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摘要:本文将核密度估计技术与Copula模型相结合,建立了投资组合分析的Copula—Kernel模型,对我国股票市场实际的组合投资问题进行了实证风险分析,分别计算了VaR和CVaR的值,并进行了比较,取得了满意的效果。
关键词:CVaR Copula 核估计 非对称Laplace分布
CVaR Analysis of Investment Portfolio Based on model of Copula-Kernel
Cheng Jinjing Liu Qiongsun
Abstract:In this paper,Copula is combined with kernel density estimation,and a Copula-Kernel model is built to analyze the risk measure of portfolio investment in Chinese stock market.Then a satisfactory result is given after VaR and CVaR are calculated and compared by this model.
Keywords:CVaR Copula Kernel estimation Asymmetric Laplace distribution
【中图分类号】F830.591【文献标识码】C 【文章编号】1009-9646(2009)05-0118-03
1.引言
金融市场的全球化和金融产品的多样化使得金融机构所面临的风险日益复杂,如何有效地测定和控制这些市场风险便成为金融证券机构、投资者和有关监管层所面临的亟待解决的问题。VaR是用来度量金融风险的一种技术方法,但VaR不满足次可加性和凸性等一致性风险度量,与风险分散的市场现象相违背。为此,Rockfall首次提出了CVaR定义[1],它能更好的将投资组合的风险与收益直接联系起来。Copula是一种把联合分布和边缘分布连接起来的函数,它可用来描述多个随机变量间的相依结构[2~5]。在金融风险分析中,如何度量单个资产分布及资产之间的相关结构是风险管理的重要内容。Monica Billio提出了MSRM模型度量投资组合风险问题,并与GARCH(1,1)模型进行比较[6]。Chew&Lilian总结了计算VaR值的参数方法、历史模拟方法和蒙特卡洛方法[7]。Rflung从定义、性质及计算方面对VaR和CVaR之间进行了比较[8],吴振翔等将Copula理论结合t-GARCH模型研究股票投资问题[9]。本研究采用非参数核密度估计来刻画单个金融资产的边缘分布,用Copula函数描述多个资产间的相关结构,构建了Copula-Kernel模型,针对我国股票市场的投资组合问题,借助蒙特卡洛仿真技术[10~11]计算了组合投资的VaR和CVaR值,并加以比较,取得了令人满意的效果。
VaR与CVaR的定义
设f(ω,x):Rn×Rn→R为投资组合的损失函数,ω∈Rn为权重,x∈Rn为引起组合价值发生损失的市场因子,α为置信水平。设p(x)为向量x的密度函数,则对任意的阈值k∈R,预期损失的分布函数为,ψ(ω,k)=∫p(x)dx,则
VaRα=min{k∈R:ψ(ω,k)≥α} (1)
CVaRα=E[f(ω,x)|f(ω,x)≥VaRα]=(1-α)-1
∫f(ω,x)≥VaRαf(ω,x)p(x)dx(2)
实际上,VaR是单一随机变量分布的分位点[12],而CVaR是一个条件期望,CVaR的定义是指在一定的置信水平下,资产或资产组合的损失超过VaR的条件均值。CVaR反映了损失超过VaR阈值时可能遭受的平均潜在损失。它可以更好地体现出潜在的风险价值,尤其是在损失分布非正态分布的情况下,CVaR比VaR更能全面有效地刻画损失分布的数理特征,被认为是比VaR风险计量技术更为合理有效的一种现代风险管理方法。CVaR满足次可加性和凸性[13],符合一致性风险度量的条件。
对于CVaR的计算,关键在于单一资产的收益率(边缘)分布的模拟,模拟的边缘分布越准确,选择的Copula函数越恰当,得到的CVaR值越接近实际情况。
2.Copula-Kernel模型
2.1 核密度估计。
针对金融数据多呈现尖峰、厚尾、有偏的特性,本文主要采用核密度估计单一资产收益率的分布,即确定单变量的边缘分布。
定义:设X1,X2…,Xn为取自总体X的一个简单随机样本,K(x)为定义在(-∞,+∞)的一个Borel可测函数,选取与样本有关的适当的常数hn>0,则定义核密度估计为f^(x)=1nhn∑ni=1K(x-xihn),(3)
定义核分布估计为(x)=∫x-∞f^(x)dx=∫x-∞1nhn∑ni=1K(x-xihn)dx,(4)
