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【摘要】数学教育是培养学生创造性的数学能力和解决实际问题的能力，但知识不能直接转化为能力，必须通过思维才能实现.本文重点探讨培养学生类比思维的能力，通过对概念、公式、运算、方法的类比，使教学和学习在一个简练的过程中进行，让老师得到教的快乐，学生获得学的乐趣.
【关键词】类比；高中；数学教学
《普通高中数学课程标准》（实验）指出：“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.”《数学课程标准》将归纳类比等思维能力的培养提到了相当的高度.波利亚曾经说过：“在数学发现中，归纳推理与类比推理起着主要作用.”
“类比”是通过两个(或两类)对象的比较，找出它们在某一方面(特征、属性和关系)的类似点，从而把其中一对象的其他有关性质移植到另一对象中去.因此，“类比推理”是从特殊到特殊的思维方法.利用类比法可以简化对相似问题的研究，也有利于发现、推广某些性质，它是获得发现或发明的重要方法.在解决问题的过程中，“类比推理”可以发现新的数学知识的规律，可以培养学生的发散性思维、创造性思维及合情的推理能力.因而，类比推理题已成为近几年来高考新宠，此类试题极富思考性和挑战性，凸现新大纲对思维能力的要求和新课程改革倡导的教育理念.本文从以下几方面列举类比推理思想的应用.
一、平面图形与空间几何体的类比
例1 平面几何射影定理：设△ABC是直角三角形，AD为斜边BC上的高，则AB2=BC•BD.拓展到空间，相应可得什么样的正确结论？
分析 把空间四面体与平面三角形进行类比，直四面体（三个侧面两两互相垂直的四面体）与直角三角形进行类比，空间中三角形的面积与平面内三角形的边长进行类比，则有结论：
四面体ABCD的三条棱AB，AC，AD两两垂直，记△ABC的面积为S△ABC，点A在面BCD上的射影为H，则有S2△ABC=S△BCD•S△BCH.
例2 由平面几何中的圆内接三角形以正三角形的面积最大，圆内接四边形以正方形面积最大为基准，能否通过类比推理方法提出一系列的立体几何中的相关问题或结论？
分析 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性，因此我们将球作为圆的类比对象.同理，我们将正四面体和正方体分别作为正三角形和正方形的类比对象，可以得到以下结论：
（1）在球的内接四面体中，以内接正四面体的体积最大.
（2）在球的内接长方体中，以内接正方体的体积最大.
（3）在圆柱的内接三棱柱中，以内接正三棱柱的体积最大.
二、等差数列与等比数列的类比
在等比数列教学中，教师应该引导学生与等差数列类比，自主地进行探究、归纳等比数列的相关性质.在数学教学中，如果能够适时地渗透类比这种数学思想，那么学生的数学思维和数学修养将大幅度提高.
分析 ∵在等差数列{an}中，若m+n=20，则
am+an=2a10=0，
∴a1+a2+…+a18=a1+(a2+a3+…+a18)=a1，
a1+a2+…+a17=a1+a2+(a3+a4+…+a17)=a1+a2，
a1+a2+…+a16=a1+a2+a3+(a4+a5+…+a16)
=a1+a2+a3，
……
a1+a2+…+a9=a1+a2+…+a10.
把等比数列的比与等差数列的差进行类比，则等比数列的积可与等差数列的和进行类比，等比数列的1可与等差数列的零进行类比.
在等差数列中等式成立的关键是若m+n=20，则am+an=2a10=0.
在等比数列中，∵b9=1，∴若m+n=18，则bmbn=b29=1是解此题的关键，∴b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17，n∈N*).
另外，根据等差数列定义和前n项和求和公式可类比平面向量中也有类似性质：我们先来构建等差向量列的概念：一般地，如果一个向量列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常向量，那么这个向量列就叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差，记做d.
例4 求证：对于等差向量列{an}的第n项an，有an=a1+(n-1）d，其中a1为首项，d为公差.
证明 ∵{an}为等差向量列，∴当n≥2时，有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=a1+(n-1)d.
当n=1时，上面的等式也成立.
三、平面解析几何中的类比
在平面解析几何中，圆、椭圆、双曲线、抛物线之间具有某些类比关系，它们的某些几何性质具有很强的相似性.
例5 在圆x2+y2=r2中，AB为直径，P为圆上一点，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，则kPAkPB=-1.在圆锥曲线中也有类似结论吗?
