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解题是数学学习的重要活动，解题过程实质就是充分挖掘已知条件，选择合理可行的解题思路和途径，将已知条件进行优化组合与变形、化简、整理，逐步达到题设目标的过程.通过审题，能否迅速形成解题思路是决定解题速度和提高解题能力的关键.因此，在数学教学中，解题思路对能否迅速解决数学问题，培养学生的思维能力具有重要作用.
在实际教学中，可采用“根据信息特征，联想知识点；数形结合，直观感受；从特殊实例出发，借助特殊位置、数值或特殊元素，具体形象地感受；变换问题角度，改变思维方向，挖掘条件与结论之间的内在关系，形成解题思路；挖掘已知条件中隐含的条件”等几方面进行解题思路的突破.下面结合教学实例，谈谈迅速建立解题思路的几点策略.
1.联想对比的策略
通过观察问题中已经给出的数或式子，根据信息抓住关键特征，联想对比知识，往往能很快发现解题思路.
例1 已知a，b，c∈R，满足5a+c5b=1.则下面结论正确的是().
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac≥0
C.b2-4ac≤0
D.b2-4ac>0
分析 面对此题中的条件和结论，感到好像是考查不等式，但思路难以建立，这时注意结论中b2-4ac这个关键信息，不难联想到一元二次方程中根的判别式，于是可以将5a+c5b=1变形为a(5)2+b5+c=0，说明5是方程ax2-bx+c=0的根，即说明方程ax2-bx+c=0必然有实数根，所以b2一4ac≥0，于是选择B.
像这样类型的问题在我们解题中常常遇到，例如，计算x2+4x+5±x2+x+1的值域时，常常联想两点间距离公式.因此，在学习过程中不断积累经验，就能很快发现解题思路.
2.数形结合的突破策略
在解题时，往往注重文字表达的含义和数值运算，不注意或很少借助“形”去直观理解感觉，而很多题目往往从直观图形上更好解决.
例2 若不等式logax>x2在x∈0,12上恒成立，求a的取值范围.
分析 解决该问题，如果当作解不等式问题来解决，则运算量大，而且不容易计算，故可以考虑利用函数图像解决，构造函数y=logax和y=x2，然后在同一个坐标系中分别作出它们的图像，只需在x∈0,12时，使函数y=logax的图像在变化过程中始终在函数y=x2的图像的上方即可得到a的取值范围.
例3 已知点P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的点，且a，b，c恰为直角三角形的三边长，c为斜边，则m2+n2的最小值是.
分析 此题将点P(m，n)的坐标代入直线ax+by+2c=0方程中，再通过消元将m2+n2化为含有一个变量的式子，再利用函数最值的方法计算，好像能解决，但实际运算很难利用已知条件“恰为直角三角形的三边”，而且运算量很大；而若能联想到a，b，c，m2+n2的几何意义，该题实质就是计算原点到直线ax+by+2c＝0上的点的距离的平方的最小值，所以运用点到直线的距离公式计算：m2+n2=2ca2+b22=4c2a2+b2=4.
像这种在用数值难于计算或不能计算时，常常联想构造图形来解决，既能减少运算量又能提高正确率，是我们解题中时刻不能忘记的一个重要工具，即“得意不要忘‘形’”.
3.特殊模型的开路策略
在许多问题中，我们常常感到已知条件十分陌生，难于理解，不能建立解题思路，这时可以通过一些特殊情况进行具体的直观的感受，从特殊实例出发，借助特殊位置、数值或特殊元素等，从中获得信息找到问题突破口.
例4 已知：a，b，c为△ABC的三边，满足a2+b2>c2，则对任意n>2(n∈N)，判断三角形的形状.(钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰直角三角形)
分析 此题直接解决十分难入手，由于n>2(n∈N)，因此当n取不同数值时所得的结果应该是相同的，所以不妨取一些特值进行判断.如n＝3时，可以将a，b，c赋上特值进行判断，如a=43，b＝44，c＝45；然后取n＝4，a2+b2＝2+3>c2＝5，所以该三角形是锐角三角形.
这种方法，在许多问题中都可以运用，在高考选择填空题中运用得更多.像在解析几何问题中，常常遇到定点和定值问题，或在运动变化过程中探求问题的问题中，我们都可以先通过特殊情境探究结论，从而有目的地将问题解决.
4.正难则反的思考策略
当问题正面解决比较困难时，可以改变思维方向，从问题的反面思考，从而探求出问题解决的方法.
例5 四面体的顶点及各棱的中点共10个点，在其中任取不共面的4点，则不同取法共有多少种?
分析 本题若从正面考虑，很难进行分类，若从反面入手，用补集思想，则可以简化问题.即从10个点中任取4个共有C410种取法，在排除共面的4点恰在四面体的面内有4C46种取法，再排除每条棱上的3个点与其相对棱的中点共面的情况共6种，还有6个中点构成的3个平行四边形，故不共面的取法共有C410-4C46-6-3=141(种).