其中n指样本个数,K(x)称为核函数,hn指窗宽,要求当n→+∞时,hn→0,nhn→+∞,一般选取hn=cn-0.2,c为与样本标准差σ有关的常数。一般的操作是先选定核函数,再确定窗宽。常见的核函数有Epanechnikov核、Bisquare核、高斯核[14]。本文选取非对称laplace核函数[15]:
f(x)=kσexp{-(11-pI[x>μ]+1pI[x<μ])kσ|x-μ|}(5)
其中,μ是位置参数,σ是样本标准差,p是形状参数,介于0到1之间,它控制着密度函数f(x)的峰度和偏度,k=p2+(1-p)2。当p<0.5时,密度函数呈右偏,即偏度为正,当p>0.5时,偏度为负,p=0.5时,即为标准的laplace分布。
将(5)式代入(3)式,并根据核函数的性质,构造核密度为
f^(x)=knσhn∑ni=1exp{-(11-pI[x>xi]+1pI[x 不妨令fi(x)=kσhnexp
{-(11-pI[x>xi]+1pI[x kσ|x-xihn|},计算得
Fi(x)=∫x-∞fi(x)dx
=pexp[kpσ(x-xihn)]…………x≤xi
1-(1-p)exp[-k(1-p)σ(x-xihn)]…………x>xi
(x)=∫x-∞f^(x)dx=1n∑ni=1Fi(x)(7)
一般采用核密度估计的分布(x)具有良好的性质,比如逐点渐进无偏性、均方相合性、强相合性[16]。
计算核密度f^(x)和核分布(x)的步骤:
Step 1 输入一组样本观测值{x1,x2……,xn},对参数σ,p进行估计;
Step 2 确定窗宽hn,令hn=cn-0.2,由(6)式得到核密度估计f^(x);
Step 3 由(7)式计算核分布估计(x),或由给定的概率值p,令(xp)=p可反解出xp。
针对金融数据的尖峰厚尾性,选择非对称laplace核函数估计单只股票的收益率分布使得拟合度较高。模拟出边缘分布后,再利用连接函数Copula来刻画资产间的相依关系和模式。
2.2 Copula函数。
定义:称n个服从均匀分布U(0,1)的随机变量U1,U2,…Un,若存在一个n元函数C(•):[0,1]n→[0,1],满足C(u1,u2,…,un)=P[U1≤u1,U2≤u2,…,Un≤Un]。称这个函数C(•)为Copula函数。
Sklar定理:设随机变量X1,…,Xn的边际分布函数为F1(x1),…Fn(xn),联合分布为F(x1,…,xn),则有n元Copula函数C(•),使得对于所有x=(x1,…,xn)∈Rn,有F(x)=C(F1(x1),…,Fn(xn))。
Sklar定理指出可以将一个联合分布分解为它的n个边缘分布和一个copula函数,其中copula函数描述变量间的相依结构。随着计算机技术、信息技术的迅猛发展并日趋完善,copula理论在90年代后期得以迅速发展并运用到金融领域,copula理论已经在金融领域有着广泛的应用,其特点在于不仅可以有效地描述随机变量之间的相关程度,并且能够反映它们之间的相关模式,对于它们的联合分布函数有一个描述。
目前使用的copula函数主要有三大类:多变量高斯copula、多变量t-copula和阿基米德copula,其中阿基米德copula函数应用最广泛,它可以使我们把对多元copula函数的研究简化为单一变量函数的研究。本文选择阿基米德copula函数中光滑性较好的二元Clayton Copula函数:C(u1,u2)=(u1-θ+u2-θ-1)-1/θ。
2.3 Copula参数估计。
由于Clayton Copula函数中含有参数θ,本文采用非参数方法[17~18],即用两个资产样本的Kendall秩相关系数计算。
τ=1n(n-1)∑1≤i≤j≤nsign(xi-xj)(yi-yj)(8)
令τ=θθ+2,解出θ=2τ1-τ。
3.实证分析
3.1 样本的选取与边缘分布拟合。
为了便于计算,本文仅选取了两只股票:上海医药和中国石化,价格定为每日收盘价Pt,样本选取时间为2007年1月4日~2007年9月20日,将数据转化为对数收益率rt=logPt-logPt-1,数据来自国泰君安网。另外,为了准确刻画这两只股票间的相关性,对于交易日t时刻,经过预处理后,得到149组收益率{r1t},{r2t}(t=1,2,…,149)。计算过程用spss和matlab软件实现。
计算步骤:
Step 1 设两只股票的样本分别为{r1t,t=1,2,…,149},{r2t,t=1,2,…,149},计算描述性统计如表1。
表1 描述性统计
最小值最大值均值标准差skewnesskurtosis
中国石化-0.10560.09550.00250.0341-0.34064.1279
上海医药-0.19380.09590.00490.0451-0.19385.0644
由两只股票的基本数据知,峰度值(kurtosis)均高于正态分布的峰值3,偏度(skewness)呈现负数,说明两只股票有不同程度的左偏,采用非对称laplace核函数估计两只收益率分布是适宜的;
