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摘 要：数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实生活事物的特征、数量关系和空间形式的一种结构。在课堂教学中，应注重让学生经历从生活实际问题中抽象出数学问题，开展操作探究活动，并进行解释体验应用数学模型的过程。在这个过程中逐步培养学生建构模型思想，发展学生的模型应用意识和创新意识，积累操作经验，提高学生解决问题的能力。
关键词： 模型思想;操作探究;创新意识
《数学课程标准》（2011年版）明确指出，数学模型思想的建构是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。模型思想的教学有利于学生初步形成模型思想，增强学生的应用意识和创新意识，从而激发学生学习数学的兴趣。在实际教学中，教师往往只注重知识的教授，而忽略了让学生操作探究使其内化为自己的认知经验，缺少在生活的基础上建构知识的模型。在教学实践中如何建构和求解模型思想？我们常常从生活实际或现实情境中抽象出数学问题，用数学语言或符号表示问题中的变化规律和数量关系，求解出结果并讨论结果的意义。下面我结合人教版五年级下《分数与除法》一课教学谈几点思考，以期抛砖引玉。
一、立足生活实际，丰富模型表象
在教学中教师立足生活实际，创设贴近学生“春游午餐分月饼”的问题情境，唤起学生已有的知识经验。接着，教师从分数的意义入手，利用“平均分饼”这个生活情境连接分数与除法的关系。主要表现在以下四个层次：1.立足生活，建立联系;探究1÷4=个，把除法算式与分数联系起来。课中教师让生把1个圆片当作1个饼平均分给4人，每人得到个饼， 让生知道个饼 ，为探究3个饼的做铺垫。2.实践操作，深入探究;探究3÷4=个的内含，从多种分饼方法中巩固和拓展分数的意义。3.观察概括，建构模型;得出“a÷b=，b≠0”的关系式，理清分数与除法联系与区别，明确分数可以表示两个整数相除的商。4.解释应用，内化知识;教师精心设计变式训练，巩固和加深了学生对分数意义的理解及分数与除法的联系与区别。使学生明白了分数与除法的可逆性，拓宽了学生对分数意义原有的认知。
片段一：创设情境，唤起生成。
师：今年去春游吃午餐时老师发现同学们都围坐在一起开心地分享美食，老师也请同学们吃饼。把1个饼平均分给4个人，每人分得多少个？怎么列式计算？（板书，同时课件演示）
生：把1个饼平均分成4份，取其中的一份，所以每人得到个饼。
师：她从分数的意义上给我们介绍了答案，应该是个。有没有其他想法？
生：1÷4=，每人分得个。
师：你想说可以用除法算式来表示。（板书：= ）
师：这个是多大的饼？同桌从信封中拿出一个圆片，我们就用它当做饼分一分，开始！
教师巡视剪的情况，让生上台展示个月饼。
师：假如现在我们不动手剪了，把1个饼平均分给3个人，每人分得多少个？如何列式计算？
生：1÷3=，每人分得个。
师：如果把1个饼平均分给6个人，每人分几个？
生：1÷6=，每人分得个。
师：观察刚才同学们举例的几个算式，两个数相除，我们一开始得到商是整数;后面当商得不到整数时可以用分数表示。是不是任意两个数相除都可以用分数表示呢？这节课我们就一起来探究“分数与除法”的关系。
教师引导学生观察生活分享美食，抽象出数学模型，又通过复习分数的意义引出分数与除法的关系，这样设计既反映了教材间的内在联系，又遵循了学生的认知规律。不但使学生初步认识到了分数与除法形式上的关系，而且为后面使学生对分数作为商的意义的理解和建构模型埋下伏笔。
二、开展操作探究，体验建模过程
