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【摘要】 为了解决“离散数学”教育课程概念多、内容散的问题，本文提出了针对不同内容的学习策略，设计了针对离散数学课程的学习模型.在对课程的知识点进行了划分的基础上，重点利用知识点之间的逻辑关系，建立有序的前导关系.在贯穿数学建模思想上，提出了合理的教学内容学习模型，加强逻辑，激发学生的学习兴趣.
【关键词】 课程建設；教学改革；知识点；知识结构
【基金项目】 2015年中国矿业大学校级教改项目（项目编号：2015YB26）.
一、引 言
离散数学课程，从1982年向本科生开设起，可以说进行了不间断的建设.在1999年，离散数学被确定为计算机学院的重点建设课程.由于离散数学充分描述了计算机学科离散性的特点，为计算机学科的研究和应用提供了有力的数学工具，同时，能够训练学生的逻辑思维和推理能力，所以是计算机学科基础理论课程.为了体现离散数学与后继专业课的密切性，离散数学的教育目标是使学生不仅能了解某个领域的知识，而且要学生能运用所学的知识，提出相应问题解决的一类数学方法.离散数学，既然是数学，其严密的数学理论是自身特色.但我们在教学中不能只陈述抽象的概念，证明抽象的定理，而应让学生清楚地感受到数学学习中“知其然，并知其所以然”的乐趣.该课程具有“概念多、内容散、理论强且高度抽象”的特点，因而对概念的理解是这门学科的核心.因此，在教学实践中，我们重点探索离散数学课程的教学内容之间的关联关系，针对如何提供有效的学习策略帮助学生提高学习效率.
二、课程知识结构表示
在计算机本科专业中，离散数学一般主要包括数理逻辑、集合论、代数系统与图论这四个部分.大量的概念和定义定理证明让本来充满乐趣和挑战的学习变得枯燥无味.以往的教学经验表明，学生们对数学学习的畏惧心理来自于对概念和性质的掌握困难性上.而对概念掌握的困难其实在于学生不能理解概念定义的缘由以及用途.学生往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系，抓不住知识的内在联系，所以，通常对书上的例题一看就懂，但独立解题的时候却无从下手，因而，导致学生学习该门课程的兴趣不高，教学效果不理想.因此，我们强调学习的过程是不断建立体系的过程，通过帮助学生了解概念背后的真实含义，了解概念和概念之间的联系，了解概念累积之后相关性质的探讨的目的性，来让学生感受到概念不再只是文字和符号，概念是一种语言，是描述专业知识的活生生的语言.
离散数学各章节看似无多大联系，但事实上整个课程体系相互联系、相互依赖.图、树可作为我们认识世界的一个直观、有力的工具，集合的运算、关系可用图来描述；关系是在集合的基础上来定义，函数是一种特殊的关系；代数系统的定义又是建立在关系的基础上；而所有的推理证明都是在逻辑代数的指导下进行.本文针对离散数学这门课程，按照课程的知识结构，表示出一个以知识点为结点的结构图.首先，要对知识进行划分、构造知识结构、再将知识结构划分为原子知识点，按照知识点的内容和之间的关联关系进行划分，把知识点之间的关系表示为有序关系，让学生清楚理解到这个有序关系中的前导关系和后续关系.下面以数理逻辑部分为例，展示如何将离散数学中不同的章节的知识点之间的联系清晰地建立起来，让学生能够轻松地掌握大量概念以及推理证明的数学符号之间的关系.
（一）构造知识结构
数理逻辑是方法论的学习，它是所有学科的基础，同时，也贯穿在离散数学其他章节的内容里.尤其需要说明的一点是：在条件关系中的“善意的推定”规则（即如果前件为假，则命题为真，不管后件如何），可以让逻辑理论较完备，但学生通常不能理解和接受.但是通过数学推理中的一系列结论，可以让学生清楚地了解到，规则制定的逻辑性和严密性.
首先，将知识结构划分为原子知识点，按照知识点的最小粒度进行划分.数理逻辑部分的内容大致如图1所示.
例如，一个最小的连接词组就是一个集合.由一个或者若干个连接词构成的集合，使得对于任何命题公式都可以用这个集合中的某些连接词来等价的表示，而删除这个集合中的任何一个连接词，就不能将所有的命题公式表达出来.因此，表达命题的基础是连接词，表达命题公式的基础是命题.
