论文部分内容阅读
【摘 要】文科学员和专科学员开设《线性代数》课程，常因授课学时较少和学员基础薄弱导致课堂教学的诸多问题。为解决这些问题，本文从教学内容、教学法和教学手段、教学模式和实验教学等四个方面，进行了整合内容、创新教学法、改革传统教学模式以及组织实验教学的思考与实践。结果表明，针对少学时《线性代数》课程的相关做法，不仅能在有限学时内高效完成教学任务，而且符合新时期大学教育的人才培养要求。
【关键词】线性代数 教学法 教学模式 实验教学
【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）14-0033-02
1.引言
《线性代数》课程是工科院校的重要基础课，主要以矩阵为工具研究线性空间。考虑到矩阵的实际应用以及人才培养需要，不少院校在文科专业或专科学员中也开设了这一课程。但是，文科学员、专科学员与理工类专业的本科生具有一定差别，主要体现在两个方面：专科学员在校时间短导致教学时间不可能太长；文科学员常因数学课程开设较少而导致基础不够扎实。因此在这些学员中开设《线性代数》课程，必须“以少学时、弱基础为前提，初步理解并掌握矩阵这一工具”为基本教学目标。鉴于上述特点，《线性代数》课程无论是教学内容、教学法和教学手段、教学模式和实验教学等方面都需作相应调整。
2.研究与实践
目前使用的多数《线性代数》教材共五章[1-3]，分别是行列式、矩阵、线性方程组、向量组和二次型。以笔者曾承担的本科课程为例，规定36学时完成《线性代数》教学任务，具体分配如上面表1所示。但是对专科学员、文科学员以及其它层次的培训，仍以笔者所在单位的专科学员为例，规定授课仅20学时，显然很难完成所有教学内容。因此需要对教学内容重新整合。另一方面，考虑到专科学员、文科学员的数学基础以及课程设置的具体目标，还需从教学法和教学手段、教学模式和实验教学等方面重新组织以改善少学时的授课效果。
2.1教学内容
为突出矩阵这一工具，可将理论授课内容分为矩阵、向量组和实际应用三个模块，其中向量组实质上是特殊形式的矩阵（列矩阵、行矩阵）形成的集合。在矩阵这一模块，主要包括矩阵的引入、乘积运算、逆矩阵和矩阵的秩。考虑到矩阵的线性运算（加、数乘）较为简单，因此对矩阵的这些运算可简单讲解；考虑到逆矩阵的实际应用，重点讲解定义和计算方法；考虑到矩阵的秩的后续应用，因此要求熟练掌握秩的定义及求法。在向量组教学中，主要讲解向量组的概念、线性相关性和向量组的秩。具体到线性相关性教学，考虑到向量组和其最大无关组的实用性，有针对性地对部分理论进行补充讲解。具体到向量组的秩的教学，可以只讨论最大无关组的定义和求法。在应用模块，主要讨论线性方程组解的判定和求法。考虑到行列式求解线性方程组的局限性，可将Cramer法则略去。剩余学时主要用于线性代数实验教学，主要包括矩阵的输入、常见命令的使用方法、线性方程组的求解等。通过对教学内容的整合处理，可以有效缩短授课学时，其具体时间分配如表2所示。
2.2教学法和教学手段
教学法对授课效果起着至关重要的作用，根据内容特点选取合适的教学法通常可以突出重点、突破难点，但是传统教学法过分依赖于说教讲授、重知识轻能力，不利于培养学员的创新精神。改革传统的教学方法，调动学习的主动性和积极性，注重能力和素质培养，是当前高校教育教学改革的重要课题之一[4]。
对文科学员和专科学员，枯燥的数学推导很难激发这些学员的学习兴趣，因此《线性代数》课程在教学法上应更显灵活，并鼓励使用各种特色教学法。例如尽量采用案例法、类比法、问题牵引法教会学员应用矩阵的具体方法，避免借助严格的逻辑推导组织课堂教学。采用灵活的教学法，主要是培养学员的分析兴趣，使学员在解决实际问题时能形成一定的数学思维习惯，以达到条理清楚、思维明晰的目标。例如矩阵的运算这一知识点，传统教学方法直接给出运算规则，一方面学员无法理解引入运算的必要性，另一方面对运算的实际应用知之甚少，其教学可能使多数学员掌握了运算方法，但从推广应用角度并不理想。因此在教学实施时采取案例式教学，引导学员思考如何将两幅图像通过线性运算生成质量更好的图像。理论讲授矩阵运算的同时，借助计算机编程实现图像的运算，用图像信息直观反映运算结果，让学员体会数学的实用性；在矩阵的初等变换教学上，传统教学直接给出初等变换的定义，学员很难意识到这一变换的必要性和重要性，通过对消元和矩阵变换进行类比式教学，学员从线性方程组的广泛应用能体会出初等变换的重要性，自然能引起对知识的重视程度。在向量组的秩的教学中，最大无关组是非常抽象的数学概念，采用问题牵引法，从如何获得精简数据到最大无关组，逐步引导学员理解基本概念和具体方法。