5.挖掘内在规律的发现策略
有些题目，审题时可以将条件和结论有机结合起来，挖掘条件与结论之间的内在联系，从而发现解题思路.
例6 已知函数f(x)=x3+2x，若任意实数x1，x2，x3满足x1+x2>0，x2+x3>0，x1+x3>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)().
A.大于零
B.小于零
C.大于等于零
D.不能确定
分析 此题明显是考查函数有关知识，而且给出自变量x1，x2，x3的不等关系，判断函数值的符号，应该联想到运用函数的单调性和奇偶性来解决问题，从而探求出函数f(x)=x3+2x的单调性和奇偶性，即它是定义在实数集上的奇函数，而且为单调增函数，所以由x1+x2>0，x2+x3>0，x1+x3>0易得x1>-x2，x2>-x3，x1>-x3，所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0.同理可得其他，再将各式相加，即得f(x1)+f(x2)+f(x3)为正数，所以选择A.
像这种明显带有知识点特色的习题在考试中常见，例如在解析几何题目中，有关圆锥曲线的题目，很多都要考虑到用定义解题，在数列题目中，往往结合数列的性质整体运算的多，只要在学习中注意观察和总结，不难发现一些常规的解法.
特别要注意挖掘已知条件中隐含的条件，揭开题目神秘的面纱发现其实质，能很快找到解题思路.所谓隐含条件实质就是题目本身具有或客观存在的事实，而题目中往往不明确指出，所以容易忽略，找不到解题思路.当仔细阅读题目条件并能抓住其隐含条件时，往往就找到解题思路了.
例7 已知△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则C等于().
A.150°
B.30°
C.150°或30°
D.不能确定
分析 给出的条件十分有限，仅仅两个式子，其实隐含的条件有：三角形中角的范围；三个角的和为180°，所以只要知道两个角的和，就能计算出第三个角；还隐含同名三角函数的关系：sin2α+cos2α=1.为利用以上关系，将两个已知式子同时平方，再将等号左右两边的值分别相加，得9+16+24sinAcosB+24cosAsinB=37，再整理为sin(A+B)=12,再利用sin(A+B)=sinC，可以得到sinC=12,从而∠C等于150°或30°.再利用条件3sinA+4cosB=6中隐含的3sinA=6-4cosB>0，所以032>13，产生矛盾，所以应该选择B.
以上是我在教学过程中发现的一些能够较快建立解题思路的方法，在数学解题中，只要做一个有心人，善于总结，善于发现，善于探究，就会不断提升解题水平和解题能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在实际教学中，可采用“根据信息特征，联想知识点；数形结合，直观感受；从特殊实例出发，借助特殊位置、数值或特殊元素，具体形象地感受；变换问题角度，改变思维方向，挖掘条件与结论之间的内在关系，形成解题思路；挖掘已知条件中隐含的条件”等几方面进行解题思路的突破.下面结合教学实例，谈谈迅速建立解题思路的几点策略.
1.联想对比的策略
通过观察问题中已经给出的数或式子，根据信息抓住关键特征，联想对比知识，往往能很快发现解题思路.
例1 已知a，b，c∈R，满足5a+c5b=1.则下面结论正确的是().
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac≥0
C.b2-4ac≤0
D.b2-4ac>0
分析 面对此题中的条件和结论，感到好像是考查不等式，但思路难以建立，这时注意结论中b2-4ac这个关键信息，不难联想到一元二次方程中根的判别式，于是可以将5a+c5b=1变形为a(5)2+b5+c=0，说明5是方程ax2-bx+c=0的根，即说明方程ax2-bx+c=0必然有实数根，所以b2一4ac≥0，于是选择B.
像这样类型的问题在我们解题中常常遇到，例如，计算x2+4x+5±x2+x+1的值域时，常常联想两点间距离公式.因此，在学习过程中不断积累经验，就能很快发现解题思路.
2.数形结合的突破策略
在解题时，往往注重文字表达的含义和数值运算，不注意或很少借助“形”去直观理解感觉，而很多题目往往从直观图形上更好解决.
例2 若不等式logax>x2在x∈0,12上恒成立，求a的取值范围.
分析 解决该问题，如果当作解不等式问题来解决，则运算量大，而且不容易计算，故可以考虑利用函数图像解决，构造函数y=logax和y=x2，然后在同一个坐标系中分别作出它们的图像，只需在x∈0,12时，使函数y=logax的图像在变化过程中始终在函数y=x2的图像的上方即可得到a的取值范围.
例3 已知点P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的点，且a，b，c恰为直角三角形的三边长，c为斜边，则m2+n2的最小值是.
