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填空题不同于选择题，选择题的答案就在四个选择支中，它只要说明其中的三个选择支是错误的，就可以选出正确的；填空题又有别于解答题，解答题需要推理、计算的过程，而填空题只要结果．因此，解填空题就必须在“正确”、“合理”、“迅速”上下功夫．
以“迅速”为例，要提高解题速度要注意一些策略：
①充分利用已知结果，合理跳步，省略中间过程；
②熟记一些数量关系，例如常见的勾股数，一些特殊角（如 ， ）的角函数值，直角三角形、正三角形、正方形中关于边长、面积、外接圆、内接圆的半径的一些关系等；
③通过挖掘概念本质，寻求简便运算，如S＝C ＋3C ＋9C ＋……＋3n－1C ＝．可变形为3S＋1＝3C ＋32C ＋……＋3n+1＋1＝（1＋3） ＝4 ，立得S＝ ；
④利用一一对应关系，配对整体处理等，简化运算，比如，函数f(x)对一切实数x都满足 ，并且f(x)=0有6个实根，则这6个实根之和是因为3＋a为f (x)＝0的根，则对应的3－a也是f (x)＝0的根，故方程的根两两配对为3± ，3± ，3± ，故其和为3×6＝18；
⑤对一些运用起来较繁的性质，采用一些自编口诀化规则，可以达到提高解题速度的目的．比如复合函数f[g(x)]的单调性，对f、g可归纳为“同向得增，异向得减”，或“同增异减”．如函数y＝log （x2－4x＋3）的单调递增区间是．易知函数定义域为（－ ，1） （3，＋ ），记y＝log g(x)为减函数，据“同向得增”，必然知所求区间应为g(x)＝x2－4x＋3的单减区间，因此得函数的单增区间是（－ ，1）．
下面我们通过具体例子谈谈填空题的常见解法和技巧．
一、利用定义或性质
例1 函数f(x)＝ － 的最大值为 ，最小值为 ．
解：因为f(x)的定义域为 ≤x≤ ，又 ＝ 是定义域上的增函数， ＝－ 也是定义域上的增函数，所以f(x)是定义的域上的增函数，故f(x)的最大值为f(2)＝1，最小值为f(1)＝－1．
二、换元法
例2 设关于x的方程sin（x＋ ）－sin2x＝a有实数解，则实数a的取值范围是 ．
解：∵a＝ （sinx＋cosx）－2 sinxcosx，令t＝sinx＋cosx＝ sin（x＋ ）,t ， ，则a＝ t－2· ＝－1 ＋ ，
∴当t＝－ 时，a有最小值为－2，当t＝ 时，a有最大值为 ，故a ．
三、推理论证，正难易反
例3 在某项选拔赛中共设置10道选择题，每题4个选项，只有唯一正确的选项，答对得5分，答错得0分，至少得40分才能入选．某同学会做6道题，还有2题每题可以排除两个错误选项，则入选的概率为 ．
解：6道题可正确答出，可得30分，故要入选只要在剩下的4题中至少做对2道即可，即求做对2题，3题或4题的概率总共多少，还不如求问题的反面更简单，即在4题中全没有做对或只做对1题的概率是多少？
全没有做对的概率为 · · · ＝ ，只做对1题的情形是，可能在全不会做的2题中做对1题，也可能在余下可排除两个错误选项的2题中做对1题，此时的概率为2· · · · ＋2· · · · ＝ ．
∴不入选的概率为 ＋ ＝ ，入选的概率为1－ ＝ ．
说明本题在求解过程中，进行了分类讨论、求补法等，可见解答填空题也要有综合能力．
四、数形结合
例4 直线y＝ax－1与曲线x2y－xy＋y3＝0仅有两个公共点，则实数a= ．
解：直线y＝ax－1恒过定点（0，－1），画出图像知当直线过点A（2，0）时仅有两个公共点，此时斜率a= ．
五、寻找规律
例5 （1＋tan1 ）（1＋tan2 ）……（1＋tan43 ）（1＋tan44 ）的值为 ．
解：由于1 ＋44 ＝2 ＋23 ＝……＝22 ＋23 ，因此考察当A＋B＝45 时，（1＋tanA）（1＋tanB）的值．
由A＋B＝45 tan（A＋B）＝ =1，
∴（1＋tanA）（1＋tanB）＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2，∴原式＝222．