在教学手段上主要采取多媒体和板书相结合，尽可能直观地展示各种数据、资料等素材，从视觉上激发学员的学习兴趣和数学思维。
2.3教学模式
传统教学主要以知识传承为目标，形式上以“教员理论讲授、学员被动接受”为主，其问题根源在于教学对象人数较多，教员难以开展以学员为主体的教学尝试，有时即使开展了相应的尝试，但常因时间、地点无法获得客观的检测效果导致了理论研究难于在实践中进行改进和深化。
考虑到专科学员和文科学员通常是小班教学，因此在教学模式上可以打破传统的教学模式。教学中鼓励学员谈想法、谈体会，鼓励学员上台试讲，从学员角度谈对线性代数知识的理解情况，鼓励学员形成小组协作完成课程教学各种类型的设计题目。不仅是《线性代数》课程，其它任一课程都不可能在有限时间内完成某一领域所有问题的研究，实际中碰到的新问题，最终还是需要学员通过一系列自觉行为，自主式寻找解决方案。合适的教学模式不仅能改善课堂效果，更重要地是在发现知识的过程中可以培养学员的各种能力。正如前面所言，《线性代数》中的矩阵是研究线性空间的重要工具，因此在教学模式的选择上，应当以授之学员“矩阵”这一工具为目标，同时辅以培养学员的综合能力。结合该课程的特点，可以采用“四联交互式”这一教学模式[5-6]。通过这一教学模式的实施，逐渐培养学员的观察、探索、整合和实践能力。因此在小班《线性代数》课程教学中，尽量体现学员的主动行为，整个过程以“教员引导、学员操作”的互动形式推进教学。 2.4实验教学
与其它课程例如物理、化学的实验教学不同，《线性代数》课程的实验教学主要是教员引导学员，使用计算机培养其操作能力，学员根据实际问题的需要将其转化为数学问题，并通过设计算法、编写代码、运行调试等过程解决问题。结合该课程的教学目标要求，这里的实验内容主要是针对应用模块进行的，学时安排为4个学时。为提高学员对该课程基本知识的综合应用能力，实验教学通常设置在学期末进行，按实验内容可分为两个部分：Matlab基础知识和相关知识点的Matlab实现。通过实验教学，要求学员能对课程内容借助Matlab命令或编写程序进行实现，包括基本命令调用、m文件编写以及GUI界面编程等。在具体组织实验教学时，教员可根据学员的掌握情况进行实例方面的知识补充。另一方面，在进行理论教学时，也可由学员或小组携带计算机配合教学，而学期末的实验教学可在实验室或计算机房组织。针对专科学员、文科学员的实际情况，结合《线性代数》的课程内容，其实验教学如表3所示。
3.结论
专科学员和文科学员进行《线性代数》课程教学，需要打破传统意义上的理论讲授，重新组织各个教学环节。只有对学员的情况充分了解，对人才培养的目标足够认识，对开放教学深入思考，才能在有限学时内顺利开展《线性代数》课程教学，有效改善少学时《线性代数》课程教学的课堂效果。笔者在所承担教学的班级里，按照上面整合的内容、改革的教学模式、设计的实验教学等进行了两个学年的教学实践，不仅在有限时间内顺利完成了教学任务，而且多数学员在学习过程中对矩阵的应用有了更深的理解。单纯从整合内容来看，同样适用于各教育机构对《线性代数》课程的短期培训教学。尤为重要的是，通过实验教学，学员除了能借助计算机对所学知识进行验证性实验，能在一定程度上解决与矩阵有关的实际问题，更与学校课程标准要求的“文科学员和专科学员能够掌握应用线性空间理论的基本方法”和人才培养目标高度一致。
参考文献：
[1]同济大学数学系. 工程数学：线性代数（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[2]吴赣昌.线性代数[M]. 北京：中国人民大学出版社，2011.
[3]李炯声，查建国，王新茂. 线性代数[M].北京：中国科学技术大学出版社， 2010.
[4]蔺永诚，刘箴. 参与式教学法----高校课堂教学中值得推行的教学方法[J]. 长沙铁道学院学报（社会科学版），Vol.10，No.1，2009.03：107-108.
[5]赵伟舟，张辉，景慧丽. 浅谈“四联交互式”教学[J]. 南昌教育学院学报，2014.2：：80-82.
[6]赵伟舟，屈娜. 四联交互式教学应用于大学数学类课程的探索与实践[J]. 数学理论与应用，2013.12：115-119.
