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【摘要】在数学教学中,开拓学生思维是教师不可忽视的一个重要环节,它是学生学好数学的关键所在。只有充分利用现有教材,深入挖掘教材内在潜力,准确、有效地运用“一题多练、一题多变”的导学方法，强化变式训练，培养学生的创新精神，才能全面提高学生的思维能力，克服学生学习数学的畏难心理，改变学生数学成绩不理想的现状。
【关键词】变式训练 开拓 思维能力
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）02-0072-02
目前，在普及九年义务教育后，有相当部分学生在初中数学学习中，成绩严重低下，直接影响了数学科的整体质量，究其原因，学生的解（证）题的逻辑思维和探索能力差是其中一个重要因素。为有效地提高教学质量，圆满完成初中数学的教学任务，让全体学生都得到发展，在教学中，除了使学生掌握数学基础知识和数学解（证）题的一般方法外，有效地运用“一题多练、一题多变”的导学方法，强化变式训练，不断开拓学生的思维，这对培养学生的创新意识和创新能力，培养数学思维品质，全面提高学生素质，具有十分重要的作用。本文就此谈谈自己的浅见。
变式一：不改变命题结构，只改变（或深化）命题结论，以培养思维的广阔性和深刻性。
教师要经常对不同类型的习题或例题进行挖掘、引申、演变、推广，适时地进行导学。如：不改变其条件，挖掘（或改变）结论。引导学生在熟知命题条件的基础上，细心地观察图形，根据知识间的内在联系，猜想一些新的结论，并运用所学的知识去证明这些新结论。这对于培养学生思维的广阔性和深刻性，沟通各部分知识之间的联系，举一反三，触类旁通，具有重要作用。
例1，已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形，AN与CM相交于G，BM与CN相交于H，求证：AN=BM（人教版初中《几何》第二册P113页13题）
分析：因为AN和BM分别在△CAN和△MCB中可考虑证明△ACN≌△MCB。由于这两个三角形的两组对应边又分别是两个等边三角形的边，且对应边的夹角又与等边三角形的角有关，易证∠ACN=∠MCB，所以命题可证。
下面将例1的的条件不变，引导学生观察图形，图中还有相等的线段吗？试证明之。于是得结论（1）：CG=CH。
再连结GH（如图1①），则△CGH是什么三角形？于是得结论（2）：△CGH是等边三角形。
引导学生观察GH与AB的位置关系，于是可得如下结论：
结论（3）：GH//AB
结论（4）：NG/AN=GH/AC
结论（5）：NG·AC=MH·BC
此题仍可挖掘其它一些结论，此处不一一赘述。
例2，如图2，⊙ O1和⊙O2 外切于点A，BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC（人教版《几何》第三册P144页例题）
在完成本例的教学后，可作如下延伸：
1.延长CA交⊙O1 于D，连结BD（如图2①）。
则：①BD是⊙ 的直径；
②∠DBC=90°；
③BC2 =CA·CD；
④BD2=DA·DC；
⑤AB2=AC·AD。
2.过D作⊙O2的切线DE（如图2②）。
则：①DE2=DA·DC；②DE=BD
3.设⊙O1 的半径为3，⊙O2 的半径为1，求：①外公切线BC的长；②梯形CBDE的面积和扇形 O1AB的面积，等等。
通过挖掘命题的结论和必要的引申深化，进一步开阔了学生审题和解题的视野，启迪了学生的思维角度和深度，极大地激发了学生的学习兴趣和创造精神，使学习进入了一个全新的境界。
变式二：改变命题结构，变原命题为逆命题（或否命题或逆否命题），以培养思维的逆向性和灵活性。
思维的逆向性和灵活性是思维能力的核心,创造性思维往往依赖于思维的逆向性和灵活性,灵机一动,计上心来,说的就是这个意思。
现行中学课本中的这种变式并不少见。如原定理和逆定理的证明,采用反证法证明某些命题,都是一种很好的变式训练.它对于克服学生在解(证)题中的某种思维定势,拓宽解题思路都是十分有利的。
例3,已知:如图3, △ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切(人教版《几何》第三册P111页第2题)
在完成此题的练习之后，可对此命题作如下变式：
1.已知：如图3，△ABC为等腰三角形,点O在BC上，⊙O与AB相切于点D，与AC相切于点E，求证：O是BC的中点（或OB=OC）。
2.已知：如图3，点O是△ABC的BC边上的中点，⊙O与AB相切于点D，与AC相切于点E，求证：△ABC是等腰三角形（或AB=AC）。
变式三：利用几何图形中的某些位置特点，不断变化命题的条件和结论，组成一连串的新命题，以培养思维的严密性。
思维的严密性是指思考问题时能考虑到问题的方方面面，不疏漏各种情况和所有的细节，能全面、准确地解决问题，做到无懈可击。因此，教师在教学中应适时地对学生进行训练，以培养学生思维的严密性。
