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函数是高中数学的主要内容,也是整个高中数学的基础。而对函数性质的考察,一直是高考的热点。函数的对称性是函数的一个基本性质,学生对它的认识比较肤浅,缺乏全面、深入的研究。对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。下面对函数的对称性加以总结和探究:
一、中学数学有关的对称性
1.奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数的图像关于y轴对称
3.两个互为反函数的图像关于直线y=x对称
4.如果一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称
5.如果函数y=f (x),对定义域内任意的x满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f (x)的图像关于x=(a+b)/2对称。
6.函数y=f(a+x)的图像与函数y=(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
7.如果函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
8、函数y=f(a+x)的图像关于点M(m.n)中心对称的充要条件是:对于定义域的任意x,都有f(x)=2n-f(2m-x)
9、如果函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
二、函数自身的对称性
定理1.函数 y=f (x)的图像关于点A (a,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a-x)=2b
证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f (x)图像上任一点,∵点P( x,y)关于点A (a,b)的对称点P‘(2a-x,2b-y)也在y=f (x)图像上,∴ 2b-y=f (2a-x)即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f (x)图像上任一点,则y0=f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x)=2b∴f (x0) + f (2a-x0)=2b,即2b-y0=f (2a-x0)。
故点P′(2a-x0,2b-y0)也在y=f (x) 图像上,而点P与点P′关于点A (a,b)对称,充分性得征。
推论:函数 y=f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x)=0
定理2.函数 y=f (x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f (a+x)=f (a-x) 即f(x)=f(2a-x) (证明留给读者)
推论:函数 y=f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x)=f (-x)
定理3.①若函数y=f (x) 图像同时关于点A (a,c)和点B (b,c)成中心对称(a≠b),则y=f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y=f (x) 图像同时关于直线x=a 和直线x=b成轴对称 (a≠b),则y=f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y=f (x)图像既关于点A (a,c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y=f (x)图像既关于点A (a,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ]=2c………………(*)
又∵函数y=f (x)图像直线x=b成轴对称,
∴ f (2b-x)=f (x)代入(*)得:
f (x)=2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x]=2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
f (x)=f [4(a-b) + x],故y=f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
三、不同函数的对称性
定理4.函数y=f (x)与y=2b-f (2a-x)的图像关于点A (a,b)成中心对称。
定理5.①函数y=f (x)与y=f (2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f (x)与a-x=f (a-y)的图像关于直线x +y=a成轴对称。
③函数y=f (x)与x-a=f (y + a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③
设点P(x0,y0)是y=f (x)图像上任一点,则y0=f(x0)。记点P( x,y)关于直线x-y=a的轴对称点为P′(x1,y1),则x1=a+y0,y1=x0-a,∴x0=a+y1,y0=x1-a 代入y0=f (x0)之中得x1-a=f (a+y1) ∴点P′(x1,y1)在函数x-a=f (y+a)的图像上。
同理可证:函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论:函数y=f (x)的图像与x=f (y)的图像关于直线x=y 成轴对称。
四、三角函数图像的对称性列表
函 数对称中心坐标对称轴方程
y=sin x( kπ,0 )x=kπ+π/2
y=cos x( kπ+π/2,0 )x=kπ
y=tan x(kπ/2,0 )无
注:①上表中k∈Z
②y=tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0 ),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y=tan x的所有对称中心坐标是( kπ,0 ),这明显是错的。
五、函数对称性应用举例
例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x)=f (5+x),则f (x)一定是() (第十二届希望杯高二 第二试题)
(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数
解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x)=f (10-x).
