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波利亚说：“掌握数学就是意味着善于解题。”而解题是数学学习中的一种训练手段，其目的包括：知识理解的巩固性目的、能力培养的发展性目的、思维教育的陶冶性目的。学生在解题时，经常出现对概念理解的不透彻、知识掌握的不够完善、思维方法不够灵活等困惑，使解题思路闭塞，逻辑紊乱，看不到问题的实质，更找不到解决问题的方法和途径。因此，在数学教学中，必须注重概念的理解、知识结构的完善、情境问题、思维方法的教学。
数学解题数学教学情境问题知识结构思维方法先看一道例题：已知函数f（x）=x2–（m+1）x+m（m∈R）。求：
（1）若tanA，tanB是方程f（x）+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角，求证：m≥5；
（2）对任意实数α，恒有f（2+cosα）≤0，证明m≥3；
（3）在（2）的条件下，若函数f（sinα）的最大值是8，求m。
这道题是我们经常见到的题型，涉及的知识比较多，有二次函数的知识，三角函数及公式，一元二次方程及不等式的知识等。学生在解这道题时，经常出现如下困惑：在第（1）问中，不能由等式得出不等式；条件“A、B是锐角三角形ABC的两个内角”是干什么用的；挖掘不出隐含条件，得不出结果m≥5；在第（2）问中不会处理含参一元二次不等式，不能熟练地运用三个“二次”；不熟悉抽象函数的处理方法；不能对条件进行有效转化。究其原因主要有以下几点：①概念理解的不够透彻；②数学知识结构建立的不完善；③数学思想方法掌握的不够灵活；④数学知识之间的潜移默化能力差；⑤数学思维品质低下；⑥解题过程中，对思维的监控、调节能力差。这就要求我们教师在教学中做到如下几点。
一、注重数学概念教学，让学生“知内涵又要知外延”
数学概念是抽象思维的产物，具有辩证性、客观性、合理性的特点，是数学知识的脉络，是构成各个数学知识系统的基本元素，是分析各类数学问题，进行数学思维，进而解决各类数学问题的基础，一切分析和推理也主要是依据概念和应用概念进行的，对它的准确、深入的理解是掌握数学知识、解决数学问题的关键。概念既反映了事物所具有的本质属性，又揭示了具有这种性质的所有事物，数学概念的理解，直接影响着学习数学的质量，学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算作图能力、灵活解答问题能力以及探索求异能力等无一不是以清晰、确切的概念为基础的这些能力的高低与相应概念明确、理解的深度、广度有着密切的联系。因此，在数学教学中，教师必须沟通教材中概念性知识的内在联系，使这些知识系统化、深刻化。使学生从不同角度加深对概念的理解，并使概念之间逐步形成紧密的锁链，并纳入原有的知识网络中，进而从不同角度和方面去激活思维的灵活性、独创性和批判性。前面这道题的第（1）问中，要得到m≥5这个结果。就必须掌握二次函数、二次方程、二次不等式、三角函数的概念及他们之间的联系，从而得出一个不等式组。
二、注重知识结构教学，让学生“见树木更见森林”
结构乃是决定事物性质的重要因素。知识的作用，主要不是知识量的作用，而是合理结构的作用。在知识的应用、解决问题的过程中，并非独立的“某个单项知识”，而归根到底是整个知识结构在起作用。学优生和学差生的知识组织是不一样的。学差生头脑中的知识是零散的和孤立的，呈现水平排列方式、列举方式，而学优生头脑中的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系，呈现出一个层次网络结构（但还不够完善）。可见，如果知识在头脑中无条理地堆积的话，那么知识越多，越不利于问题的解决，就像是进入图书馆借书一样，当书按一定顺序整齐地排列着，那么书会很容易找到；但书如果无顺序、杂乱无章地堆放着，我们就很难找到需要的书。数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并灵活使用该认知结构解决有关数学问题。数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，最终提高学生数学解题能力，不断满足学生继续学习的需要。因此，在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构，采取什么样的教学策略，使学生“见树木更见森林”，从而提高学生的数学解题能力，这是值得广大的数学教师去研究、探讨的问题。前面这道题的第（1）问中，就把一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式、三角函数这四方面的知识结合在一起，学生如果把它们联系不起来，就会容易产生障碍。第（2）问中，如果能联想到解决抽象函数的方法，就会有事半功倍的效果。
