分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位，特别是运用在导数求函数单调性中，其这个知识点是高考的热点，试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，近几年的试题中，都有涉及到导数的题目，比较新颖，利用导数研究函数的单调性是导数应用一个重要的方面，下面利用导数研究函数的单调性中参数的讨论作简单的研究：
　　一、由计算引起的讨论
　　例1、设函数 .
　　（Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值；
　　（Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点.
　　解：（Ⅰ） ，
　　∵曲线 在点 处与直线 相切，
　　∴
　　（Ⅱ）∵ ，
　　当 时， ，函数 在 上单调递增，
　　此时函数 没有极值点.
　　当 时，由 ，
　　当 时， ，函数 单调递增，
　　当 时， ，函数 单调递减，
　　当 时， ，函数 单调递增，
　　∴此时 是 的极大值点， 是 的极小值点.
　　点评：本题着重考查了利用导数研究原函数的基本性质，根据导函数值的正负取值，确定函数的单调区间.
　　二、由参数本身的变化引起的讨论
　　例2、已知函数 ，其中
　　（1）当 满足什么条件时， 取得极值？
　　（2）已知 ，且 在区间 上单调递增，试用 表示出 的取值范围.
　　解析： （1）由已知得 ，令 ，得 ，
　　要取得极值，方程 必须有解，
　　所以△ ，即 ，此时方程 的根为
　　，
　　，
　　所以
　　当 时，
　　X （-∞，x1） x 1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
　　f’（x） + 0 - 0 +
　　f （x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
　　所以 在x 1， x2处分别取得极大值和极小值.
　　当 时，
　　X （-∞，x2） x 2 （x2，x1） x1 （x1，+∞）
　　f’（x） - 0 + 0 -
　　f （x） 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
　　所以 在x 1， x2处分别取得极大值和极小值.
　　综上，当 满足 时， 取得极值.
　　（2）要使 在区间 上单调递增，需使
　　在 上恒成立.
　　即 恒成立，所以
　　设 ，
　　，
　　令 得 或 （舍去），
　　当 时， ，当 时
　　， 单调增函数；
　　当 时 ， 单调减函数，
　　所以当 时， 取得最大，最大值为
　　.所以
　　当 时， ，此时 在区间 恒成立，所以 在区间 上单调递增，当 时 最大，最大值为 ，所以
　　综上，当 时， ；当 时，
　　点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题.
　　三、由结果引起的讨论：
　　例3、已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且 在 处取得极小值 .设 .
　　（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
　　（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点.
　　解析：（1）依题可设 （ ），则 ；
　　又 的图像与直线 平行
　　， ，
　　设 ，
　　则
　　当且仅当 时， 取得最小值，即
　　取得最小值
　　当 时， 解得
　　当 时， 解得
　　（2）由
　　（ ），得
　　当 时，方程 有一解 ，
　　函数 有一零点 ；
　　当 时，方程 有二解
　　，
　　若 ， ，
　　函数 有两个零点
　　，
　　即 ；
　　若 ， ，函数 有两个零点 ，
　　即 ；
　　当 时，方程 有一解
　　， ，
　　函数 有一零点
　　综上，当 时， 函数 有一零点 ；
　　当 （ ），
　　或 （ ）时，
　　函数 有两个零点
　　；
　　当 时，函数 有一零点
　　点评：本题着重考查了利用导数研究原函数的基本性质，给出的函数不仅设置了参变量a，而且还考查了导数的四则运算，解决本题首先是正确求出导数 ，然后解关于x的不等式 和 ，在解不等式时，又要对a实施分类讨论，最后求出x的取值范围。
　　收稿日期：2014-01-04