分析 此题将点P(m，n)的坐标代入直线ax+by+2c=0方程中，再通过消元将m2+n2化为含有一个变量的式子，再利用函数最值的方法计算，好像能解决，但实际运算很难利用已知条件“恰为直角三角形的三边”，而且运算量很大；而若能联想到a，b，c，m2+n2的几何意义，该题实质就是计算原点到直线ax+by+2c＝0上的点的距离的平方的最小值，所以运用点到直线的距离公式计算：m2+n2=2ca2+b22=4c2a2+b2=4.
像这种在用数值难于计算或不能计算时，常常联想构造图形来解决，既能减少运算量又能提高正确率，是我们解题中时刻不能忘记的一个重要工具，即“得意不要忘‘形’”.
3.特殊模型的开路策略
在许多问题中，我们常常感到已知条件十分陌生，难于理解，不能建立解题思路，这时可以通过一些特殊情况进行具体的直观的感受，从特殊实例出发，借助特殊位置、数值或特殊元素等，从中获得信息找到问题突破口.
例4 已知：a，b，c为△ABC的三边，满足a2+b2>c2，则对任意n>2(n∈N)，判断三角形的形状.(钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰直角三角形)
分析 此题直接解决十分难入手，由于n>2(n∈N)，因此当n取不同数值时所得的结果应该是相同的，所以不妨取一些特值进行判断.如n＝3时，可以将a，b，c赋上特值进行判断，如a=43，b＝44，c＝45；然后取n＝4，a2+b2＝2+3>c2＝5，所以该三角形是锐角三角形.
这种方法，在许多问题中都可以运用，在高考选择填空题中运用得更多.像在解析几何问题中，常常遇到定点和定值问题，或在运动变化过程中探求问题的问题中，我们都可以先通过特殊情境探究结论，从而有目的地将问题解决.
4.正难则反的思考策略
当问题正面解决比较困难时，可以改变思维方向，从问题的反面思考，从而探求出问题解决的方法.
例5 四面体的顶点及各棱的中点共10个点，在其中任取不共面的4点，则不同取法共有多少种?
分析 本题若从正面考虑，很难进行分类，若从反面入手，用补集思想，则可以简化问题.即从10个点中任取4个共有C410种取法，在排除共面的4点恰在四面体的面内有4C46种取法，再排除每条棱上的3个点与其相对棱的中点共面的情况共6种，还有6个中点构成的3个平行四边形，故不共面的取法共有C410-4C46-6-3=141(种).
5.挖掘内在规律的发现策略
有些题目，审题时可以将条件和结论有机结合起来，挖掘条件与结论之间的内在联系，从而发现解题思路.
例6 已知函数f(x)=x3+2x，若任意实数x1，x2，x3满足x1+x2>0，x2+x3>0，x1+x3>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)().
A.大于零
B.小于零
C.大于等于零
D.不能确定
分析 此题明显是考查函数有关知识，而且给出自变量x1，x2，x3的不等关系，判断函数值的符号，应该联想到运用函数的单调性和奇偶性来解决问题，从而探求出函数f(x)=x3+2x的单调性和奇偶性，即它是定义在实数集上的奇函数，而且为单调增函数，所以由x1+x2>0，x2+x3>0，x1+x3>0易得x1>-x2，x2>-x3，x1>-x3，所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0.同理可得其他，再将各式相加，即得f(x1)+f(x2)+f(x3)为正数，所以选择A.
像这种明显带有知识点特色的习题在考试中常见，例如在解析几何题目中，有关圆锥曲线的题目，很多都要考虑到用定义解题，在数列题目中，往往结合数列的性质整体运算的多，只要在学习中注意观察和总结，不难发现一些常规的解法.
特别要注意挖掘已知条件中隐含的条件，揭开题目神秘的面纱发现其实质，能很快找到解题思路.所谓隐含条件实质就是题目本身具有或客观存在的事实，而题目中往往不明确指出，所以容易忽略，找不到解题思路.当仔细阅读题目条件并能抓住其隐含条件时，往往就找到解题思路了.
例7 已知△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则C等于().
A.150°
B.30°
C.150°或30°
D.不能确定
分析 给出的条件十分有限，仅仅两个式子，其实隐含的条件有：三角形中角的范围；三个角的和为180°，所以只要知道两个角的和，就能计算出第三个角；还隐含同名三角函数的关系：sin2α+cos2α=1.为利用以上关系，将两个已知式子同时平方，再将等号左右两边的值分别相加，得9+16+24sinAcosB+24cosAsinB=37，再整理为sin(A+B)=12,再利用sin(A+B)=sinC，可以得到sinC=12,从而∠C等于150°或30°.再利用条件3sinA+4cosB=6中隐含的3sinA=6-4cosB>0，所以0
以上是我在教学过程中发现的一些能够较快建立解题思路的方法，在数学解题中，只要做一个有心人，善于总结，善于发现，善于探究，就会不断提升解题水平和解题能力.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文