、课本等实物的面引入，还可以引导学生用小刀剖 开萝卜观察它的截面，让学生亲眼看一看，亲手摸一摸引入。通过多种感官的协同活动，使面积的具体形象在 学生头脑中得到全面的反映。
例如下错例1：（如图1）
图1
解决对策：
题4，首先，引导该生正确理解轴对称图形的定义：“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。”，然后让她动手操作：将一个平行四边形沿着某一条直线对折，反复操作，看看得到的图形能否完全重合。通过操作，她终于明白平行四边形不是轴对称图形。
题5，举例说明“只有”和“有”的含义是不一样的，“在四边形里，如果说只有一组对边平行，那意味着另一组对边是不平行的。”而“在四边形里，如果说有一组对边平行，那另一组对边有可能也是平行的。
“错例2（如下图2）
如图2
解决策略：
明确定义。首先要检查学生是否明白轴对称图形和对称轴的定义。（如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。）
2．2加强实践操作，培养空间观念。
心理学研究证明： 视觉、触觉、听觉等多种感官共同参与几何材料的操作，有利于空间观念的形成和巩固。教学中让学生通过看一看、摸一摸、比一比、量一量、想一想、画一画、折一折、剪一剪、摆一摆等实践活动，逐步建立图形的表象，对于建立空间观念是很重要的。
例如解决“找对称轴”错例，明确定义以后，要通过动手操作加深体验。为了帮助学生准确找出对称轴，让学生把题中的图形画出来，并剪下来，折一折，看看是否为轴对称图形。注意指导学生从不同方向折一折，看各有几条对称轴。
为了让学生进一步熟练找对称轴，多出一些类似的练习题。逐步过度到不用动手操作，凭空间想象来找轴对称图形的对称轴。
又例如解决“长方体的表面积计算”：可训练学生根据题意画出图形，并标出已知数据。（如下图）
利用画图帮助解题应该是学生要形成的一个良好学习习惯，我们要在平时的学习当中就要不断向学生渗透这种观念，逐步培养。例如在一个长方体里剪出一个最大的圆，（或者在一个长方体里削出一个最大的圆柱体），只要一画图学生就会马上理解为什么要以最短的边为半径，又如绕圆形花坛周围铺小路，通过画图学生解题算直径就不会只加一边的小路宽，大大降低错误率。让题组训练使学生意识到画图对自己解题的帮助和重要性，学生就会自觉画图，长期坚持下来，就可以逐步形成习惯。
2．3分散教学难点，削减知识教学的坡度，进行专项练习。
例如解决“长方体的表面积计算”对于小学生来说，有一定的难度。这题要分三个步骤来分析：第一看是求长方体哪几个面的面积，第二看给出什么条件，第三如何根据题意列式。
为了分散教学难点，削减知识教学的坡度，可进行一些专项练习。
2．3．1（如下图）根据题意，判断求哪几个面的面积。
2．2．2说出下图中长方体的长、宽、高各是多少分米？再说出它的上、下、前、后、左、右六个面的长和宽分别是多少？
（说明：这类练习主要是帮助学生搞清楚长方体的每一个面的长和宽分别是长方体的长、宽、高的哪一条棱，这一点非常重要，在求表面积时有助于学生找到正确的数据列式计算。）
对于计算方面的错误，进行有针对性的计算练习。可利用课前的几分钟进行口算，如平方的计算，圆周率的计算等等。
2．4课堂上加强对学生的关注，让他们能积极、充分参与学习活动。
教师要用心去做小学生的朋友，培养他们学习的兴趣，在课堂上可采取小组合作学习。如何让学生有合作的空间呢？首先，在小组合作的角色分配上，要让学生用手操作、用眼观察、用心思考，优秀生协助、辅导。其次，课堂小组合作时，教师要深入到各个小组中去，特别关注学生的操作、思考，倾听他们对知识的理解，引导、帮助他们对新知识加以理解和掌握。第三，小组合作结束后，在小组汇报时，可让学生代表小组来汇报合作学习的结果，并提问：“通过刚才的讨论，你知道了什么？”“你是怎样想的？”“你为什么这样想？”“还有没有其他的想法？”等问题。这既是检查小组合作的情况，又可检查学生对新知识的理解和掌握情况
2．5加强指导，养成良好的学习方法
对于学习方法不当学生 ，教师应指导他们学会学习 ，提高学习效率。指导内容包括 :（１）小学数学各环节的学习方法（怎样预习、听课、复习、作业和总结） ；（２）在数学学习中如何启动智力因素（如何观察、记忆、类比、联想、猜想、归纳、转换等） ；（３）在数学学习中如何调动非智力因素（如何激发动机、磨炼意志、锤炼性格、提高兴趣、培养情感等） ；（４）在数学学习中如何制定计划、谋划解题策略 ；（５）如何吸取数学思想和培养思维能力。展开学习指导 ，让学生掌握有效的学习方法 ，使他们学得轻松、学得愉快。教师应在教学过程中 ，有意识地结合教学内容 ，将蕴含其中的数学思想、数学能力挖掘出来 ，通过点拨、启迪、暗示、归纳等途径传授给学生 ，使学生不仅获得知识 ，更重要的是获得能力和方法。要做到这些 ，教师在平时备课和教研中 ，不仅要认真地“备教材”、“研教法” ，还要认真地“备学生”、“研学法”。
2．6加强割、补、拼引起点、线、面、形、体的变化，条件共享题等方面的训练。
在各位“鲁班”面前，我们不敢班门弄斧，以上只是我们泗孟小学数学教师就这个版块中，学生存在问题的不成熟解决策略，在和大家分享的时候，还是有点诚惶诚恐。
3．在“空间与图形”教学中，我们学校有些困惑？
收集问题归纳如下：
3．1学生建立图形、空间的表象比较容易，但是深化、巩固学生掌握不住，如何解决呢？
3．2 如何掌握教学中的收与放的度？
3．3小组合作的实效性如何体现？
3．4热闹的课堂如何增加思考性？
3．5 在“空间与图形”教学中，学生在应用实际解决问题中，要让学生掌握到什么程度，很难把握？
3．6我一直思考的问题：如何上好总复习课？如何把知识的纵、横联系起来？每当我看到学生懒洋洋的做总复习的题目时，总是感到很惶恐。对教师来说，复习的内容多，复习的时间短；对学生来说，复习的内容都已经学过了，没有多大的兴趣。总复习承担的任务是什么？仅仅完成一些题目吗？
我想仁者见仁，智者见智，欢迎大家一起来探讨。最后我想到两句话与大家共勉：“一支独秀不是春，百花齐放春满园。”“送人玫瑰，手有余香。”
收稿日期：2009-06-29