学校教学成果奖培育项目
作者简介：
赵伟舟（1977-），男，陕西长安人，第二炮兵工程大学理学院，讲师。（陕西 西安 710025）
王惠珍（1965-），女，山西永济人，第二炮兵工程大学理学院，副教授。（陕西 西安 710025）
【关键词】线性代数 教学法 教学模式 实验教学
【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）14-0033-02
1.引言
《线性代数》课程是工科院校的重要基础课，主要以矩阵为工具研究线性空间。考虑到矩阵的实际应用以及人才培养需要，不少院校在文科专业或专科学员中也开设了这一课程。但是，文科学员、专科学员与理工类专业的本科生具有一定差别，主要体现在两个方面：专科学员在校时间短导致教学时间不可能太长；文科学员常因数学课程开设较少而导致基础不够扎实。因此在这些学员中开设《线性代数》课程，必须“以少学时、弱基础为前提，初步理解并掌握矩阵这一工具”为基本教学目标。鉴于上述特点，《线性代数》课程无论是教学内容、教学法和教学手段、教学模式和实验教学等方面都需作相应调整。
2.研究与实践
目前使用的多数《线性代数》教材共五章[1-3]，分别是行列式、矩阵、线性方程组、向量组和二次型。以笔者曾承担的本科课程为例，规定36学时完成《线性代数》教学任务，具体分配如上面表1所示。但是对专科学员、文科学员以及其它层次的培训，仍以笔者所在单位的专科学员为例，规定授课仅20学时，显然很难完成所有教学内容。因此需要对教学内容重新整合。另一方面，考虑到专科学员、文科学员的数学基础以及课程设置的具体目标，还需从教学法和教学手段、教学模式和实验教学等方面重新组织以改善少学时的授课效果。
2.1教学内容
为突出矩阵这一工具，可将理论授课内容分为矩阵、向量组和实际应用三个模块，其中向量组实质上是特殊形式的矩阵（列矩阵、行矩阵）形成的集合。在矩阵这一模块，主要包括矩阵的引入、乘积运算、逆矩阵和矩阵的秩。考虑到矩阵的线性运算（加、数乘）较为简单，因此对矩阵的这些运算可简单讲解；考虑到逆矩阵的实际应用，重点讲解定义和计算方法；考虑到矩阵的秩的后续应用，因此要求熟练掌握秩的定义及求法。在向量组教学中，主要讲解向量组的概念、线性相关性和向量组的秩。具体到线性相关性教学，考虑到向量组和其最大无关组的实用性，有针对性地对部分理论进行补充讲解。具体到向量组的秩的教学，可以只讨论最大无关组的定义和求法。在应用模块，主要讨论线性方程组解的判定和求法。考虑到行列式求解线性方程组的局限性，可将Cramer法则略去。剩余学时主要用于线性代数实验教学，主要包括矩阵的输入、常见命令的使用方法、线性方程组的求解等。通过对教学内容的整合处理，可以有效缩短授课学时，其具体时间分配如表2所示。
2.2教学法和教学手段
教学法对授课效果起着至关重要的作用，根据内容特点选取合适的教学法通常可以突出重点、突破难点，但是传统教学法过分依赖于说教讲授、重知识轻能力，不利于培养学员的创新精神。改革传统的教学方法，调动学习的主动性和积极性，注重能力和素质培养，是当前高校教育教学改革的重要课题之一[4]。
对文科学员和专科学员，枯燥的数学推导很难激发这些学员的学习兴趣，因此《线性代数》课程在教学法上应更显灵活，并鼓励使用各种特色教学法。例如尽量采用案例法、类比法、问题牵引法教会学员应用矩阵的具体方法，避免借助严格的逻辑推导组织课堂教学。采用灵活的教学法，主要是培养学员的分析兴趣，使学员在解决实际问题时能形成一定的数学思维习惯，以达到条理清楚、思维明晰的目标。例如矩阵的运算这一知识点，传统教学方法直接给出运算规则，一方面学员无法理解引入运算的必要性，另一方面对运算的实际应用知之甚少，其教学可能使多数学员掌握了运算方法，但从推广应用角度并不理想。因此在教学实施时采取案例式教学，引导学员思考如何将两幅图像通过线性运算生成质量更好的图像。理论讲授矩阵运算的同时，借助计算机编程实现图像的运算，用图像信息直观反映运算结果，让学员体会数学的实用性；在矩阵的初等变换教学上，传统教学直接给出初等变换的定义，学员很难意识到这一变换的必要性和重要性，通过对消元和矩阵变换进行类比式教学，学员从线性方程组的广泛应用能体会出初等变换的重要性，自然能引起对知识的重视程度。在向量组的秩的教学中，最大无关组是非常抽象的数学概念，采用问题牵引法，从如何获得精简数据到最大无关组，逐步引导学员理解基本概念和具体方法。
