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【摘 要】高中数学课程标准中指出，在必修课程（数学4）、选修课程（系列2—1）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。笔者在新课程教师培训和实验区听课中了解到，相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证明。因此，对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用，向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。下面谈一谈向量教学中应注意的问题。
【关键词】高中数学 向量教学 注意 问题
一、注重向量的代数性质及其几何意义
向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。运算是贯穿于中学数学中的一条主线，学生最先学习的运算是数的运算，向量的运算与数运算既有联系又有区别。例如，向量的加法运算与数的加法运算从代数运算的角度看是一致的，都是A×A→A型的运算。但是，向量的加法运算的法则是三角形或平行四边形法则，这与数的加法运算的法则不同。向量的数乘运算不同于数的乘法运算，它扩展了运算的对象与运算的类型，属于A×B→B型的运算。向量的数量积运算也不同于数的乘法运算，它是A×A→B型的运算。
在向量的教学中，应关注运算的意义和运算律。运算与运算律赋予向量集特定的结构，产生群、线性空间、线性赋范空间等不同的数学模型。例如，向量集V对于向量的加法（+）运算满足结合律、交换律、有零元（存在零向量）、有负元（每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量），这是构成交换群的基本性质；V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的数乘运算满足数乘对向量加法的分配律（λ（a+b）=λa+λb）、数乘对数加法的分配律（（λ+γ）a=λa+γa）、數乘运算的结合律（（λγ）a=λ（γa））等，这是构成线性空间的基本性质。在教学中，应引导学生在具体运算的基础上总结这些运算律，认识这些运算律对于研究向量和运用向量解决问题以及建构数学体系的重要意义。
在向量的教学中，特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算的区别与联系，应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较，帮助学生理解向量运算的意义及其运算律，为进一步理解其他代数运算奠定基础。例如，对于数运算来说，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“单位元”。对于向量的加法运算来说，零向量0也是唯一的加法“零元”，对于任何向量a，0+a=a。但是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的运算律：对于任何向量a，0a=0，1a=a，0a=0。虽然也有单位向量的概念，但单位向量不是数量积运算的单位元，即ea≠a，而且单位向量也不唯一。若把单位向量的起点放在同一点，则所有单位向量构成一个单位圆（球）；数的乘法运算满足结合律、消去律，即对于任何数a、b、c，（ab）c=a（bc），若ab=ac，且a≠0，则b=c。对于向量的数量积运算来说，（ab）c≠a（bc）。这是因为，ab，bc都是实数，（ab）c是与c方向相同或相反的向量，a（bc）是与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线，即使共线，（ab）c与a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三个互相垂直的非零向量，则ab=ac=0，且a≠0，但b≠c。因此，向量的数量积运算不满足结合律、消去律。在教学中，应让学生明确向量运算与数运算的这些区别，这样才能对向量运算乃至代数运算有深入的认识。
二、关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用
物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中有广泛应用是不言而喻的。在教学中，应引导学生有意识地运用向量及其运算的性质刻画和解决物理学科中的问题。
向量在数学中有着广泛的应用，向量及其代数运算可以刻画几何对象以及几何度量问题，可以表示三角函数、证明三角函数的公式，可以表示重要的不等式。
三、关于数学向量教学的几点建议
1.让学生从现实中形成向量概念及其运算
学生的向量概念首先是从接触物理课程中的各种矢量开始的。在现实中，有许多教师都认为自己在向量概念，教学中是借助物理背景引入向量概念，在概念引入过程中通过一个物理情境，就匆匆转入向量及相关概念的教学，并且把整节课的重点和难点放在后面的概念辨析中，这是学生无法建构概念对象的主要原因。因此，教师在选择物理情境时应该注意既要包括有固定起点这样的基本情境，也要包括不是固定起点的变式情境；既要涉及力、速度这些学生熟悉的情境，也要有平移等不熟悉的情境。然后通过鼓励学生不断反思，让学生建立关于各种物理活动的一致的观念，并最终把向量概念和及其运算压缩成一个认知整体，使学生的向量概念及其运算可以灵活地应用于各种情境。
2.加强对向量语言的教学
数学语言是数学交流中传递信息和情感的重要工具，向量是中学阶段数学语言表现形式较为丰富的载体，熟练运用向量的自然语言、符号语言、图形语言，通过交流可以加强学生对数学的认识和理解。因为在交流的过程中，可以更好地理解和使用数学语言和符号，可以组织和强化学生的数学思维，同时通过思考他人的想法和策略来丰富和扩展自己的知识和思维。向量语言贯穿于向量教学的始末，其数学环境及为丰富，教师在教学中要重视向量运算的学习阶段和平面向量概念的建立，要遵循循序渐进原则，在教学和学生学习的每一阶段，让学生经历向量语言的模仿—口头语言—书面语言，规范的口头表达，尤其重要的是教师要给学生充分的“表现”机会，通过间接或直接的方式规范数学语言，使学生使用数学向量解决实际问题时能合理地使用三种语言形式，从而形成用数学的能力。
3.加强法向量在解题中的通法教学
