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摘要：本文在介绍Geogebra软件的基础上，展示了立体几何教学中利用Geogebra对多面体进行构造、多角度视图以及动态展开的过程，并通过对动点轨迹问题的解决进一步阐明了Geogebra与立体几何的融合应用对教学的重要性。
关键词：Geogebra；动点轨迹
中图分类号：G40-057 文献标识码：A 论文编号：1674-2117（2018）02-0065-03
我国著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”[1]所以数与形有着十分密切的联系。立体几何从点、线、面等一维图形逐渐过渡到平面、向量等二维图形，最后深入到圆锥、圆柱等三维图形，它对学生空间构造能力的要求将数形结合推向了极致。Geogebra是一款集几何、代数、微积分和统计功能为一体的动态数学软件[2]，能为学习者模拟构建“数学实验室”，让他们体会看得见的数学，引导他们探究发现，加深对抽象知识点的理解，从而提高独立思考能力以及学习自主性。
立体图形的构造
Geogebra6.0版本新增了3D绘图区。在“视图”菜单下选中“3D绘图区”，软件上方工具栏则呈现立体图形的构建工具，学生可以在“3D绘图区”创建几何图形，在“代数区”显示其代数表达式，在“绘图区”显示其顶视图。下面以构建正四面体为例加以说明。
1.打开Geogebra6.0选择工具栏中的“正四面体”工具（如图1）。
2.在三维坐标轴上选定原点（0，0，0）和点（0，5，0），即可完成正四面体a的构建，同时代数区也会出现相应的点、线、面的相关信息。代数区可以通过点选“fx”工具确定图形信息，并以“定义”“数值”“定义与数值”“描述”等方式进行显示，为教学过程的解释提供了多种表达形式。使用指令也可以完成同样操作，即在指令栏中输入正四面体[（0，0，0），（0，5，0）]，按回车键即可，需要注意的是，指令的输入必须是英文状态下的符号。
3.在代数区中右击正四面体的各面，如faceABD，可以在弹出的菜单“设置”项中对该面的常规、颜色、样式及动态颜色等进行设置，以便学生区分与观察，用上述方法还可以构建正六面体、棱锥、球体等几何体。
立体图形特征的动态展示
Geogebra软件可以快捷地对立体几何图形进行拖拽、旋转以及展开，以便向学生动态地展示几何图形的三视图与形成过程。以六面体为例，学生可以对构建的正六面体进行拖拽旋转、放大缩小，从不同的视角去观察它，并对其进行展开，形成一个动态的立体几何的构建。
1.隐藏坐标轴构建正六面体（A，B，C）后，点击3D绘图区样式栏左侧第一项“显示/隐藏坐标轴”按钮（如图2），将坐标轴隐藏，以便学生更好地对图形进行观察。
2.六面体的旋转、放大/缩小。学生可以通过鼠标来拖拽旋转正六面体（A，B，C），也可以通过选择工具栏里“启动/停止旋转视图”按钮来完成对正六面体的旋转，同时通过设置按钮下方的滑动条数值来控制旋转方向与速度，通过选择工具栏里的“放大”按钮、“还原”按钮或者使用鼠标滚轮来改变正六面体的大小。
3.六面体的展开。选择“绘图区”工具栏里的“滑动条”工具，在绘图区空白区域单击，弹出滑动条对话框，由于多面体展开程度值的范围是从0到1，所以滑动条的最小值设为0，最大值设为1，增量默认为0.1。在指令栏中输入展开图[正六面体（A，B，C），c]，通过控制滑动条c，即可改变正六面体（A，B，C）的展开程度，反复完美地动态呈现正六面体的展开过程（如图3）。
辅助概念教学的理解
Geogebra软件可以动态、完整地呈现问题条件的构造过程以及对动点的跟踪过程，让学生从多角度观察，便于理解。
例如，球面a上的两点C、F从同一个点B出發，以相同的速度分别沿圆BFH、圆BCH运动一周，其中平面BFH垂直于平面BCH，且这两个平面的交线为a的直径BH，用Geogebra软件做出线段CF中点G的轨迹。
1.条件构建。选择工具栏里的球面工具，构造一个半径为4的球面a；然后在工具栏点击“描点”工具，在球面y轴上新建点B，选择“圆”工具，先后单击x轴线和点B新建“圆c”（即平面BCH），接着先后单击z轴线与点B新建“圆d”（即平面BFH），将两圆另一交点命名为H。
2.求解过程。在圆d上随意取一点C，选择角度工具，做出∠BAC=α；利用“垂线”工具，做出垂直于平面BFH的直线h，选取“旋转”工具，将B点绕直线h旋转α得到点F。利用“线段”工具连接线段CF，并使用“中心/中点”工具，做出其中点G。选中点G，单击右键选择跟踪，就可以通过拖动点C跟踪点G的轨迹，并观察到点G的轨迹是一个椭圆（如第66页图4）。