在教学手段上主要采取多媒体和板书相结合，尽可能直观地展示各种数据、资料等素材，从视觉上激发学员的学习兴趣和数学思维。
2.3教学模式
传统教学主要以知识传承为目标，形式上以“教员理论讲授、学员被动接受”为主，其问题根源在于教学对象人数较多，教员难以开展以学员为主体的教学尝试，有时即使开展了相应的尝试，但常因时间、地点无法获得客观的检测效果导致了理论研究难于在实践中进行改进和深化。
考虑到专科学员和文科学员通常是小班教学，因此在教学模式上可以打破传统的教学模式。教学中鼓励学员谈想法、谈体会，鼓励学员上台试讲，从学员角度谈对线性代数知识的理解情况，鼓励学员形成小组协作完成课程教学各种类型的设计题目。不仅是《线性代数》课程，其它任一课程都不可能在有限时间内完成某一领域所有问题的研究，实际中碰到的新问题，最终还是需要学员通过一系列自觉行为，自主式寻找解决方案。合适的教学模式不仅能改善课堂效果，更重要地是在发现知识的过程中可以培养学员的各种能力。正如前面所言，《线性代数》中的矩阵是研究线性空间的重要工具，因此在教学模式的选择上，应当以授之学员“矩阵”这一工具为目标，同时辅以培养学员的综合能力。结合该课程的特点，可以采用“四联交互式”这一教学模式[5-6]。通过这一教学模式的实施，逐渐培养学员的观察、探索、整合和实践能力。因此在小班《线性代数》课程教学中，尽量体现学员的主动行为，整个过程以“教员引导、学员操作”的互动形式推进教学。 2.4实验教学
与其它课程例如物理、化学的实验教学不同，《线性代数》课程的实验教学主要是教员引导学员，使用计算机培养其操作能力，学员根据实际问题的需要将其转化为数学问题，并通过设计算法、编写代码、运行调试等过程解决问题。结合该课程的教学目标要求，这里的实验内容主要是针对应用模块进行的，学时安排为4个学时。为提高学员对该课程基本知识的综合应用能力，实验教学通常设置在学期末进行，按实验内容可分为两个部分：Matlab基础知识和相关知识点的Matlab实现。通过实验教学，要求学员能对课程内容借助Matlab命令或编写程序进行实现，包括基本命令调用、m文件编写以及GUI界面编程等。在具体组织实验教学时，教员可根据学员的掌握情况进行实例方面的知识补充。另一方面，在进行理论教学时，也可由学员或小组携带计算机配合教学，而学期末的实验教学可在实验室或计算机房组织。针对专科学员、文科学员的实际情况，结合《线性代数》的课程内容，其实验教学如表3所示。
3.结论
专科学员和文科学员进行《线性代数》课程教学，需要打破传统意义上的理论讲授，重新组织各个教学环节。只有对学员的情况充分了解，对人才培养的目标足够认识，对开放教学深入思考，才能在有限学时内顺利开展《线性代数》课程教学，有效改善少学时《线性代数》课程教学的课堂效果。笔者在所承担教学的班级里，按照上面整合的内容、改革的教学模式、设计的实验教学等进行了两个学年的教学实践，不仅在有限时间内顺利完成了教学任务，而且多数学员在学习过程中对矩阵的应用有了更深的理解。单纯从整合内容来看，同样适用于各教育机构对《线性代数》课程的短期培训教学。尤为重要的是，通过实验教学，学员除了能借助计算机对所学知识进行验证性实验，能在一定程度上解决与矩阵有关的实际问题，更与学校课程标准要求的“文科学员和专科学员能够掌握应用线性空间理论的基本方法”和人才培养目标高度一致。
参考文献：
[1]同济大学数学系. 工程数学：线性代数（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[2]吴赣昌.线性代数[M]. 北京：中国人民大学出版社，2011.
[3]李炯声，查建国，王新茂. 线性代数[M].北京：中国科学技术大学出版社， 2010.
[4]蔺永诚，刘箴. 参与式教学法----高校课堂教学中值得推行的教学方法[J]. 长沙铁道学院学报（社会科学版），Vol.10，No.1，2009.03：107-108.
[5]赵伟舟，张辉，景慧丽. 浅谈“四联交互式”教学[J]. 南昌教育学院学报，2014.2：：80-82.
[6]赵伟舟，屈娜. 四联交互式教学应用于大学数学类课程的探索与实践[J]. 数学理论与应用，2013.12：115-119.
学校教学成果奖培育项目
作者简介：
赵伟舟（1977-），男，陕西长安人，第二炮兵工程大学理学院，讲师。（陕西 西安 710025）
王惠珍（1965-），女，山西永济人，第二炮兵工程大学理学院，副教授。（陕西 西安 710025）