教学过程中使用空间向量处理立体几何问题，为传统方法解决技巧性大、随机性强调问题提供了一些通法，使对向量问题的研讨达到了有效运算的水平；不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具，可以降低学生学习的难度，减轻他们的负担。所说的“通法”主要体现在证明有关垂直（线、线垂直与线、面垂直）的问题上，并没有涉及用向量怎样求解线、面角与二面角的问题；笔者所说的“通法”更应体现在求解空间角和空间距上。教师如果在教学中只是照本宣科，就会使学生对向量的优越性产生怀疑。因此，在教学中能在加强法向量的教学的基础上，全面体现用向量处理立体几何问题的通法，真正让学生感受到其“威力”，这对我们的向量教学是很有益的。
【关键词】高中数学 向量教学 注意 问题
一、注重向量的代数性质及其几何意义
向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。运算是贯穿于中学数学中的一条主线，学生最先学习的运算是数的运算，向量的运算与数运算既有联系又有区别。例如，向量的加法运算与数的加法运算从代数运算的角度看是一致的，都是A×A→A型的运算。但是，向量的加法运算的法则是三角形或平行四边形法则，这与数的加法运算的法则不同。向量的数乘运算不同于数的乘法运算，它扩展了运算的对象与运算的类型，属于A×B→B型的运算。向量的数量积运算也不同于数的乘法运算，它是A×A→B型的运算。
在向量的教学中，应关注运算的意义和运算律。运算与运算律赋予向量集特定的结构，产生群、线性空间、线性赋范空间等不同的数学模型。例如，向量集V对于向量的加法（+）运算满足结合律、交换律、有零元（存在零向量）、有负元（每个向量都有与其方向相反、长度相等的向量），这是构成交换群的基本性质；V中向量的加法、实数域R中的实数与向量的数乘运算满足数乘对向量加法的分配律（λ（a+b）=λa+λb）、数乘对数加法的分配律（（λ+γ）a=λa+γa）、數乘运算的结合律（（λγ）a=λ（γa））等，这是构成线性空间的基本性质。在教学中，应引导学生在具体运算的基础上总结这些运算律，认识这些运算律对于研究向量和运用向量解决问题以及建构数学体系的重要意义。
在向量的教学中，特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算的区别与联系，应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律进行比较，帮助学生理解向量运算的意义及其运算律，为进一步理解其他代数运算奠定基础。例如，对于数运算来说，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“单位元”。对于向量的加法运算来说，零向量0也是唯一的加法“零元”，对于任何向量a，0+a=a。但是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的运算律：对于任何向量a，0a=0，1a=a，0a=0。虽然也有单位向量的概念，但单位向量不是数量积运算的单位元，即ea≠a，而且单位向量也不唯一。若把单位向量的起点放在同一点，则所有单位向量构成一个单位圆（球）；数的乘法运算满足结合律、消去律，即对于任何数a、b、c，（ab）c=a（bc），若ab=ac，且a≠0，则b=c。对于向量的数量积运算来说，（ab）c≠a（bc）。这是因为，ab，bc都是实数，（ab）c是与c方向相同或相反的向量，a（bc）是与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线，即使共线，（ab）c与a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三个互相垂直的非零向量，则ab=ac=0，且a≠0，但b≠c。因此，向量的数量积运算不满足结合律、消去律。在教学中，应让学生明确向量运算与数运算的这些区别，这样才能对向量运算乃至代数运算有深入的认识。
二、关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用
物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中有广泛应用是不言而喻的。在教学中，应引导学生有意识地运用向量及其运算的性质刻画和解决物理学科中的问题。
向量在数学中有着广泛的应用，向量及其代数运算可以刻画几何对象以及几何度量问题，可以表示三角函数、证明三角函数的公式，可以表示重要的不等式。
三、关于数学向量教学的几点建议
1.让学生从现实中形成向量概念及其运算
学生的向量概念首先是从接触物理课程中的各种矢量开始的。在现实中，有许多教师都认为自己在向量概念，教学中是借助物理背景引入向量概念，在概念引入过程中通过一个物理情境，就匆匆转入向量及相关概念的教学，并且把整节课的重点和难点放在后面的概念辨析中，这是学生无法建构概念对象的主要原因。因此，教师在选择物理情境时应该注意既要包括有固定起点这样的基本情境，也要包括不是固定起点的变式情境；既要涉及力、速度这些学生熟悉的情境，也要有平移等不熟悉的情境。然后通过鼓励学生不断反思，让学生建立关于各种物理活动的一致的观念，并最终把向量概念和及其运算压缩成一个认知整体，使学生的向量概念及其运算可以灵活地应用于各种情境。
2.加强对向量语言的教学
数学语言是数学交流中传递信息和情感的重要工具，向量是中学阶段数学语言表现形式较为丰富的载体，熟练运用向量的自然语言、符号语言、图形语言，通过交流可以加强学生对数学的认识和理解。因为在交流的过程中，可以更好地理解和使用数学语言和符号，可以组织和强化学生的数学思维，同时通过思考他人的想法和策略来丰富和扩展自己的知识和思维。向量语言贯穿于向量教学的始末，其数学环境及为丰富，教师在教学中要重视向量运算的学习阶段和平面向量概念的建立，要遵循循序渐进原则，在教学和学生学习的每一阶段，让学生经历向量语言的模仿—口头语言—书面语言，规范的口头表达，尤其重要的是教师要给学生充分的“表现”机会，通过间接或直接的方式规范数学语言，使学生使用数学向量解决实际问题时能合理地使用三种语言形式，从而形成用数学的能力。
3.加强法向量在解题中的通法教学
教学过程中使用空间向量处理立体几何问题，为传统方法解决技巧性大、随机性强调问题提供了一些通法，使对向量问题的研讨达到了有效运算的水平；不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具，可以降低学生学习的难度，减轻他们的负担。所说的“通法”主要体现在证明有关垂直（线、线垂直与线、面垂直）的问题上，并没有涉及用向量怎样求解线、面角与二面角的问题；笔者所说的“通法”更应体现在求解空间角和空间距上。教师如果在教学中只是照本宣科，就会使学生对向量的优越性产生怀疑。因此，在教学中能在加强法向量的教学的基础上，全面体现用向量处理立体几何问题的通法，真正让学生感受到其“威力”，这对我们的向量教学是很有益的。