（二）构造知识点关系图
为了让学生更清楚地理解所有知识点之间的承接关系，我们在课堂上应用离散数学中的关系表达方式，来将所有的知识点串接起来.以一个二元组表示（知识点，相邻知识点），其中，关系包含两种，即前驱与后继，如图2所示.2元组表达式（连接词，集合），（连接词，命题），（命题，命题公式）的第一个元素表示为前驱结点，第二个元素表示为后继结点.
然后，在知识点划分的基础之上，重点梳理知识点之间的联系.例如，连接词和命题之间的关系，命题和命题公式之间的关系，等价式以及范式之间的关系，等价式和范式之间的关系，以及连接词和等价公式之间的关系等等，是课程重点.
（三）知识结构模型
1.本章内容之间的知识结构
首先，梳理集合论本章的概念之间的递进联系，让学生能够清楚课程内容之间的本质联系.例如，由命题标识符与命题连接词之间的联系引入命题公式，由原子命题和命题连接词引入命题翻译，由命题公式引入真值表，由真值表引入永真式和永假式以及可满足式等.对知识点进行组织，形成无向图如图3所示.
2.不同章节之间内容的知识结构
我们不能只是局限于本章节知识点之间的关系，要同时让学生能够理解不同章节之间的内容的相关性.要让学生了解到不同章节知识点看似松散，实则承前启后，相互呼应.知识点所在的层次和深度会随着所学习的课程内容不断扩展.所以，形成本章内容概念和其他章节内容之间的链接，让知识点之间形成一个有机的整体，才能最终让学生真正掌握所学知识.掌握这些概念的时候，不能孤立地一个个讨论，必须有比较地看，讨论它们之间的关系、区别和联系，这样才能比较容易把握住各个概念的实质.如果并运算可以表示为满足两个命题的析取所构成的所有元素，交运算可以表示为两个命题的合取所构成的所有元素.另外，集合的叙述法可以用谓词公式进行描述.并且，集合中的全集可以看作谓词逻辑中的重言式，空集是谓词逻辑中的矛盾式.并且数理逻辑中的运算定律在集合论中也成立.但是谓词逻辑与集合论是两个不同的范畴，需要注意它们之间的联系和区别.
在理解关系的基本性质的时候，根据定义，学生经常出现误判，对定义不能完全理解.学生不能理解只有一个序偶的关系是具有传递性的，按照通常的理解学生认为这里没有传递关系的存在，如果只是简单地让学生记住判断方法并不能消除学生心里的疑惑.我们要做的是让学生真正地知其然并知其所以然.在这里，如果用数理逻辑的方式描述，学生会恍然大悟.因为定义是以条件式的形式出现，因而前件为假，则条件式必定成立.所以，在没有首尾相连的序偶对出现时，是满足传递性的.
三、学生参与到知识结构的组织中
在课外学时分小组对其进行讨论，通过提出特定化的问题，让学生根据自己的思考，讨论知识点之间的联系.例如，为了让学生清楚地了解到集合中的概念和证明方法和数理逻辑之间的联系，提出以下问题：（1）集合恒等式的证明方法有几种？（2）命题逻辑和谓词逻辑推理的方法有几种？（3）比较二者之间的联系.（4）比较集合中的列举方法和数理逻辑中的真值表，并画出表格进行比较.（5）用数理逻辑中的连接词将关系的五个基本类型表达出来.（6）集合中的等价关系和偏序关系同数理逻辑中的蕴含和等价式的概念如何联系.在后续的教学中，我们也注意选取有趣的事例来活跃课堂.除了在内容上选取有趣的事例外，在课堂教学中，我们还非常注意使用幽默风趣的语言.这些尝试激发了学生的直接学习动机，增强了对这门课程的兴趣.对于间接性学习动机的激发，我们主要通过增加教学内容与专业的联系，让学生了解离散数学的重要性和作用.我们还将努力从不同的角度思考来改进教学方法，改革课程内容，让离散数学这门古老的课程继续焕发迷人的风采.
【参考文献】
[1]刘铎.离散数学结构课程研究性教学改革初探[J].计算机教育，2012（24）：41-44.
