摘 要：本文主要运用柯西不等式、结合函数的单调性对《数学教学通讯》2009年第12期刊载的《几个优美的无理不等式》一文进行加权推广及并得到变式.
　　关键词：柯西不等式；无理不等式；单调性；加权推广；变式
　　
　　《数学教学通讯》2009年第12期刊载了《几个优美的无理不等式》（下文称其为文）一文，文中运用了均值不等式及契比雪夫不等式证明了几个优美的无理不等式，本文将运用柯西不等式、结合函数的单调性对《几个优美的无理不等式》一文进行加权推广并得到变式. 现以定理的形式陈述如下：
　　引理 设x，y，z∈R+，则≥++.
　　引理证明略.
　　对《几个优美的无理不等式》的定理1进行加权推广，则有如下定理：
　　定理1 设a，b，c，λ∈R，且a+b+c=1，则++≥.
　　证明 由柯西不等式，得++≥，又由引理，得++≤=，由上两不等式，定理1得证.
　　类似定理1的证明，我们有如下定理：
　　定理2 设a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，则++≥.
　　定理2即为《几个优美的无理不等式》定理2的加权推广.
　　对《几个优美的无理不等式》定理3进行加权推广，则有如下：
　　定理3 设a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，则++≥.
　　证明 由柯西不等式，得++≥，又由引理，得++≤，
　　故++≥=.
　　由柯西不等式，易得a2+b2+c2≥（a+b+c）2=，
　　易知，f（x）=（λ>0）在区间（0，+∞）上单调递增，结合f（x）的单调性，有++≥≥=.
　　类似定理3的证明，我们有如下定理：
　　定理4 设a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，则++≥.
　　定理5 设a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，则++≥.
　　定理4及定理5分别是《几个优美的无理不等式》中定理4及定理5的加权推广.
　　对本文定理3进行变式，可得到如下：
　　定理6 设a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，则++≥.
　　证明 由柯西不等式，得++≥，
　　又由引理，得++≤，
　　故++≥.
　　由均值不等式，易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
　　从而++≥=.
　　由柯西不等式，易得a2+b2+c2≥（a+b+c）2=，
　　易知f（x）=（λ>0）在区间（0，+∞）上单调递增，
　　结合f（x）的单调性，有++≥≥=.
　　类似定理6的证明，我们还可以得如下定理：
　　定理7 设a，b，c，λ∈R+，且a+b+c=1，则++≥.