六、构造法
例6 方程x +x ＋x ＋x ＝7的正整数解的个数为 ．（用数字作答）
解：可构造这样一个简单的组合问题，把7个“1”排成一排，再从7个“1”的大个空隙中取三个空隙放入“＋”号，即可得一个正整数解．故方程的正整数解的个数是C ＝20个．
七、特殊化
例7 椭圆 ＋ ＝1上任意两点E、F，且∠EOF＝90 ，则 ＝ ．
解：因为E、F是椭圆上的任意两点，就取E（a,0），F（0，b），这时∠EOF＝90 ，所以 ＝ ．
可能有同学会怀疑，这样用特殊情况做出来的结果可靠吗？一般来说，只要答案唯一，结果就可靠。大家不妨用一般情形来验证一下本题的答案．
八、整体考虑
例8 将n2（n≥3）个正整数1，2，3，……，n2填入到n×n个方格中，使得每行，每列及每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做几阶幻方．如图就是一个3阶幻方，定义f(x)为几阶幻方一条对角线的和，例如f(3)＝15，那么f(4)等于
解：从整体观察，我们发现每行，每列及每条对角线的和就是这n2个正整数和的 ，所以无论这个n为多少都可以求出f(n)＝ = ，而f(4)＝ ＝34．
九、观察和猜想
例9 已知数列 同时满足下面两条件；（1）不是常数列；（2）它的极限就是这个数列中的项，则此数列的一个通项公式 ＝
解：依题意，可猜出 ＝ ，或 ＝ ，或 = ，等等．
十、类比法
例10 有如下真命题：“若 是一个公差为d的等差数列，则数列 是公差为3d的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是：“若 是公比为q的等比数列，则 ”（写出一个正确的答案即可）
解：可填上： 是公比为q3的等比数例或 是公比为q的等比数列．（答案不唯一）．
十一、夹逼法
例11 若不等式︱x -8x+a︱ x-4的解集为 ，则实数a的值等于
解：不等式可化为4-x≤x -8x+a≤x-4,即转化为不等式x -9x+a+4≤0且x -7x+a-4≥0的解集为 ，求a的值，令f(x)= x -9x+a+4，g(x) =x -7x+a-4，只需
16≤a≤16 a=16.
责任编辑 李婷婷
以“迅速”为例，要提高解题速度要注意一些策略：
①充分利用已知结果，合理跳步，省略中间过程；
②熟记一些数量关系，例如常见的勾股数，一些特殊角（如 ， ）的角函数值，直角三角形、正三角形、正方形中关于边长、面积、外接圆、内接圆的半径的一些关系等；
③通过挖掘概念本质，寻求简便运算，如S＝C ＋3C ＋9C ＋……＋3n－1C ＝．可变形为3S＋1＝3C ＋32C ＋……＋3n+1＋1＝（1＋3） ＝4 ，立得S＝ ；
④利用一一对应关系，配对整体处理等，简化运算，比如，函数f(x)对一切实数x都满足 ，并且f(x)=0有6个实根，则这6个实根之和是因为3＋a为f (x)＝0的根，则对应的3－a也是f (x)＝0的根，故方程的根两两配对为3± ，3± ，3± ，故其和为3×6＝18；
⑤对一些运用起来较繁的性质，采用一些自编口诀化规则，可以达到提高解题速度的目的．比如复合函数f[g(x)]的单调性，对f、g可归纳为“同向得增，异向得减”，或“同增异减”．如函数y＝log （x2－4x＋3）的单调递增区间是．易知函数定义域为（－ ，1） （3，＋ ），记y＝log g(x)为减函数，据“同向得增”，必然知所求区间应为g(x)＝x2－4x＋3的单减区间，因此得函数的单增区间是（－ ，1）．
下面我们通过具体例子谈谈填空题的常见解法和技巧．
一、利用定义或性质
例1 函数f(x)＝ － 的最大值为 ，最小值为 ．
解：因为f(x)的定义域为 ≤x≤ ，又 ＝ 是定义域上的增函数， ＝－ 也是定义域上的增函数，所以f(x)是定义的域上的增函数，故f(x)的最大值为f(2)＝1，最小值为f(1)＝－1．
二、换元法
例2 设关于x的方程sin（x＋ ）－sin2x＝a有实数解，则实数a的取值范围是 ．