抽象、推理、模型是数学最基本的数学思想。在课堂教学中，教师注重引导学生经历观察猜测、动手操作、抽象概括、创新应用等思维过程，发展学生的操作探究能力，渗透了模型思想。在巩固分数与除法关系理解的过程中，教师引导学生通过动手分饼，除法算式得出分数到归纳概括这么一个过程，发展学生的抽象、推理思想，体验建模的过程。
片段二： 动手操作，尝试探究。
师：把3个饼平均分给4个人每人分得多少个饼？谁知道怎么列式？
生：3÷4
师：3÷4=多少？
有生说、、等
师：究竟每人分得几个饼？我们把3个圆片当作3个饼，小组动手操作看看。
师巡视指导分饼，实践操作后，请生上台展示分饼。
生1：我们是一个饼一个饼的分，把第1个饼平均分成4份，每人得到块饼，把第2个和第3个饼也平均分成4份，这样每人共得到3个块饼，拼起来看就是1个饼的。
师：这个同学很有意思，是把每个饼都平均分成4份，你们还有不同的分法吗？
生2：我们把3个饼叠在一起看成一个整体，平均分成4份，取出一份是3个饼的，展开来看有3个块饼拼起来也就是1个饼的。
教学中，当学生发现对“平均分3个饼给4个人”有不同分法产生争议时，教师适时引导学生通过操作剪拼、直观演示，使学生对分数与除法的关系模型有了更清晰的理解。教师为了使学生了解这两种分饼方法，精心制作了微课展示了“3个饼平均分给4个人”2种方法的真实操作过程。突破了“3个饼的=1个饼的”这个模型思想难点，使学生理解得更加清晰直观。
三、回归生活实践，创新模型应用
数学模型思想非常注重如何经过观察抽象建构數学模型，更加注重数学模型的应用和创新。培养学生的应用意识和创新意识是数学课堂教学的重要任务和目标。在教学中，教师一方面引导学生通过直观模型，操作观察，合作探究，自主创造等活动，发展学生观察归纳、抽象概括和创新应用的能力。另一方面，教师通过创设情境问题激发学生思维，引发认知冲突，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。特别是在第三个教学层次中，开放式贴近学生实际“平均分饼”问题的设计，给学生创造了提出问题的思考空间，特别注重发展学生分创新意识，润物细无声地培养了模型思想，为下面观察发现分数与除法的关系模型做铺垫。
片段三：合作学习，自主创造。
师：3÷4的问题解决了，你还想分东西吗？你想把几个（ ）平均分给多少个人？
生1：我想把6个饼平均分给7个人。
师：可以，需要的话可拿出剩下的圆片来操作一下;假如不需要圆片直接思考也可以。小组内商量是要“把（ ）个（ ）平均分给（ ）人，每人分得（ ）个”。
教师巡视，并指导分饼和列式。
生1：我们把6个饼平均分给7个人，我们把6个饼重叠在一起，然后平均分成7份，每人得到个饼。
师：先说6个饼的是多少？怎么列式？
生1：个，6÷7=
师：他们组是研究分6个饼，你们有没有不同的？
生2：把2个蛋糕平均分给5个人，列式：2÷5=（个）。
生3：把5个苹果平均分给4个人，列式：5÷4=（个）……
上述的过程，实际上就是一个抽象数学模型、用数学模型解决生活实际问题的过程。学生学会自己发现和提出问题是创新的基础;新课标指出，创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应该体现在数学教育学的过程之中。
《分数与除法》一课给我带来进一步的思考。把握教材、研究学情，立足生活实际是数学模型教学的基础。在教学过程中，要让学生动手操作探究，让学生体验自己运用数学模型的完整过程。要深入挖掘教材背后蕴含的模型思想方法，设计适合学生发展的问题，培养创新意识，更好地促进学生全面和谐持续的发展。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.《义务教育数学课程标准》[M].北京师范大学出版，2011.
