论文部分内容阅读
2012年连云港市中考压卷题（27）中有如下一个问题：
“已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2.BC=3.
……
问题（4）如图（1），若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE.请探究对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.”
文[1][2]按题目要求给出了答案，读者可自行查阅.最小值存在的条件是PQ⊥CD，而点P为线段DC上一点，点P在DC的何处时有PQ⊥CD呢？上述解析中均无法判断PQ存在的条件是否具备.为此笔者试作解密.
首先指出文[1]解析中“△GDC为锐角三角形”是错误的.理由如下：
设AB的中点为H，连结DH，DG.GC，作DM⊥BC于M，如图2，由已知可得△MDC及△ADH均为等腰直角三角形，∠C=45°=∠ADH=45°， ∠ADC=135°，故∠CDH=90°.又由已知
可得：PABQ=AGBG=1n+1，而n为常数，① 当n>0时有AG∠HDC=90° ，△GDC为钝角三角形.②当n=0时，AE=0，点A、E重合.如图3，PBQA是平行四边形，PQ与AB互相平分，点G为AB的中点， AG=AD=1， ∠GDA=45°， ∠GDC=90°， △GDC为直角三角形.③ n<0时，便涉及到有向线段，不属于初中学生的知识范围，故可不予考虑.
下面只考虑n≥0的情形.
①n=0时，点A、E重合，如图3所示，点G分别为线段AB、PQ的中点，要使GP⊥DC，则必需是点P与D重合，如图4，此时PQ=22为其最小值
②当n>0时，如图2，按上述分析有AG 下面笔者给出另一解法.
解 连结DG、CG，如图5所示.由已知AE=nPA得知 PE=（n+1）PA=BQ，PABQ=1n+1=AGGB=PGGQ，由AB=2知AG=2n+2，BG=2（n+1）n+2，点G为线段AB的定比分点，P为直线CD上的动点，当PG最小时PQ亦最小.而当PG⊥DC时PG最小，此时由勾股定理有
PG2=1+AG2-PD2=9+BG2-PC2，1+（2n+2）2-PD2=9+4（n+1）2（n+2）2-（22-PD）2
当PD=-2n2（n+2）， PG2=1+（2n+2）2-2n24（n+2）2=12n+4n+22，此时才有PG=n+42（n+2）.PQ才有最小值为2（n+4）2.但n≥0时PD≤0，考虑初中学生的知识范围，只有n=0时PQ有最小值22.
要使问题（4）中平行四边形PBQE的对角线PQ最小值在n>0时为上述答案，需将已知修改为“若P为DC边或其延长线上任意一点，……”.若是这样的话，又需考虑如图6的情形.
当PG⊥DC时，在图6中则有
PG2=1+AG2-PD2=9+BG2-PC2，1+（2n+2）2-PD2=9+4（n+1）2（n+2）2-（22+PD）2
PD=2n2（n+2）， PG2=1+（2n+2）2-2n24（n+2）2=12n+4n+22，PG=n+42（n+2）.故PQ有最小值为2（n+4）2.
注：点P在DC延长线上时可类似考虑.
比较上述两种情况可看出，图6中PD=-2n2（n+2）应是点P在线段CD延长线上且PD=2n2（n+2）处，方有PQ最小值为2（n+4）2.
如果点P为线段CD上的任意一点，问题（4）中的平行四边形的对角线PQ的最小值也是存在的.下面我们先看看特殊情形：
（1） 点P与D重合
如图4所示，延长直角梯形ABCD的DA边至E，使EA=nAD，以DB、DE为边作平行四边形DEQB，AB交DQ于G.则
DG2=AP2+AG2，ADED=1n+1=ADQB=AGGB=DGGQ，AG=2n+2， DQ=（n+2）DG.
所以 DG2=1+（2n+2）2，DQ2=（n+2）2DG2=（n+2）2+4， DQ=（n+2）2+4.
（2） 点P与C重合
如图7所示，延长直角梯形ABCD的对角线 CA边至E，使EA=nAC，以CB、CE为边作平行四边形CEQB，AB交CQ于G.则
CG2=BC2+BG2，ACEC=1n+1=ACQB=AGGB=CGGQ，AB=2，GB=2（n+1）n+2，CQ=（n+2）CG，
所以CG2=9+〔2（n+1）n+2〕2， CQ2=（n+2）2CG2=9（n+2）2+4（n+1）2， CQ=9（n+2）2+4（n+1）2.
（3） 一般地， 设DP=k，0 如图8所示，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足为H、M，延长MP交AD延长线于N.由上可得AG=2n+2.而∠PDN=45°，DN=NP=AH，PNMN=PDCD=k22，PN=k2，
AN=1+k2=PH，PG2=（1+k2）2+（2n+2-k2）2=k2+2k-22kn+2+1+4（n+2）2
=k+n2（n+2）2+n2+8n+162（n+2）2.