总之，数学来源于实践，是现实世界的客观反映。充分利用Geogebra能够使原本抽象的内容具体化、形象化，帮助学生理解复杂概念，形成直观印象，并全身心投入到探究活动中，真正成为学习的主人。
关键词：Geogebra；动点轨迹
中图分类号：G40-057 文献标识码：A 论文编号：1674-2117（2018）02-0065-03
我国著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”[1]所以数与形有着十分密切的联系。立体几何从点、线、面等一维图形逐渐过渡到平面、向量等二维图形，最后深入到圆锥、圆柱等三维图形，它对学生空间构造能力的要求将数形结合推向了极致。Geogebra是一款集几何、代数、微积分和统计功能为一体的动态数学软件[2]，能为学习者模拟构建“数学实验室”，让他们体会看得见的数学，引导他们探究发现，加深对抽象知识点的理解，从而提高独立思考能力以及学习自主性。
立体图形的构造
Geogebra6.0版本新增了3D绘图区。在“视图”菜单下选中“3D绘图区”，软件上方工具栏则呈现立体图形的构建工具，学生可以在“3D绘图区”创建几何图形，在“代数区”显示其代数表达式，在“绘图区”显示其顶视图。下面以构建正四面体为例加以说明。
1.打开Geogebra6.0选择工具栏中的“正四面体”工具（如图1）。
2.在三维坐标轴上选定原点（0，0，0）和点（0，5，0），即可完成正四面体a的构建，同时代数区也会出现相应的点、线、面的相关信息。代数区可以通过点选“fx”工具确定图形信息，并以“定义”“数值”“定义与数值”“描述”等方式进行显示，为教学过程的解释提供了多种表达形式。使用指令也可以完成同样操作，即在指令栏中输入正四面体[（0，0，0），（0，5，0）]，按回车键即可，需要注意的是，指令的输入必须是英文状态下的符号。
3.在代数区中右击正四面体的各面，如faceABD，可以在弹出的菜单“设置”项中对该面的常规、颜色、样式及动态颜色等进行设置，以便学生区分与观察，用上述方法还可以构建正六面体、棱锥、球体等几何体。
立体图形特征的动态展示
Geogebra软件可以快捷地对立体几何图形进行拖拽、旋转以及展开，以便向学生动态地展示几何图形的三视图与形成过程。以六面体为例，学生可以对构建的正六面体进行拖拽旋转、放大缩小，从不同的视角去观察它，并对其进行展开，形成一个动态的立体几何的构建。
1.隐藏坐标轴构建正六面体（A，B，C）后，点击3D绘图区样式栏左侧第一项“显示/隐藏坐标轴”按钮（如图2），将坐标轴隐藏，以便学生更好地对图形进行观察。
2.六面体的旋转、放大/缩小。学生可以通过鼠标来拖拽旋转正六面体（A，B，C），也可以通过选择工具栏里“启动/停止旋转视图”按钮来完成对正六面体的旋转，同时通过设置按钮下方的滑动条数值来控制旋转方向与速度，通过选择工具栏里的“放大”按钮、“还原”按钮或者使用鼠标滚轮来改变正六面体的大小。
3.六面体的展开。选择“绘图区”工具栏里的“滑动条”工具，在绘图区空白区域单击，弹出滑动条对话框，由于多面体展开程度值的范围是从0到1，所以滑动条的最小值设为0，最大值设为1，增量默认为0.1。在指令栏中输入展开图[正六面体（A，B，C），c]，通过控制滑动条c，即可改变正六面体（A，B，C）的展开程度，反复完美地动态呈现正六面体的展开过程（如图3）。
辅助概念教学的理解
Geogebra软件可以动态、完整地呈现问题条件的构造过程以及对动点的跟踪过程，让学生从多角度观察，便于理解。
例如，球面a上的两点C、F从同一个点B出發，以相同的速度分别沿圆BFH、圆BCH运动一周，其中平面BFH垂直于平面BCH，且这两个平面的交线为a的直径BH，用Geogebra软件做出线段CF中点G的轨迹。
1.条件构建。选择工具栏里的球面工具，构造一个半径为4的球面a；然后在工具栏点击“描点”工具，在球面y轴上新建点B，选择“圆”工具，先后单击x轴线和点B新建“圆c”（即平面BCH），接着先后单击z轴线与点B新建“圆d”（即平面BFH），将两圆另一交点命名为H。
2.求解过程。在圆d上随意取一点C，选择角度工具，做出∠BAC=α；利用“垂线”工具，做出垂直于平面BFH的直线h，选取“旋转”工具，将B点绕直线h旋转α得到点F。利用“线段”工具连接线段CF，并使用“中心/中点”工具，做出其中点G。选中点G，单击右键选择跟踪，就可以通过拖动点C跟踪点G的轨迹，并观察到点G的轨迹是一个椭圆（如第66页图4）。
总之，数学来源于实践，是现实世界的客观反映。充分利用Geogebra能够使原本抽象的内容具体化、形象化，帮助学生理解复杂概念，形成直观印象，并全身心投入到探究活动中，真正成为学习的主人。