[2] 林碧珍.《数学思维养成课——小学数学这样教》[J].福建教育出版社，2013.10
[3] 余文森.《核心素养导学的课堂教学》[J].上海教育出版社，2017.11
[4] 张奠宙，巩子坤，任敏龙，张园，殷文娣.《小学数学教材中的大道理——核心素养的理解与呈现》[J].上海教育出版社，2018.3
关键词： 模型思想;操作探究;创新意识
《数学课程标准》（2011年版）明确指出，数学模型思想的建构是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。模型思想的教学有利于学生初步形成模型思想，增强学生的应用意识和创新意识，从而激发学生学习数学的兴趣。在实际教学中，教师往往只注重知识的教授，而忽略了让学生操作探究使其内化为自己的认知经验，缺少在生活的基础上建构知识的模型。在教学实践中如何建构和求解模型思想？我们常常从生活实际或现实情境中抽象出数学问题，用数学语言或符号表示问题中的变化规律和数量关系，求解出结果并讨论结果的意义。下面我结合人教版五年级下《分数与除法》一课教学谈几点思考，以期抛砖引玉。
一、立足生活实际，丰富模型表象
在教学中教师立足生活实际，创设贴近学生“春游午餐分月饼”的问题情境，唤起学生已有的知识经验。接着，教师从分数的意义入手，利用“平均分饼”这个生活情境连接分数与除法的关系。主要表现在以下四个层次：1.立足生活，建立联系;探究1÷4=个，把除法算式与分数联系起来。课中教师让生把1个圆片当作1个饼平均分给4人，每人得到个饼， 让生知道个饼 ，为探究3个饼的做铺垫。2.实践操作，深入探究;探究3÷4=个的内含，从多种分饼方法中巩固和拓展分数的意义。3.观察概括，建构模型;得出“a÷b=，b≠0”的关系式，理清分数与除法联系与区别，明确分数可以表示两个整数相除的商。4.解释应用，内化知识;教师精心设计变式训练，巩固和加深了学生对分数意义的理解及分数与除法的联系与区别。使学生明白了分数与除法的可逆性，拓宽了学生对分数意义原有的认知。
片段一：创设情境，唤起生成。
师：今年去春游吃午餐时老师发现同学们都围坐在一起开心地分享美食，老师也请同学们吃饼。把1个饼平均分给4个人，每人分得多少个？怎么列式计算？（板书，同时课件演示）
生：把1个饼平均分成4份，取其中的一份，所以每人得到个饼。
师：她从分数的意义上给我们介绍了答案，应该是个。有没有其他想法？
生：1÷4=，每人分得个。
师：你想说可以用除法算式来表示。（板书：= ）
师：这个是多大的饼？同桌从信封中拿出一个圆片，我们就用它当做饼分一分，开始！
教师巡视剪的情况，让生上台展示个月饼。
师：假如现在我们不动手剪了，把1个饼平均分给3个人，每人分得多少个？如何列式计算？
生：1÷3=，每人分得个。
师：如果把1个饼平均分给6个人，每人分几个？
生：1÷6=，每人分得个。
师：观察刚才同学们举例的几个算式，两个数相除，我们一开始得到商是整数;后面当商得不到整数时可以用分数表示。是不是任意两个数相除都可以用分数表示呢？这节课我们就一起来探究“分数与除法”的关系。
教师引导学生观察生活分享美食，抽象出数学模型，又通过复习分数的意义引出分数与除法的关系，这样设计既反映了教材间的内在联系，又遵循了学生的认知规律。不但使学生初步认识到了分数与除法形式上的关系，而且为后面使学生对分数作为商的意义的理解和建构模型埋下伏笔。
二、开展操作探究，体验建模过程
抽象、推理、模型是数学最基本的数学思想。在课堂教学中，教师注重引导学生经历观察猜测、动手操作、抽象概括、创新应用等思维过程，发展学生的操作探究能力，渗透了模型思想。在巩固分数与除法关系理解的过程中，教师引导学生通过动手分饼，除法算式得出分数到归纳概括这么一个过程，发展学生的抽象、推理思想，体验建模的过程。