因为 0 所以 n2（n+2）2+n2+8n+162（n+2）2 即 n2+4n+8（n+2）2 所以 n2+4n+8 于是可得出： 如果点P为线段CD上的任意一点，那么问题（4）中的平行四边形的对角线PQ的最小值存在，其最小值应为（n+2）2+4（点P与D重合时取得）.同时也存在最大值，其最大值应为9（n+2）2+4（n+1）2（点P与C重合时取得）.
参考文献
[1] 牟宗伦. 以“静”制“动”——2012年连云港市中考数学压轴题解析[J].中学数学教学，2012，（5）.
[2] 高峰.几何探究型问题中的“链式”探究题“探究”[J]，中学数学杂，2012，（10）.
“已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2.BC=3.
……
问题（4）如图（1），若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE.请探究对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.”
文[1][2]按题目要求给出了答案，读者可自行查阅.最小值存在的条件是PQ⊥CD，而点P为线段DC上一点，点P在DC的何处时有PQ⊥CD呢？上述解析中均无法判断PQ存在的条件是否具备.为此笔者试作解密.
首先指出文[1]解析中“△GDC为锐角三角形”是错误的.理由如下：
设AB的中点为H，连结DH，DG.GC，作DM⊥BC于M，如图2，由已知可得△MDC及△ADH均为等腰直角三角形，∠C=45°=∠ADH=45°， ∠ADC=135°，故∠CDH=90°.又由已知
可得：PABQ=AGBG=1n+1，而n为常数，① 当n>0时有AG
下面只考虑n≥0的情形.
①n=0时，点A、E重合，如图3所示，点G分别为线段AB、PQ的中点，要使GP⊥DC，则必需是点P与D重合，如图4，此时PQ=22为其最小值
②当n>0时，如图2，按上述分析有AG
解 连结DG、CG，如图5所示.由已知AE=nPA得知 PE=（n+1）PA=BQ，PABQ=1n+1=AGGB=PGGQ，由AB=2知AG=2n+2，BG=2（n+1）n+2，点G为线段AB的定比分点，P为直线CD上的动点，当PG最小时PQ亦最小.而当PG⊥DC时PG最小，此时由勾股定理有
PG2=1+AG2-PD2=9+BG2-PC2，1+（2n+2）2-PD2=9+4（n+1）2（n+2）2-（22-PD）2
当PD=-2n2（n+2）， PG2=1+（2n+2）2-2n24（n+2）2=12n+4n+22，此时才有PG=n+42（n+2）.PQ才有最小值为2（n+4）2.但n≥0时PD≤0，考虑初中学生的知识范围，只有n=0时PQ有最小值22.
要使问题（4）中平行四边形PBQE的对角线PQ最小值在n>0时为上述答案，需将已知修改为“若P为DC边或其延长线上任意一点，……”.若是这样的话，又需考虑如图6的情形.
当PG⊥DC时，在图6中则有
PG2=1+AG2-PD2=9+BG2-PC2，1+（2n+2）2-PD2=9+4（n+1）2（n+2）2-（22+PD）2
PD=2n2（n+2）， PG2=1+（2n+2）2-2n24（n+2）2=12n+4n+22，PG=n+42（n+2）.故PQ有最小值为2（n+4）2.
注：点P在DC延长线上时可类似考虑.
比较上述两种情况可看出，图6中PD=-2n2（n+2）应是点P在线段CD延长线上且PD=2n2（n+2）处，方有PQ最小值为2（n+4）2.
如果点P为线段CD上的任意一点，问题（4）中的平行四边形的对角线PQ的最小值也是存在的.下面我们先看看特殊情形：
（1） 点P与D重合
如图4所示，延长直角梯形ABCD的DA边至E，使EA=nAD，以DB、DE为边作平行四边形DEQB，AB交DQ于G.则
DG2=AP2+AG2，ADED=1n+1=ADQB=AGGB=DGGQ，AG=2n+2， DQ=（n+2）DG.
所以 DG2=1+（2n+2）2，DQ2=（n+2）2DG2=（n+2）2+4， DQ=（n+2）2+4.
（2） 点P与C重合
如图7所示，延长直角梯形ABCD的对角线 CA边至E，使EA=nAC，以CB、CE为边作平行四边形CEQB，AB交CQ于G.则
CG2=BC2+BG2，ACEC=1n+1=ACQB=AGGB=CGGQ，AB=2，GB=2（n+1）n+2，CQ=（n+2）CG，
所以CG2=9+〔2（n+1）n+2〕2， CQ2=（n+2）2CG2=9（n+2）2+4（n+1）2， CQ=9（n+2）2+4（n+1）2.
（3） 一般地， 设DP=k，0
AN=1+k2=PH，PG2=（1+k2）2+（2n+2-k2）2=k2+2k-22kn+2+1+4（n+2）2
=k+n2（n+2）2+n2+8n+162（n+2）2.
因为 0
参考文献
[1] 牟宗伦. 以“静”制“动”——2012年连云港市中考数学压轴题解析[J].中学数学教学，2012，（5）.
[2] 高峰.几何探究型问题中的“链式”探究题“探究”[J]，中学数学杂，2012，（10）.