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【摘要】极限是微积分的理论基础，唯物辩证法是极限的哲学基础。本文以实例引入极限概念的一般描述性定义，进而通过量化分析给出极限概念的精确化定义，之后就谈谈极限概念的一些具体应用。从而达到对极限概念的深层理解与把握。
【关键词】极限概念；定义；辩证法；应用
通过研究极限概念的建立，我们知道了在一般微积分教程中，极限有数列极限和函数极限之分，函数极限中又有x→∞和x→x0之分，现以数列极限为例，分析极限概念中的唯物辩证法。
设数列{xn}收敛于常数A，即limn→∞xn=A。依“ε-N”定义可分三步证明：
第一步，给出任意正数（无论有多小）ε>0；
第二步，由不等式|xn-A|<ε求与ε对应的时刻N（ε）；
第三步，依定义的模式写出结论。
第一步是前提，第二步是关键，第三步是证明的完结。在这三步中蕴涵了如下一些丰富的唯物辩证法内容。通过唯物辩证法分析极限概念，体现了事物相互联系、相互渗透、相互制约的辩证关系。我认为大家现在应该对极限概念有了更深一层的理解，接下来看看对极限概念的一些具体应用。
1 极限概念中的唯物辩证观在数学中的具体应用
《细绳对折小实验》
这里有一根1米左右的小细绳，然后对折若干次后回答下面问题：
（1）绳子长度的变化趋势怎样？最后会变为零吗？
（2）绳子长度为何会发生这种变化？
（3）能用数学符号写出上面对应的问题吗？
答：（1）绳子长度趋向于零，但永远不会为零。
（2）因为不断地将绳子对折。
（3）绳子的长度组成
对折次数n 1 2 3 4 5 … n …
绳子长度an 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 … 1 2n …
以q=12的无穷等比数列。观察结果：当项数无限增加时，绳子的长度an趋于一个常数0，不论n多大，12n永远不为0，只是0的近似值，不同的n只表示12n与0近似程度的不同，保持近似值的相对稳定性，不会产生质的变化，但是，当n无限增大时，相应数列12n的变化也出现了飞跃，无限趋近于0，这反映了事物运动变化由量变到质变这个辩证规律在数学中的反映。
2 极限定义在解题中的一些简单应用
数列（1）0.9，0.99，0.999，…，1-110n，…
（2）21，32，43，…，n+1n，…
（3） 1，-12，14，…，（-12）n+1，…
（4）1，1，1，…，1，…
（5）1，2，3，…，…
（6）2，1，-1，…，3-（-2）n-1，…
（7）1，-2，4，…（-2）n-1，…
（8）1，-1，1，…，（-1）n-1，…
问题：在直角坐标系内，横轴上表示项数an，纵轴上表示项n，并把相应的点描出来，进一步分析各个数列变化趋势的特征，从中加以分析对比，并思考下面几个问题：
（1）当n无限增大时，项an的变化趋势，它能否向一个确定的常数趋近呢？
（2）若能，请将这个常数求出来，并用字母a表示。
（3）比较项an与这个常数a的大小关系。
注：也可将直角坐标系改为数轴
（1）是无限递增经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（2）是无限递减经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（3）是围绕x轴作越来越小的上下摆动。a=1，an时而大于1，时而小于1。
（4）是任何时刻都永远等于1的。a=1。
（5）愈变愈大，最终趋向于无限大的。a不存在。
（6）绝对值是越变越大，最终沿着负的方向趋向无限大的。A不存在。
（7）是摆动于正负无限大的。A不存在。
（8）是摆动于+1与-1之间的。A不存在。
观察结果：一方面项数n的增大与数列的项的趋近都在无限过程中进行的。另一方面，如（1）的项，不仅趋近于1，而且无限趋近于1，根据上述无限数列的特性，不难发现无限数列趋近于基本上可以分为两大类：一类当无限增大时，项无限趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（1），（2），（3），（4）一类当n无限增大时，an却不能趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（5），（6），（7），（8）。有了这些感性认识以后，无限数列以根据它们是否能够趋近于某一个唯一确定常数为标准来进行分类：一类存在极限，另一类不存在极限。
3 正确运用极限定义证明极限
已知xn=（-1）n（n+1）2，证明数列{xn}的极限是0。