三、注重问题情境教学，让学生“知其然，知其所以然”
有意义学习的条件之一，是学习者必须具有有意义学习的心里意向，即学习者积极主动地把符号所代表的新知识与他的认知结构中原有的适当的模块加以联系的倾向性。要使学习者具有这种“心向”，教师在教学中就要创设良好的问题情境。创设情境，巧设问题应具备以下条件：
1.让学生明白自己将要学到什么或将要具备什么能力。这是使学生自觉参与学习的最好“诱惑”。
2.能造成认知冲突。这样就可以打破学生的心理平衡，激发学生弥补“心理缺口”的动力。
3.问题情境必须是学生熟悉的。最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际这些角度去创设问题情境，这样才能保证学生将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题问题，我们也可以通过创造条件，通过各种其他活动有意识地创设问题情境，使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。
4.提出问题的方式和问题的难度应该是适宜的。提出问题的方式极大地影响着学生解决问题的积极性和成功率。问题太难，学生没法入手，望而却步；问题太容易，学生学不到新东西，他们没有兴趣。在数学教学中，强调创设思维场景实际上也就是强调了思维的活跃性、延伸性和发散性；强调了数学问题解决中学生对问题解决路径的搜索性和调控性。只有巧设问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。通过问题情境教学，学生就会在解决具体问题时，会对自己提出问题，也正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系。因而，数学教学也就应当是创设问题情境的教学，只有这样，才能让学生“知其然，知其所以然”。前面这道题的第（1）问中，如果学生问一下自己：条件“A、B是锐角三角形ABC的两个内角”在这道题中出现起什么作用？他就会挖掘出隐含条件tan（A+B）<0，从而就能正确地解答。第（2）问中，如果通过对条件的观察，问自己“能否用解决抽象函数的方法？”就会走捷径。
四、注重思想方法教学，让学生“聪明地做数学”
数学思想方法是人们根据解决数学问题的成功实践，总结出的一般方法或模式。是数学知识的精髓，是数学内容的灵魂，是数学活动的指导思想和普遍适用的方法，这些方法或模式是解决具体数学问题的过程的概括和提炼。数学思想方法基于数学知识，又高于数学知识，与数学知识有着不可分割的辩证统一性。学习数学思想方法能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，能提高学生的思维的监控和调节能力，是促进学生的数学思维能力和思维品质的法宝。而学校教学的目的就是要使学生能把获得的内容迁移到新的情景中去。知识越具体，应用的范围越狭窄，只能用于非常具体的情境，也容易遗忘；概括性越高，其应用的范围就越广，随时可用于任何情境中的类似问题，也有利于保持记忆。数学思想方法是数学中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于学习的迁移。因此，突出数学思想方法的教学，不仅能发展学生良好的数学认知结构，还能帮助学生建构思想方法层次上的数学问题模块。例如，配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法这一类基本方法；象实验、观察、猜想、类比、分析、综合、抽象、概括、分类、归纳、演绎这一类思维方法；以及象方程的思想、函数的思想、极限的思想、化陌生为熟悉的思想、化繁为简的思想、特殊与一般的互化的思想、正难则反的思想、顺推与逆推之结合的思想、动静之转化的思想这一类高层次的思想策略与方法。文章前的这道题，就要求学生充分地应用转化与化归思想、函数与方程思想，结合分解因式法、不等式法、判别式法、换元法等方法去解题。
参考文献：
[1]喻平.数学问题解决认知模式及教学理论研究[M].南京：南京师范大学，2001.