分析 由于圆的直径是过圆心的弦，圆心是圆的对称中心，因此先考虑能否把直径的概念推广到圆锥曲线中.又椭圆和双曲线都有对称中心，设过中心的直线交椭圆或双曲线于A，B，称线段AB为椭圆或双曲线的直径，则有以下正确命题：
（1）在椭圆x2a2+y2b2=1中，AB为直径，P为椭圆上一点，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，则kPAkPB=-b2a2.
（2）在双曲线x2a2-y2b2=1中，AB为直径，P为双曲线上一点，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，则kPAkPB=b2a2.
证明 (以(2)为例)
设P(x，y)，A(x0,y0)，B(-x0,-y0).
∵x2a2-y2b2=1，x20a2-y20b2=1，
即y2=b2a2(x2-a2)，y20=b2a2(x20-a2).
∴kPAkPB=y-y0x-x0•y+y0x+x0=y2-y20x2-x20
=b2a2［(x2-a2)-(x20-a2)］x2-x20=b2a2.
命题(2)成立，同理可证(1)成立.
由于抛物线没有对称中心，因此例5没办法推广到抛物线中.
四、复数运算中的类比
在进行两个复数a+bi与c+di的和或差的运算时可类比合并同类项，得到复数的加减法法则：两个复数相加(减)把实部和虚部分别相加（减），虚部保留虚数单位即可.复数乘法也可和整式乘法类比进行类似处理.复数除法可以和根式除法进行类比，比如在做根式除法如5+23-2时，分子分母都乘以分母的“有理化因式3+2”，从而使分母有理化.那么在进行复数除法如3+i2-3i时，我们可以考虑使分母实数化，即把分子分母都乘以分母的实数化因式，也就是共轭复数2+3i，就可以使分母实数化了.
其实，在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的痕迹.在授课时，有意识地引导学生对旧知识进行回忆、类比，给学生创造“最佳思维环境”，可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法，从而激发学生的积极性，变被动听为主动学.虽然这样类比的结论不一定正确，但它却教会学生一种探索问题的方法，这也正是要把学生从“学会”转化为“会学”的一种有益的尝试和手段，也只有这样，才能促进学生思维的发展，不断提高学生的数学类比能力.
【参考文献】
［1］周春荔.数学观与方法论［M］.北京：首都师范大学出版社，1996.
［2］汪江松.高中数学解题与技巧［M］.武汉：湖北教育出版社，1995.
［3］霍福策.浅议新教材中的类比思想［J］.高中数学教与学，2009（2）.
［4］陈春芳.类比推理［J］.中学数学教学参考，2007（11）.
【关键词】类比；高中；数学教学
《普通高中数学课程标准》（实验）指出：“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用.”《数学课程标准》将归纳类比等思维能力的培养提到了相当的高度.波利亚曾经说过：“在数学发现中，归纳推理与类比推理起着主要作用.”
“类比”是通过两个(或两类)对象的比较，找出它们在某一方面(特征、属性和关系)的类似点，从而把其中一对象的其他有关性质移植到另一对象中去.因此，“类比推理”是从特殊到特殊的思维方法.利用类比法可以简化对相似问题的研究，也有利于发现、推广某些性质，它是获得发现或发明的重要方法.在解决问题的过程中，“类比推理”可以发现新的数学知识的规律，可以培养学生的发散性思维、创造性思维及合情的推理能力.因而，类比推理题已成为近几年来高考新宠，此类试题极富思考性和挑战性，凸现新大纲对思维能力的要求和新课程改革倡导的教育理念.本文从以下几方面列举类比推理思想的应用.
一、平面图形与空间几何体的类比
例1 平面几何射影定理：设△ABC是直角三角形，AD为斜边BC上的高，则AB2=BC•BD.拓展到空间，相应可得什么样的正确结论？
分析 把空间四面体与平面三角形进行类比，直四面体（三个侧面两两互相垂直的四面体）与直角三角形进行类比，空间中三角形的面积与平面内三角形的边长进行类比，则有结论：
四面体ABCD的三条棱AB，AC，AD两两垂直，记△ABC的面积为S△ABC，点A在面BCD上的射影为H，则有S2△ABC=S△BCD•S△BCH.
例2 由平面几何中的圆内接三角形以正三角形的面积最大，圆内接四边形以正方形面积最大为基准，能否通过类比推理方法提出一系列的立体几何中的相关问题或结论？
分析 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性，因此我们将球作为圆的类比对象.同理，我们将正四面体和正方体分别作为正三角形和正方形的类比对象，可以得到以下结论：
（1）在球的内接四面体中，以内接正四面体的体积最大.
（2）在球的内接长方体中，以内接正方体的体积最大.
（3）在圆柱的内接三棱柱中，以内接正三棱柱的体积最大.