Step 2 选取窗宽hn=0.8σn-0.2,其中
σ=1n-1∑ni=1(xi-x)2,n=149,计算出中国石化的hn=0.0102,上海医药的hn=0.0132;对式(2.3)中的偏度值p确定为0.55(模拟得到)。
Step 3 将样本序列和参数代入公式(7)得到边缘分布函数值序列{u1t,t=1,2,…,149},{u2,t=1,2,…,149};
Step 4 为检验拟合效果,分别计算并画出两只股票的核分布估计的p-p图,并与正态分布的p-p图加以比较,如下面图1和图2。
显然两只股票的核分布估计的p-p图都非常逼近直线,其拟合度较高,而正态分布的p-p图形显示拟合精度有一定的误差。由此说明用核分布去估计单一边缘分布能很好地体现金融数据的特性。
3.2 基于Copula函数的Monte Carlo模拟VaR和CVaR值的步骤。
Step 1 利用非参数估计法,由收益率序列{r1t},{r2t}代入式(2.1),计算τ值,从而得出Clayton Copula函数的参数值=2.347826;
Step 2 生成两个独立的均匀随机数u和t;令t=C(u,v)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ,解出
v=(t-θ-u-θ+1)-1θ。
Step 3 由步骤2得到的(u,v),
令u=1(1)=1149∑149t=1K(1-thn1),v=2(2)=1149∑149t=1K(2-thn2),可反解出将来某时刻的收益率1、2。
Step 4 将模拟出来的收益率以相等权重组合,生成组合收益率=0.51+0.52。
Step 5 重复步骤2,3,4,模拟10000次,产生一个列向量{rt,t=1,2,…,10000},由此确定rt的经验分布函数F10000(r),由式(1)和(2)可计算不同置信水平α下的VaR值和CVaR值如下表2:
表2 Copula-Kernel模型的VaR与CVaR值
αVaRCVaR
0.10.042530.13059
0.050.06333 0.13985
0.025 0.09238 0.14650
0.020.095630.14873
0.010.105720.15794
由表1可知中国石化和上海医药的收益率均不高,波动也不大,主要是这两只股票在考察期间内价格呈现比较稳定的状态。而两只股票的核分布估计的p-p图显示了用核估计能更好的模拟单只股票的收益率分布。另外,由表2中数据显示在同一置信水平下,CVaR值均大于VaR值。例如,当α=0.1,VaR=0.04253,CVaR=0.13059时,反映了两只股票的相等权重投资组合有90%的把握保证t时刻由于市场价格变动而带来的损失不会超过0.04253,同时有90%的把握保证当超过VaR时由此产生的平均损失为0.13059。这就为投资者衡量风险提供了更加确切的依据。
4.结论
VaR和CVaR均为风险度量的重要工具,前者相当于给出了一个阈值,也就是对于极端事件引起的风险中投资者可以忍受的损失值,而后者则将这种极端事件量化,用直观的数字说明了极端损失的平均值。因此CVaR能够对风险的预测管理起到更加积极的作用。而在求解CVaR值的量化过程中,边缘分布的模拟至关重要。本文采用核函数估计边缘分布的思想,构建了Copula-Kernel模型,该模型容易应用于多个资产组合的风险度量中,对风险管理具有一定的借鉴作用。
参考文献
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[9] 吴振翔、陈敏、叶五一、繆柏其.基于Copula-GARCH的投资组合风险分析。系统工程理论与实践,2006,26(3):45~52
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关键词:CVaR Copula 核估计 非对称Laplace分布
CVaR Analysis of Investment Portfolio Based on model of Copula-Kernel
Cheng Jinjing Liu Qiongsun
Abstract:In this paper,Copula is combined with kernel density estimation,and a Copula-Kernel model is built to analyze the risk measure of portfolio investment in Chinese stock market.Then a satisfactory result is given after VaR and CVaR are calculated and compared by this model.