[2]何小亚.数学应用题认知障碍的分析[J].上海：上海教育科研，2001.
[3]赵振威，黄熙宗，范叙保.中学数学解题研究[M].江苏：江苏教育出版社，1998.
[4]刘兼，孙晓庆.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002，5.
数学解题数学教学情境问题知识结构思维方法先看一道例题：已知函数f（x）=x2–（m+1）x+m（m∈R）。求：
（1）若tanA，tanB是方程f（x）+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角，求证：m≥5；
（2）对任意实数α，恒有f（2+cosα）≤0，证明m≥3；
（3）在（2）的条件下，若函数f（sinα）的最大值是8，求m。
这道题是我们经常见到的题型，涉及的知识比较多，有二次函数的知识，三角函数及公式，一元二次方程及不等式的知识等。学生在解这道题时，经常出现如下困惑：在第（1）问中，不能由等式得出不等式；条件“A、B是锐角三角形ABC的两个内角”是干什么用的；挖掘不出隐含条件，得不出结果m≥5；在第（2）问中不会处理含参一元二次不等式，不能熟练地运用三个“二次”；不熟悉抽象函数的处理方法；不能对条件进行有效转化。究其原因主要有以下几点：①概念理解的不够透彻；②数学知识结构建立的不完善；③数学思想方法掌握的不够灵活；④数学知识之间的潜移默化能力差；⑤数学思维品质低下；⑥解题过程中，对思维的监控、调节能力差。这就要求我们教师在教学中做到如下几点。
一、注重数学概念教学，让学生“知内涵又要知外延”
数学概念是抽象思维的产物，具有辩证性、客观性、合理性的特点，是数学知识的脉络，是构成各个数学知识系统的基本元素，是分析各类数学问题，进行数学思维，进而解决各类数学问题的基础，一切分析和推理也主要是依据概念和应用概念进行的，对它的准确、深入的理解是掌握数学知识、解决数学问题的关键。概念既反映了事物所具有的本质属性，又揭示了具有这种性质的所有事物，数学概念的理解，直接影响着学习数学的质量，学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算作图能力、灵活解答问题能力以及探索求异能力等无一不是以清晰、确切的概念为基础的这些能力的高低与相应概念明确、理解的深度、广度有着密切的联系。因此，在数学教学中，教师必须沟通教材中概念性知识的内在联系，使这些知识系统化、深刻化。使学生从不同角度加深对概念的理解，并使概念之间逐步形成紧密的锁链，并纳入原有的知识网络中，进而从不同角度和方面去激活思维的灵活性、独创性和批判性。前面这道题的第（1）问中，要得到m≥5这个结果。就必须掌握二次函数、二次方程、二次不等式、三角函数的概念及他们之间的联系，从而得出一个不等式组。
二、注重知识结构教学，让学生“见树木更见森林”
结构乃是决定事物性质的重要因素。知识的作用，主要不是知识量的作用，而是合理结构的作用。在知识的应用、解决问题的过程中，并非独立的“某个单项知识”，而归根到底是整个知识结构在起作用。学优生和学差生的知识组织是不一样的。学差生头脑中的知识是零散的和孤立的，呈现水平排列方式、列举方式，而学优生头脑中的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系，呈现出一个层次网络结构（但还不够完善）。可见，如果知识在头脑中无条理地堆积的话，那么知识越多，越不利于问题的解决，就像是进入图书馆借书一样，当书按一定顺序整齐地排列着，那么书会很容易找到；但书如果无顺序、杂乱无章地堆放着，我们就很难找到需要的书。数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并灵活使用该认知结构解决有关数学问题。数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，最终提高学生数学解题能力，不断满足学生继续学习的需要。因此，在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构，采取什么样的教学策略，使学生“见树木更见森林”，从而提高学生的数学解题能力，这是值得广大的数学教师去研究、探讨的问题。前面这道题的第（1）问中，就把一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式、三角函数这四方面的知识结合在一起，学生如果把它们联系不起来，就会容易产生障碍。第（2）问中，如果能联想到解决抽象函数的方法，就会有事半功倍的效果。