例4、在△ABC中，AB=AC，若过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，求△ABC各内角的度数。
分析：过等腰△ABC的一个顶点的直线把△ABC分成两个等腰三角形的情形大致有如下几种：
①过顶点A的直线与BC交于点D，且AD=BD=DC，如图4①；
②过顶点A的直线与BC交于点D，且AB=BD，AD=DC，如图4②；
③过顶点B的直线与AC交于点D，且AD=BD=BC，如图4③；
④过顶点B的直线与AC交于点D，且AD=BD，CD=BC，如图4④；
⑤过顶点C的直线与AB交于点D，且AD=CD=BC，情形与③类似（图略）；
⑥过顶点C的直线与AB交于点D，且AD=CD，BD=BC，情形与④类似（图略）；
经过教师的启发和引导，师生共同分析以上六种情形，于是求三个内角的度数问题便迎刃而解，得出答案如下：
①90°，45°，45°； ②108°，36°，36°；
③36°，72°，72°； ④(225/7)° ,(771/7 )°, (77 1/7 )°。
变式四：不改变命题的条件和结论，只改变命题的表述形式，把同一问题进行扩展，增长学生的视野，以培养思维的广阔性，提高学生解决问题的能力。
例5、已知一次函数y=kx+b,x=0时，y=3；当x=2时，y=0。求这个一次函数的解析式。
为了使学生加深对“待定系数法”求一次函数解析式的理解,熟练掌握“待定系数法”的解题方法,可以对例5的表述形式作如下不同表述:
表述一:已知一个一次函数当自变量x=0时,函数值y=3;这个函数的图象经过点A(2,0),求这个一次函数的解析式。
表述二:已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,3)与点(2,0),求这个一次函数的解析式。
表述三:已知直线y=kx+b经过点(0,3)与点(2,0),求此直线的解析式。
表述四：图5是一次函数y=kx+b的图象，根据图象求这个一次函数的解析式。
……
通过这样一系列的变式训练，一方面可以使学生对同一类型的问题加深认识和理解，把书本知识读厚；同时又能将同一类型的问题简化，把书本读薄，起到以一带十的作用。这样，对学生的思维更具广阔性，解决问题的能力进一步得到增强。
还有其它一些变式，在此不一一细述。
以上只是粗略地介绍了我在多年的数学教学实践中较为经常采用的几种变式训练。实践使我深深地体会到：只要能充分利用好现有教材，深入挖掘教材内容的内在潜力，准确、有效地运用“一题多练、一题多变”的导学功能，强化训练，不断开拓学生的思维，培养学生创新精神，定能改变学生学习成绩严重低下的现状，从而不断提高学生的数学素质和数学能力，数学科的教育教学质量就能不断提高。
参考文献
1.马帅超：《要善于“借题发挥”》
【关键词】变式训练 开拓 思维能力
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）02-0072-02
目前，在普及九年义务教育后，有相当部分学生在初中数学学习中，成绩严重低下，直接影响了数学科的整体质量，究其原因，学生的解（证）题的逻辑思维和探索能力差是其中一个重要因素。为有效地提高教学质量，圆满完成初中数学的教学任务，让全体学生都得到发展，在教学中，除了使学生掌握数学基础知识和数学解（证）题的一般方法外，有效地运用“一题多练、一题多变”的导学方法，强化变式训练，不断开拓学生的思维，这对培养学生的创新意识和创新能力，培养数学思维品质，全面提高学生素质，具有十分重要的作用。本文就此谈谈自己的浅见。
变式一：不改变命题结构，只改变（或深化）命题结论，以培养思维的广阔性和深刻性。
教师要经常对不同类型的习题或例题进行挖掘、引申、演变、推广，适时地进行导学。如：不改变其条件，挖掘（或改变）结论。引导学生在熟知命题条件的基础上，细心地观察图形，根据知识间的内在联系，猜想一些新的结论，并运用所学的知识去证明这些新结论。这对于培养学生思维的广阔性和深刻性，沟通各部分知识之间的联系，举一反三，触类旁通，具有重要作用。
例1，已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形，AN与CM相交于G，BM与CN相交于H，求证：AN=BM（人教版初中《几何》第二册P113页13题）
分析：因为AN和BM分别在△CAN和△MCB中可考虑证明△ACN≌△MCB。由于这两个三角形的两组对应边又分别是两个等边三角形的边，且对应边的夹角又与等边三角形的角有关，易证∠ACN=∠MCB，所以命题可证。
下面将例1的的条件不变，引导学生观察图形，图中还有相等的线段吗？试证明之。于是得结论（1）：CG=CH。
再连结GH（如图1①），则△CGH是什么三角形？于是得结论（2）：△CGH是等边三角形。
引导学生观察GH与AB的位置关系，于是可得如下结论：
结论（3）：GH//AB
结论（4）：NG/AN=GH/AC
结论（5）：NG·AC=MH·BC
此题仍可挖掘其它一些结论，此处不一一赘述。