片段二： 动手操作，尝试探究。
师：把3个饼平均分给4个人每人分得多少个饼？谁知道怎么列式？
生：3÷4
师：3÷4=多少？
有生说、、等
师：究竟每人分得几个饼？我们把3个圆片当作3个饼，小组动手操作看看。
师巡视指导分饼，实践操作后，请生上台展示分饼。
生1：我们是一个饼一个饼的分，把第1个饼平均分成4份，每人得到块饼，把第2个和第3个饼也平均分成4份，这样每人共得到3个块饼，拼起来看就是1个饼的。
师：这个同学很有意思，是把每个饼都平均分成4份，你们还有不同的分法吗？
生2：我们把3个饼叠在一起看成一个整体，平均分成4份，取出一份是3个饼的，展开来看有3个块饼拼起来也就是1个饼的。
教学中，当学生发现对“平均分3个饼给4个人”有不同分法产生争议时，教师适时引导学生通过操作剪拼、直观演示，使学生对分数与除法的关系模型有了更清晰的理解。教师为了使学生了解这两种分饼方法，精心制作了微课展示了“3个饼平均分给4个人”2种方法的真实操作过程。突破了“3个饼的=1个饼的”这个模型思想难点，使学生理解得更加清晰直观。
三、回归生活实践，创新模型应用
数学模型思想非常注重如何经过观察抽象建构數学模型，更加注重数学模型的应用和创新。培养学生的应用意识和创新意识是数学课堂教学的重要任务和目标。在教学中，教师一方面引导学生通过直观模型，操作观察，合作探究，自主创造等活动，发展学生观察归纳、抽象概括和创新应用的能力。另一方面，教师通过创设情境问题激发学生思维，引发认知冲突，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。特别是在第三个教学层次中，开放式贴近学生实际“平均分饼”问题的设计，给学生创造了提出问题的思考空间，特别注重发展学生分创新意识，润物细无声地培养了模型思想，为下面观察发现分数与除法的关系模型做铺垫。
片段三：合作学习，自主创造。
师：3÷4的问题解决了，你还想分东西吗？你想把几个（ ）平均分给多少个人？
生1：我想把6个饼平均分给7个人。
师：可以，需要的话可拿出剩下的圆片来操作一下;假如不需要圆片直接思考也可以。小组内商量是要“把（ ）个（ ）平均分给（ ）人，每人分得（ ）个”。
教师巡视，并指导分饼和列式。
生1：我们把6个饼平均分给7个人，我们把6个饼重叠在一起，然后平均分成7份，每人得到个饼。
师：先说6个饼的是多少？怎么列式？
生1：个，6÷7=
师：他们组是研究分6个饼，你们有没有不同的？
生2：把2个蛋糕平均分给5个人，列式：2÷5=（个）。
生3：把5个苹果平均分给4个人，列式：5÷4=（个）……
上述的过程，实际上就是一个抽象数学模型、用数学模型解决生活实际问题的过程。学生学会自己发现和提出问题是创新的基础;新课标指出，创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应该体现在数学教育学的过程之中。
《分数与除法》一课给我带来进一步的思考。把握教材、研究学情，立足生活实际是数学模型教学的基础。在教学过程中，要让学生动手操作探究，让学生体验自己运用数学模型的完整过程。要深入挖掘教材背后蕴含的模型思想方法，设计适合学生发展的问题，培养创新意识，更好地促进学生全面和谐持续的发展。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.《义务教育数学课程标准》[M].北京师范大学出版，2011.
[2] 林碧珍.《数学思维养成课——小学数学这样教》[J].福建教育出版社，2013.10
[3] 余文森.《核心素养导学的课堂教学》[J].上海教育出版社，2017.11
[4] 张奠宙，巩子坤，任敏龙，张园，殷文娣.《小学数学教材中的大道理——核心素养的理解与呈现》[J].上海教育出版社，2018.3