∴f (x)有两条对称轴 x=5与x=10,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数,∴x=0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2:设定义域为R的函数y=f (x)、y=g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,若g(5)=1999,那么f(4)=()。
(A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。
解:∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,∴y=g-1(x-2) 反函数是y=f(x-1),而y=g-1(x-2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x-1)=2+g(x),∴有f(5-1)=2+g(5)=2001
故f(4)=2001,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f (x)=-12x,則f (8.6 )= (第八届希望杯高二 第一试题)
解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴;
又∵f(1+x)=f(1-x) ∴x=1也是y=f (x) 对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 )=f (8+0.6 )=f (0.6 )=f (-0.6 )=0.3
例4.函数 y=sin (2x+5π2)的图像的一条对称轴的方程是()(92全国高考理)
(A) x=-π2 (B) x=-π4 (C) x=π8 (D) x=5π4
解:函数 y=sin (2x+ 5π2)的图像的所有对称轴的方程是2x+5π2=kπ+π2
∴x=kπ2-π,显然取k=1时的对称轴方程是x=-π2 故选(A)
例5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f (x)=x,则f (7.5 )=()
(A) -0.5 (B)0.5 (C)1.5 (D) -1.5
解:∵y=f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;
又∵f(x+2)=-f (x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x),∴直线x=1是y=f(x)对称轴,故y=f(x)是周期为2的周期函数。
∴f(7.5 )=f (8-0.5 )=f (-0.5 )=-f (0.5 )=-0.5 故选(A)
一、中学数学有关的对称性
1.奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数的图像关于y轴对称
3.两个互为反函数的图像关于直线y=x对称
4.如果一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称
5.如果函数y=f (x),对定义域内任意的x满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f (x)的图像关于x=(a+b)/2对称。
6.函数y=f(a+x)的图像与函数y=(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。
7.如果函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
8、函数y=f(a+x)的图像关于点M(m.n)中心对称的充要条件是:对于定义域的任意x,都有f(x)=2n-f(2m-x)
9、如果函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
二、函数自身的对称性
定理1.函数 y=f (x)的图像关于点A (a,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a-x)=2b
证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f (x)图像上任一点,∵点P( x,y)关于点A (a,b)的对称点P‘(2a-x,2b-y)也在y=f (x)图像上,∴ 2b-y=f (2a-x)即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f (x)图像上任一点,则y0=f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x)=2b∴f (x0) + f (2a-x0)=2b,即2b-y0=f (2a-x0)。
故点P′(2a-x0,2b-y0)也在y=f (x) 图像上,而点P与点P′关于点A (a,b)对称,充分性得征。
推论:函数 y=f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x)=0
定理2.函数 y=f (x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f (a+x)=f (a-x) 即f(x)=f(2a-x) (证明留给读者)
推论:函数 y=f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x)=f (-x)
定理3.①若函数y=f (x) 图像同时关于点A (a,c)和点B (b,c)成中心对称(a≠b),则y=f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y=f (x) 图像同时关于直线x=a 和直线x=b成轴对称 (a≠b),则y=f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y=f (x)图像既关于点A (a,c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y=f (x)图像既关于点A (a,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ]=2c………………(*)
又∵函数y=f (x)图像直线x=b成轴对称,
∴ f (2b-x)=f (x)代入(*)得:
f (x)=2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x]=2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
f (x)=f [4(a-b) + x],故y=f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
三、不同函数的对称性
定理4.函数y=f (x)与y=2b-f (2a-x)的图像关于点A (a,b)成中心对称。
定理5.①函数y=f (x)与y=f (2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f (x)与a-x=f (a-y)的图像关于直线x +y=a成轴对称。
③函数y=f (x)与x-a=f (y + a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③
设点P(x0,y0)是y=f (x)图像上任一点,则y0=f(x0)。记点P( x,y)关于直线x-y=a的轴对称点为P′(x1,y1),则x1=a+y0,y1=x0-a,∴x0=a+y1,y0=x1-a 代入y0=f (x0)之中得x1-a=f (a+y1) ∴点P′(x1,y1)在函数x-a=f (y+a)的图像上。
同理可证:函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论:函数y=f (x)的图像与x=f (y)的图像关于直线x=y 成轴对称。
四、三角函数图像的对称性列表
函 数对称中心坐标对称轴方程
y=sin x( kπ,0 )x=kπ+π/2
y=cos x( kπ+π/2,0 )x=kπ
y=tan x(kπ/2,0 )无
注:①上表中k∈Z
②y=tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0 ),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y=tan x的所有对称中心坐标是( kπ,0 ),这明显是错的。
五、函数对称性应用举例
例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x)=f (5+x),则f (x)一定是() (第十二届希望杯高二 第二试题)
(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数
解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x)=f (10-x).
∴f (x)有两条对称轴 x=5与x=10,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数,∴x=0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2:设定义域为R的函数y=f (x)、y=g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,若g(5)=1999,那么f(4)=()。
(A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。
解:∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,∴y=g-1(x-2) 反函数是y=f(x-1),而y=g-1(x-2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x-1)=2+g(x),∴有f(5-1)=2+g(5)=2001
故f(4)=2001,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f (x)=-12x,則f (8.6 )= (第八届希望杯高二 第一试题)
解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴;
又∵f(1+x)=f(1-x) ∴x=1也是y=f (x) 对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 )=f (8+0.6 )=f (0.6 )=f (-0.6 )=0.3
例4.函数 y=sin (2x+5π2)的图像的一条对称轴的方程是()(92全国高考理)
(A) x=-π2 (B) x=-π4 (C) x=π8 (D) x=5π4
解:函数 y=sin (2x+ 5π2)的图像的所有对称轴的方程是2x+5π2=kπ+π2
∴x=kπ2-π,显然取k=1时的对称轴方程是x=-π2 故选(A)
例5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f (x)=x,则f (7.5 )=()
(A) -0.5 (B)0.5 (C)1.5 (D) -1.5
解:∵y=f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;
又∵f(x+2)=-f (x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x),∴直线x=1是y=f(x)对称轴,故y=f(x)是周期为2的周期函数。
∴f(7.5 )=f (8-0.5 )=f (-0.5 )=-f (0.5 )=-0.5 故选(A)