解：∵a＝ （sinx＋cosx）－2 sinxcosx，令t＝sinx＋cosx＝ sin（x＋ ）,t ， ，则a＝ t－2· ＝－1 ＋ ，
∴当t＝－ 时，a有最小值为－2，当t＝ 时，a有最大值为 ，故a ．
三、推理论证，正难易反
例3 在某项选拔赛中共设置10道选择题，每题4个选项，只有唯一正确的选项，答对得5分，答错得0分，至少得40分才能入选．某同学会做6道题，还有2题每题可以排除两个错误选项，则入选的概率为 ．
解：6道题可正确答出，可得30分，故要入选只要在剩下的4题中至少做对2道即可，即求做对2题，3题或4题的概率总共多少，还不如求问题的反面更简单，即在4题中全没有做对或只做对1题的概率是多少？
全没有做对的概率为 · · · ＝ ，只做对1题的情形是，可能在全不会做的2题中做对1题，也可能在余下可排除两个错误选项的2题中做对1题，此时的概率为2· · · · ＋2· · · · ＝ ．
∴不入选的概率为 ＋ ＝ ，入选的概率为1－ ＝ ．
说明本题在求解过程中，进行了分类讨论、求补法等，可见解答填空题也要有综合能力．
四、数形结合
例4 直线y＝ax－1与曲线x2y－xy＋y3＝0仅有两个公共点，则实数a= ．
解：直线y＝ax－1恒过定点（0，－1），画出图像知当直线过点A（2，0）时仅有两个公共点，此时斜率a= ．
五、寻找规律
例5 （1＋tan1 ）（1＋tan2 ）……（1＋tan43 ）（1＋tan44 ）的值为 ．
解：由于1 ＋44 ＝2 ＋23 ＝……＝22 ＋23 ，因此考察当A＋B＝45 时，（1＋tanA）（1＋tanB）的值．
由A＋B＝45 tan（A＋B）＝ =1，
∴（1＋tanA）（1＋tanB）＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2，∴原式＝222．
六、构造法
例6 方程x +x ＋x ＋x ＝7的正整数解的个数为 ．（用数字作答）
解：可构造这样一个简单的组合问题，把7个“1”排成一排，再从7个“1”的大个空隙中取三个空隙放入“＋”号，即可得一个正整数解．故方程的正整数解的个数是C ＝20个．
七、特殊化
例7 椭圆 ＋ ＝1上任意两点E、F，且∠EOF＝90 ，则 ＝ ．
解：因为E、F是椭圆上的任意两点，就取E（a,0），F（0，b），这时∠EOF＝90 ，所以 ＝ ．
可能有同学会怀疑，这样用特殊情况做出来的结果可靠吗？一般来说，只要答案唯一，结果就可靠。大家不妨用一般情形来验证一下本题的答案．
八、整体考虑
例8 将n2（n≥3）个正整数1，2，3，……，n2填入到n×n个方格中，使得每行，每列及每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做几阶幻方．如图就是一个3阶幻方，定义f(x)为几阶幻方一条对角线的和，例如f(3)＝15，那么f(4)等于
解：从整体观察，我们发现每行，每列及每条对角线的和就是这n2个正整数和的 ，所以无论这个n为多少都可以求出f(n)＝ = ，而f(4)＝ ＝34．
九、观察和猜想
例9 已知数列 同时满足下面两条件；（1）不是常数列；（2）它的极限就是这个数列中的项，则此数列的一个通项公式 ＝
解：依题意，可猜出 ＝ ，或 ＝ ，或 = ，等等．
十、类比法
例10 有如下真命题：“若 是一个公差为d的等差数列，则数列 是公差为3d的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是：“若 是公比为q的等比数列，则 ”（写出一个正确的答案即可）
解：可填上： 是公比为q3的等比数例或 是公比为q的等比数列．（答案不唯一）．
十一、夹逼法
例11 若不等式︱x -8x+a︱ x-4的解集为 ，则实数a的值等于
解：不等式可化为4-x≤x -8x+a≤x-4,即转化为不等式x -9x+a+4≤0且x -7x+a-4≥0的解集为 ，求a的值，令f(x)= x -9x+a+4，g(x) =x -7x+a-4，只需
16≤a≤16 a=16.
责任编辑 李婷婷