[2]贺国强.个性化协学生习系统中学生模型的构建与应用[D].北京：首都师范大学，2009.
[3]聂雅琳，王海军.基于悖论的离散数学教学改革与实践[J].教育论坛，2010（5）：128.
【关键词】 课程建設；教学改革；知识点；知识结构
【基金项目】 2015年中国矿业大学校级教改项目（项目编号：2015YB26）.
一、引 言
离散数学课程，从1982年向本科生开设起，可以说进行了不间断的建设.在1999年，离散数学被确定为计算机学院的重点建设课程.由于离散数学充分描述了计算机学科离散性的特点，为计算机学科的研究和应用提供了有力的数学工具，同时，能够训练学生的逻辑思维和推理能力，所以是计算机学科基础理论课程.为了体现离散数学与后继专业课的密切性，离散数学的教育目标是使学生不仅能了解某个领域的知识，而且要学生能运用所学的知识，提出相应问题解决的一类数学方法.离散数学，既然是数学，其严密的数学理论是自身特色.但我们在教学中不能只陈述抽象的概念，证明抽象的定理，而应让学生清楚地感受到数学学习中“知其然，并知其所以然”的乐趣.该课程具有“概念多、内容散、理论强且高度抽象”的特点，因而对概念的理解是这门学科的核心.因此，在教学实践中，我们重点探索离散数学课程的教学内容之间的关联关系，针对如何提供有效的学习策略帮助学生提高学习效率.
二、课程知识结构表示
在计算机本科专业中，离散数学一般主要包括数理逻辑、集合论、代数系统与图论这四个部分.大量的概念和定义定理证明让本来充满乐趣和挑战的学习变得枯燥无味.以往的教学经验表明，学生们对数学学习的畏惧心理来自于对概念和性质的掌握困难性上.而对概念掌握的困难其实在于学生不能理解概念定义的缘由以及用途.学生往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系，抓不住知识的内在联系，所以，通常对书上的例题一看就懂，但独立解题的时候却无从下手，因而，导致学生学习该门课程的兴趣不高，教学效果不理想.因此，我们强调学习的过程是不断建立体系的过程，通过帮助学生了解概念背后的真实含义，了解概念和概念之间的联系，了解概念累积之后相关性质的探讨的目的性，来让学生感受到概念不再只是文字和符号，概念是一种语言，是描述专业知识的活生生的语言.
离散数学各章节看似无多大联系，但事实上整个课程体系相互联系、相互依赖.图、树可作为我们认识世界的一个直观、有力的工具，集合的运算、关系可用图来描述；关系是在集合的基础上来定义，函数是一种特殊的关系；代数系统的定义又是建立在关系的基础上；而所有的推理证明都是在逻辑代数的指导下进行.本文针对离散数学这门课程，按照课程的知识结构，表示出一个以知识点为结点的结构图.首先，要对知识进行划分、构造知识结构、再将知识结构划分为原子知识点，按照知识点的内容和之间的关联关系进行划分，把知识点之间的关系表示为有序关系，让学生清楚理解到这个有序关系中的前导关系和后续关系.下面以数理逻辑部分为例，展示如何将离散数学中不同的章节的知识点之间的联系清晰地建立起来，让学生能够轻松地掌握大量概念以及推理证明的数学符号之间的关系.
（一）构造知识结构
数理逻辑是方法论的学习，它是所有学科的基础，同时，也贯穿在离散数学其他章节的内容里.尤其需要说明的一点是：在条件关系中的“善意的推定”规则（即如果前件为假，则命题为真，不管后件如何），可以让逻辑理论较完备，但学生通常不能理解和接受.但是通过数学推理中的一系列结论，可以让学生清楚地了解到，规则制定的逻辑性和严密性.
首先，将知识结构划分为原子知识点，按照知识点的最小粒度进行划分.数理逻辑部分的内容大致如图1所示.
例如，一个最小的连接词组就是一个集合.由一个或者若干个连接词构成的集合，使得对于任何命题公式都可以用这个集合中的某些连接词来等价的表示，而删除这个集合中的任何一个连接词，就不能将所有的命题公式表达出来.因此，表达命题的基础是连接词，表达命题公式的基础是命题.