证 =|xn-a|=（-1）n（n+1）2-0=1（n+1）2<1n+1
ε>0 （设ε<1），只要1n+1<ε或n>1ε-1，不等式|xn-a|<ε必定成立。所以，取N=1ε-1，则当n>N时就有（-1）n（n+1）2-0<ε，即limn→∞（-1）n（n+1）2=0。
证明{n2}和{（-1）n}都是发散数列。
证 对任何a∈R，取ε0=1则数列{n2}中所有满足n>a+1的项（有无穷多个）显然都落在U（a，ε0）之外，故{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列。
至于数列{（-1）n}，当a=1时取ε0=1，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}中的{（-1）n}所有奇数项；当a≠1时取ε0=12|a-1|，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}所有偶数项。所以{（-1）n}不以任何数a为极限，即{（-1）n}为发散数列。
例3 证明limx→∞1x=0
证 ε>0，要证X>0，当|x|>X时，不等式1x-0<ε成立。因这个不等式相当于1|x|<ε或|x|>1ε，由此可知，如果X=1ε，那么当|x|>X=1ε时，不等式1x-0<ε成立，这就证明了limx→∞1x=0
例4 证明limx→1x2-12x2-x-1=23
证：当x≠1时，有：x2-12x2-x-1-23=x+12x+1-23=|x-1|3|2x+1|（一般的课本对此题都是直接限制x于0<|x-1| 而函数g（x）=|2x+1|的零点是x=-12，若使1-a>-12，即01）。于是对任给的ε，只要取δ=min{3ε，1}，则当0<|x-x0|<δ时，便有：
x2-12x2-x-1-23<|x-1|3<ε。即limx→1x2-12x2-x-1=23
参考文献
[1] 刘玉链等编.《数学分析讲义》高等教育出版社，1985年第二版.
[2] 杨世明，王雪琴，数学发现的艺术[M]，青岛：青岛海洋大学出版社，1998年版
[3] 〔美〕贝尔著，徐源译，数学精英[M]。北京：商务印书馆，1991年，第605页
[4] 徐利治，《数学方法论选讲》，华中工学院出版社1988年版，第97页
[5] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001年版第45～第46页
[6] 同济大学应用数学系，高等数学（上册）高等教育出版社.
[7] 王仲英，郝祥晖，数学中的有限与无限，高学数学研究，2007年第10卷第1期，第77页
【关键词】极限概念；定义；辩证法；应用
通过研究极限概念的建立，我们知道了在一般微积分教程中，极限有数列极限和函数极限之分，函数极限中又有x→∞和x→x0之分，现以数列极限为例，分析极限概念中的唯物辩证法。
设数列{xn}收敛于常数A，即limn→∞xn=A。依“ε-N”定义可分三步证明：
第一步，给出任意正数（无论有多小）ε>0；
第二步，由不等式|xn-A|<ε求与ε对应的时刻N（ε）；
第三步，依定义的模式写出结论。
第一步是前提，第二步是关键，第三步是证明的完结。在这三步中蕴涵了如下一些丰富的唯物辩证法内容。通过唯物辩证法分析极限概念，体现了事物相互联系、相互渗透、相互制约的辩证关系。我认为大家现在应该对极限概念有了更深一层的理解，接下来看看对极限概念的一些具体应用。
1 极限概念中的唯物辩证观在数学中的具体应用
《细绳对折小实验》
这里有一根1米左右的小细绳，然后对折若干次后回答下面问题：
（1）绳子长度的变化趋势怎样？最后会变为零吗？
（2）绳子长度为何会发生这种变化？
（3）能用数学符号写出上面对应的问题吗？
答：（1）绳子长度趋向于零，但永远不会为零。
（2）因为不断地将绳子对折。
（3）绳子的长度组成
对折次数n 1 2 3 4 5 … n …
绳子长度an 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 … 1 2n …
以q=12的无穷等比数列。观察结果：当项数无限增加时，绳子的长度an趋于一个常数0，不论n多大，12n永远不为0，只是0的近似值，不同的n只表示12n与0近似程度的不同，保持近似值的相对稳定性，不会产生质的变化，但是，当n无限增大时，相应数列12n的变化也出现了飞跃，无限趋近于0，这反映了事物运动变化由量变到质变这个辩证规律在数学中的反映。
2 极限定义在解题中的一些简单应用
数列（1）0.9，0.99，0.999，…，1-110n，…
（2）21，32，43，…，n+1n，…