三、注重问题情境教学，让学生“知其然，知其所以然”
有意义学习的条件之一，是学习者必须具有有意义学习的心里意向，即学习者积极主动地把符号所代表的新知识与他的认知结构中原有的适当的模块加以联系的倾向性。要使学习者具有这种“心向”，教师在教学中就要创设良好的问题情境。创设情境，巧设问题应具备以下条件：
1.让学生明白自己将要学到什么或将要具备什么能力。这是使学生自觉参与学习的最好“诱惑”。
2.能造成认知冲突。这样就可以打破学生的心理平衡，激发学生弥补“心理缺口”的动力。
3.问题情境必须是学生熟悉的。最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际这些角度去创设问题情境，这样才能保证学生将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题问题，我们也可以通过创造条件，通过各种其他活动有意识地创设问题情境，使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。
4.提出问题的方式和问题的难度应该是适宜的。提出问题的方式极大地影响着学生解决问题的积极性和成功率。问题太难，学生没法入手，望而却步；问题太容易，学生学不到新东西，他们没有兴趣。在数学教学中，强调创设思维场景实际上也就是强调了思维的活跃性、延伸性和发散性；强调了数学问题解决中学生对问题解决路径的搜索性和调控性。只有巧设问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。通过问题情境教学，学生就会在解决具体问题时，会对自己提出问题，也正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系。因而，数学教学也就应当是创设问题情境的教学，只有这样，才能让学生“知其然，知其所以然”。前面这道题的第（1）问中，如果学生问一下自己：条件“A、B是锐角三角形ABC的两个内角”在这道题中出现起什么作用？他就会挖掘出隐含条件tan（A+B）<0，从而就能正确地解答。第（2）问中，如果通过对条件的观察，问自己“能否用解决抽象函数的方法？”就会走捷径。
四、注重思想方法教学，让学生“聪明地做数学”
数学思想方法是人们根据解决数学问题的成功实践，总结出的一般方法或模式。是数学知识的精髓，是数学内容的灵魂，是数学活动的指导思想和普遍适用的方法，这些方法或模式是解决具体数学问题的过程的概括和提炼。数学思想方法基于数学知识，又高于数学知识，与数学知识有着不可分割的辩证统一性。学习数学思想方法能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，能提高学生的思维的监控和调节能力，是促进学生的数学思维能力和思维品质的法宝。而学校教学的目的就是要使学生能把获得的内容迁移到新的情景中去。知识越具体，应用的范围越狭窄，只能用于非常具体的情境，也容易遗忘；概括性越高，其应用的范围就越广，随时可用于任何情境中的类似问题，也有利于保持记忆。数学思想方法是数学中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于学习的迁移。因此，突出数学思想方法的教学，不仅能发展学生良好的数学认知结构，还能帮助学生建构思想方法层次上的数学问题模块。例如，配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法这一类基本方法；象实验、观察、猜想、类比、分析、综合、抽象、概括、分类、归纳、演绎这一类思维方法；以及象方程的思想、函数的思想、极限的思想、化陌生为熟悉的思想、化繁为简的思想、特殊与一般的互化的思想、正难则反的思想、顺推与逆推之结合的思想、动静之转化的思想这一类高层次的思想策略与方法。文章前的这道题，就要求学生充分地应用转化与化归思想、函数与方程思想，结合分解因式法、不等式法、判别式法、换元法等方法去解题。
参考文献：
[1]喻平.数学问题解决认知模式及教学理论研究[M].南京：南京师范大学，2001.
[2]何小亚.数学应用题认知障碍的分析[J].上海：上海教育科研，2001.
[3]赵振威，黄熙宗，范叙保.中学数学解题研究[M].江苏：江苏教育出版社，1998.
[4]刘兼，孙晓庆.数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002，5.