例2，如图2，⊙ O1和⊙O2 外切于点A，BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC（人教版《几何》第三册P144页例题）
在完成本例的教学后，可作如下延伸：
1.延长CA交⊙O1 于D，连结BD（如图2①）。
则：①BD是⊙ 的直径；
②∠DBC=90°；
③BC2 =CA·CD；
④BD2=DA·DC；
⑤AB2=AC·AD。
2.过D作⊙O2的切线DE（如图2②）。
则：①DE2=DA·DC；②DE=BD
3.设⊙O1 的半径为3，⊙O2 的半径为1，求：①外公切线BC的长；②梯形CBDE的面积和扇形 O1AB的面积，等等。
通过挖掘命题的结论和必要的引申深化，进一步开阔了学生审题和解题的视野，启迪了学生的思维角度和深度，极大地激发了学生的学习兴趣和创造精神，使学习进入了一个全新的境界。
变式二：改变命题结构，变原命题为逆命题（或否命题或逆否命题），以培养思维的逆向性和灵活性。
思维的逆向性和灵活性是思维能力的核心,创造性思维往往依赖于思维的逆向性和灵活性,灵机一动,计上心来,说的就是这个意思。
现行中学课本中的这种变式并不少见。如原定理和逆定理的证明,采用反证法证明某些命题,都是一种很好的变式训练.它对于克服学生在解(证)题中的某种思维定势,拓宽解题思路都是十分有利的。
例3,已知:如图3, △ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切(人教版《几何》第三册P111页第2题)
在完成此题的练习之后，可对此命题作如下变式：
1.已知：如图3，△ABC为等腰三角形,点O在BC上，⊙O与AB相切于点D，与AC相切于点E，求证：O是BC的中点（或OB=OC）。
2.已知：如图3，点O是△ABC的BC边上的中点，⊙O与AB相切于点D，与AC相切于点E，求证：△ABC是等腰三角形（或AB=AC）。
变式三：利用几何图形中的某些位置特点，不断变化命题的条件和结论，组成一连串的新命题，以培养思维的严密性。
思维的严密性是指思考问题时能考虑到问题的方方面面，不疏漏各种情况和所有的细节，能全面、准确地解决问题，做到无懈可击。因此，教师在教学中应适时地对学生进行训练，以培养学生思维的严密性。
例4、在△ABC中，AB=AC，若过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，求△ABC各内角的度数。
分析：过等腰△ABC的一个顶点的直线把△ABC分成两个等腰三角形的情形大致有如下几种：
①过顶点A的直线与BC交于点D，且AD=BD=DC，如图4①；
②过顶点A的直线与BC交于点D，且AB=BD，AD=DC，如图4②；
③过顶点B的直线与AC交于点D，且AD=BD=BC，如图4③；
④过顶点B的直线与AC交于点D，且AD=BD，CD=BC，如图4④；
⑤过顶点C的直线与AB交于点D，且AD=CD=BC，情形与③类似（图略）；
⑥过顶点C的直线与AB交于点D，且AD=CD，BD=BC，情形与④类似（图略）；
经过教师的启发和引导，师生共同分析以上六种情形，于是求三个内角的度数问题便迎刃而解，得出答案如下：
①90°，45°，45°； ②108°，36°，36°；
③36°，72°，72°； ④(225/7)° ,(771/7 )°, (77 1/7 )°。
变式四：不改变命题的条件和结论，只改变命题的表述形式，把同一问题进行扩展，增长学生的视野，以培养思维的广阔性，提高学生解决问题的能力。
例5、已知一次函数y=kx+b,x=0时，y=3；当x=2时，y=0。求这个一次函数的解析式。
为了使学生加深对“待定系数法”求一次函数解析式的理解,熟练掌握“待定系数法”的解题方法,可以对例5的表述形式作如下不同表述:
表述一:已知一个一次函数当自变量x=0时,函数值y=3;这个函数的图象经过点A(2,0),求这个一次函数的解析式。
表述二:已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,3)与点(2,0),求这个一次函数的解析式。
表述三:已知直线y=kx+b经过点(0,3)与点(2,0),求此直线的解析式。
表述四：图5是一次函数y=kx+b的图象，根据图象求这个一次函数的解析式。
……
通过这样一系列的变式训练，一方面可以使学生对同一类型的问题加深认识和理解，把书本知识读厚；同时又能将同一类型的问题简化，把书本读薄，起到以一带十的作用。这样，对学生的思维更具广阔性，解决问题的能力进一步得到增强。
还有其它一些变式，在此不一一细述。
以上只是粗略地介绍了我在多年的数学教学实践中较为经常采用的几种变式训练。实践使我深深地体会到：只要能充分利用好现有教材，深入挖掘教材内容的内在潜力，准确、有效地运用“一题多练、一题多变”的导学功能，强化训练，不断开拓学生的思维，培养学生创新精神，定能改变学生学习成绩严重低下的现状，从而不断提高学生的数学素质和数学能力，数学科的教育教学质量就能不断提高。
参考文献
1.马帅超：《要善于“借题发挥”》