（3） 1，-12，14，…，（-12）n+1，…
（4）1，1，1，…，1，…
（5）1，2，3，…，…
（6）2，1，-1，…，3-（-2）n-1，…
（7）1，-2，4，…（-2）n-1，…
（8）1，-1，1，…，（-1）n-1，…
问题：在直角坐标系内，横轴上表示项数an，纵轴上表示项n，并把相应的点描出来，进一步分析各个数列变化趋势的特征，从中加以分析对比，并思考下面几个问题：
（1）当n无限增大时，项an的变化趋势，它能否向一个确定的常数趋近呢？
（2）若能，请将这个常数求出来，并用字母a表示。
（3）比较项an与这个常数a的大小关系。
注：也可将直角坐标系改为数轴
（1）是无限递增经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（2）是无限递减经过某个时刻后而趋近于1的。a=1。
（3）是围绕x轴作越来越小的上下摆动。a=1，an时而大于1，时而小于1。
（4）是任何时刻都永远等于1的。a=1。
（5）愈变愈大，最终趋向于无限大的。a不存在。
（6）绝对值是越变越大，最终沿着负的方向趋向无限大的。A不存在。
（7）是摆动于正负无限大的。A不存在。
（8）是摆动于+1与-1之间的。A不存在。
观察结果：一方面项数n的增大与数列的项的趋近都在无限过程中进行的。另一方面，如（1）的项，不仅趋近于1，而且无限趋近于1，根据上述无限数列的特性，不难发现无限数列趋近于基本上可以分为两大类：一类当无限增大时，项无限趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（1），（2），（3），（4）一类当n无限增大时，an却不能趋近于（或等于）某一个确定的常数，如数列（5），（6），（7），（8）。有了这些感性认识以后，无限数列以根据它们是否能够趋近于某一个唯一确定常数为标准来进行分类：一类存在极限，另一类不存在极限。
3 正确运用极限定义证明极限
已知xn=（-1）n（n+1）2，证明数列{xn}的极限是0。
证 =|xn-a|=（-1）n（n+1）2-0=1（n+1）2<1n+1
ε>0 （设ε<1），只要1n+1<ε或n>1ε-1，不等式|xn-a|<ε必定成立。所以，取N=1ε-1，则当n>N时就有（-1）n（n+1）2-0<ε，即limn→∞（-1）n（n+1）2=0。
证明{n2}和{（-1）n}都是发散数列。
证 对任何a∈R，取ε0=1则数列{n2}中所有满足n>a+1的项（有无穷多个）显然都落在U（a，ε0）之外，故{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列。
至于数列{（-1）n}，当a=1时取ε0=1，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}中的{（-1）n}所有奇数项；当a≠1时取ε0=12|a-1|，则在U（a，ε0）之外有{（-1）n}所有偶数项。所以{（-1）n}不以任何数a为极限，即{（-1）n}为发散数列。
例3 证明limx→∞1x=0
证 ε>0，要证X>0，当|x|>X时，不等式1x-0<ε成立。因这个不等式相当于1|x|<ε或|x|>1ε，由此可知，如果X=1ε，那么当|x|>X=1ε时，不等式1x-0<ε成立，这就证明了limx→∞1x=0
例4 证明limx→1x2-12x2-x-1=23
证：当x≠1时，有：x2-12x2-x-1-23=x+12x+1-23=|x-1|3|2x+1|（一般的课本对此题都是直接限制x于0<|x-1| 而函数g（x）=|2x+1|的零点是x=-12，若使1-a>-12，即01）。于是对任给的ε，只要取δ=min{3ε，1}，则当0<|x-x0|<δ时，便有：
x2-12x2-x-1-23<|x-1|3<ε。即limx→1x2-12x2-x-1=23
参考文献
[1] 刘玉链等编.《数学分析讲义》高等教育出版社，1985年第二版.
[2] 杨世明，王雪琴，数学发现的艺术[M]，青岛：青岛海洋大学出版社，1998年版
[3] 〔美〕贝尔著，徐源译，数学精英[M]。北京：商务印书馆，1991年，第605页
[4] 徐利治，《数学方法论选讲》，华中工学院出版社1988年版，第97页
[5] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001年版第45～第46页
[6] 同济大学应用数学系，高等数学（上册）高等教育出版社.
[7] 王仲英，郝祥晖，数学中的有限与无限，高学数学研究，2007年第10卷第1期，第77页