二、等差数列与等比数列的类比
在等比数列教学中，教师应该引导学生与等差数列类比，自主地进行探究、归纳等比数列的相关性质.在数学教学中，如果能够适时地渗透类比这种数学思想，那么学生的数学思维和数学修养将大幅度提高.
分析 ∵在等差数列{an}中，若m+n=20，则
am+an=2a10=0，
∴a1+a2+…+a18=a1+(a2+a3+…+a18)=a1，
a1+a2+…+a17=a1+a2+(a3+a4+…+a17)=a1+a2，
a1+a2+…+a16=a1+a2+a3+(a4+a5+…+a16)
=a1+a2+a3，
……
a1+a2+…+a9=a1+a2+…+a10.
把等比数列的比与等差数列的差进行类比，则等比数列的积可与等差数列的和进行类比，等比数列的1可与等差数列的零进行类比.
在等差数列中等式成立的关键是若m+n=20，则am+an=2a10=0.
在等比数列中，∵b9=1，∴若m+n=18，则bmbn=b29=1是解此题的关键，∴b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17，n∈N*).
另外，根据等差数列定义和前n项和求和公式可类比平面向量中也有类似性质：我们先来构建等差向量列的概念：一般地，如果一个向量列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常向量，那么这个向量列就叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差，记做d.
例4 求证：对于等差向量列{an}的第n项an，有an=a1+(n-1）d，其中a1为首项，d为公差.
证明 ∵{an}为等差向量列，∴当n≥2时，有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=a1+(n-1)d.
当n=1时，上面的等式也成立.
三、平面解析几何中的类比
在平面解析几何中，圆、椭圆、双曲线、抛物线之间具有某些类比关系，它们的某些几何性质具有很强的相似性.
例5 在圆x2+y2=r2中，AB为直径，P为圆上一点，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，则kPAkPB=-1.在圆锥曲线中也有类似结论吗?
分析 由于圆的直径是过圆心的弦，圆心是圆的对称中心，因此先考虑能否把直径的概念推广到圆锥曲线中.又椭圆和双曲线都有对称中心，设过中心的直线交椭圆或双曲线于A，B，称线段AB为椭圆或双曲线的直径，则有以下正确命题：
（1）在椭圆x2a2+y2b2=1中，AB为直径，P为椭圆上一点，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，则kPAkPB=-b2a2.
（2）在双曲线x2a2-y2b2=1中，AB为直径，P为双曲线上一点，若PA，PB的斜率kPA，kPB都存在，则kPAkPB=b2a2.
证明 (以(2)为例)
设P(x，y)，A(x0,y0)，B(-x0,-y0).
∵x2a2-y2b2=1，x20a2-y20b2=1，
即y2=b2a2(x2-a2)，y20=b2a2(x20-a2).
∴kPAkPB=y-y0x-x0•y+y0x+x0=y2-y20x2-x20
=b2a2［(x2-a2)-(x20-a2)］x2-x20=b2a2.
命题(2)成立，同理可证(1)成立.
由于抛物线没有对称中心，因此例5没办法推广到抛物线中.
四、复数运算中的类比
在进行两个复数a+bi与c+di的和或差的运算时可类比合并同类项，得到复数的加减法法则：两个复数相加(减)把实部和虚部分别相加（减），虚部保留虚数单位即可.复数乘法也可和整式乘法类比进行类似处理.复数除法可以和根式除法进行类比，比如在做根式除法如5+23-2时，分子分母都乘以分母的“有理化因式3+2”，从而使分母有理化.那么在进行复数除法如3+i2-3i时，我们可以考虑使分母实数化，即把分子分母都乘以分母的实数化因式，也就是共轭复数2+3i，就可以使分母实数化了.
其实，在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的痕迹.在授课时，有意识地引导学生对旧知识进行回忆、类比，给学生创造“最佳思维环境”，可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法，从而激发学生的积极性，变被动听为主动学.虽然这样类比的结论不一定正确，但它却教会学生一种探索问题的方法，这也正是要把学生从“学会”转化为“会学”的一种有益的尝试和手段，也只有这样，才能促进学生思维的发展，不断提高学生的数学类比能力.
【参考文献】
［1］周春荔.数学观与方法论［M］.北京：首都师范大学出版社，1996.
［2］汪江松.高中数学解题与技巧［M］.武汉：湖北教育出版社，1995.
［3］霍福策.浅议新教材中的类比思想［J］.高中数学教与学，2009（2）.
［4］陈春芳.类比推理［J］.中学数学教学参考，2007（11）.