（二）构造知识点关系图
为了让学生更清楚地理解所有知识点之间的承接关系，我们在课堂上应用离散数学中的关系表达方式，来将所有的知识点串接起来.以一个二元组表示（知识点，相邻知识点），其中，关系包含两种，即前驱与后继，如图2所示.2元组表达式（连接词，集合），（连接词，命题），（命题，命题公式）的第一个元素表示为前驱结点，第二个元素表示为后继结点.
然后，在知识点划分的基础之上，重点梳理知识点之间的联系.例如，连接词和命题之间的关系，命题和命题公式之间的关系，等价式以及范式之间的关系，等价式和范式之间的关系，以及连接词和等价公式之间的关系等等，是课程重点.
（三）知识结构模型
1.本章内容之间的知识结构
首先，梳理集合论本章的概念之间的递进联系，让学生能够清楚课程内容之间的本质联系.例如，由命题标识符与命题连接词之间的联系引入命题公式，由原子命题和命题连接词引入命题翻译，由命题公式引入真值表，由真值表引入永真式和永假式以及可满足式等.对知识点进行组织，形成无向图如图3所示.
2.不同章节之间内容的知识结构
我们不能只是局限于本章节知识点之间的关系，要同时让学生能够理解不同章节之间的内容的相关性.要让学生了解到不同章节知识点看似松散，实则承前启后，相互呼应.知识点所在的层次和深度会随着所学习的课程内容不断扩展.所以，形成本章内容概念和其他章节内容之间的链接，让知识点之间形成一个有机的整体，才能最终让学生真正掌握所学知识.掌握这些概念的时候，不能孤立地一个个讨论，必须有比较地看，讨论它们之间的关系、区别和联系，这样才能比较容易把握住各个概念的实质.如果并运算可以表示为满足两个命题的析取所构成的所有元素，交运算可以表示为两个命题的合取所构成的所有元素.另外，集合的叙述法可以用谓词公式进行描述.并且，集合中的全集可以看作谓词逻辑中的重言式，空集是谓词逻辑中的矛盾式.并且数理逻辑中的运算定律在集合论中也成立.但是谓词逻辑与集合论是两个不同的范畴，需要注意它们之间的联系和区别.
在理解关系的基本性质的时候，根据定义，学生经常出现误判，对定义不能完全理解.学生不能理解只有一个序偶的关系是具有传递性的，按照通常的理解学生认为这里没有传递关系的存在，如果只是简单地让学生记住判断方法并不能消除学生心里的疑惑.我们要做的是让学生真正地知其然并知其所以然.在这里，如果用数理逻辑的方式描述，学生会恍然大悟.因为定义是以条件式的形式出现，因而前件为假，则条件式必定成立.所以，在没有首尾相连的序偶对出现时，是满足传递性的.
三、学生参与到知识结构的组织中
在课外学时分小组对其进行讨论，通过提出特定化的问题，让学生根据自己的思考，讨论知识点之间的联系.例如，为了让学生清楚地了解到集合中的概念和证明方法和数理逻辑之间的联系，提出以下问题：（1）集合恒等式的证明方法有几种？（2）命题逻辑和谓词逻辑推理的方法有几种？（3）比较二者之间的联系.（4）比较集合中的列举方法和数理逻辑中的真值表，并画出表格进行比较.（5）用数理逻辑中的连接词将关系的五个基本类型表达出来.（6）集合中的等价关系和偏序关系同数理逻辑中的蕴含和等价式的概念如何联系.在后续的教学中，我们也注意选取有趣的事例来活跃课堂.除了在内容上选取有趣的事例外，在课堂教学中，我们还非常注意使用幽默风趣的语言.这些尝试激发了学生的直接学习动机，增强了对这门课程的兴趣.对于间接性学习动机的激发，我们主要通过增加教学内容与专业的联系，让学生了解离散数学的重要性和作用.我们还将努力从不同的角度思考来改进教学方法，改革课程内容，让离散数学这门古老的课程继续焕发迷人的风采.
【参考文献】
[1]刘铎.离散数学结构课程研究性教学改革初探[J].计算机教育，2012（24）：41-44.
[2]贺国强.个性化协学生习系统中学生模型的构建与应用[D].北京：首都师范大学，2009.
[3]聂雅琳，王海军.基于悖论的离散数学教学改革与实践[J].教育论坛，2010（5）：128.