Keywords:CVaR Copula Kernel estimation Asymmetric Laplace distribution
【中图分类号】F830.591【文献标识码】C 【文章编号】1009-9646(2009)05-0118-03
1.引言
金融市场的全球化和金融产品的多样化使得金融机构所面临的风险日益复杂,如何有效地测定和控制这些市场风险便成为金融证券机构、投资者和有关监管层所面临的亟待解决的问题。VaR是用来度量金融风险的一种技术方法,但VaR不满足次可加性和凸性等一致性风险度量,与风险分散的市场现象相违背。为此,Rockfall首次提出了CVaR定义[1],它能更好的将投资组合的风险与收益直接联系起来。Copula是一种把联合分布和边缘分布连接起来的函数,它可用来描述多个随机变量间的相依结构[2~5]。在金融风险分析中,如何度量单个资产分布及资产之间的相关结构是风险管理的重要内容。Monica Billio提出了MSRM模型度量投资组合风险问题,并与GARCH(1,1)模型进行比较[6]。Chew&Lilian总结了计算VaR值的参数方法、历史模拟方法和蒙特卡洛方法[7]。Rflung从定义、性质及计算方面对VaR和CVaR之间进行了比较[8],吴振翔等将Copula理论结合t-GARCH模型研究股票投资问题[9]。本研究采用非参数核密度估计来刻画单个金融资产的边缘分布,用Copula函数描述多个资产间的相关结构,构建了Copula-Kernel模型,针对我国股票市场的投资组合问题,借助蒙特卡洛仿真技术[10~11]计算了组合投资的VaR和CVaR值,并加以比较,取得了令人满意的效果。
VaR与CVaR的定义
设f(ω,x):Rn×Rn→R为投资组合的损失函数,ω∈Rn为权重,x∈Rn为引起组合价值发生损失的市场因子,α为置信水平。设p(x)为向量x的密度函数,则对任意的阈值k∈R,预期损失的分布函数为,ψ(ω,k)=∫p(x)dx,则
VaRα=min{k∈R:ψ(ω,k)≥α} (1)
CVaRα=E[f(ω,x)|f(ω,x)≥VaRα]=(1-α)-1
∫f(ω,x)≥VaRαf(ω,x)p(x)dx(2)
实际上,VaR是单一随机变量分布的分位点[12],而CVaR是一个条件期望,CVaR的定义是指在一定的置信水平下,资产或资产组合的损失超过VaR的条件均值。CVaR反映了损失超过VaR阈值时可能遭受的平均潜在损失。它可以更好地体现出潜在的风险价值,尤其是在损失分布非正态分布的情况下,CVaR比VaR更能全面有效地刻画损失分布的数理特征,被认为是比VaR风险计量技术更为合理有效的一种现代风险管理方法。CVaR满足次可加性和凸性[13],符合一致性风险度量的条件。
对于CVaR的计算,关键在于单一资产的收益率(边缘)分布的模拟,模拟的边缘分布越准确,选择的Copula函数越恰当,得到的CVaR值越接近实际情况。
2.Copula-Kernel模型
2.1 核密度估计。
针对金融数据多呈现尖峰、厚尾、有偏的特性,本文主要采用核密度估计单一资产收益率的分布,即确定单变量的边缘分布。
定义:设X1,X2…,Xn为取自总体X的一个简单随机样本,K(x)为定义在(-∞,+∞)的一个Borel可测函数,选取与样本有关的适当的常数hn>0,则定义核密度估计为f^(x)=1nhn∑ni=1K(x-xihn),(3)
定义核分布估计为(x)=∫x-∞f^(x)dx=∫x-∞1nhn∑ni=1K(x-xihn)dx,(4)
其中n指样本个数,K(x)称为核函数,hn指窗宽,要求当n→+∞时,hn→0,nhn→+∞,一般选取hn=cn-0.2,c为与样本标准差σ有关的常数。一般的操作是先选定核函数,再确定窗宽。常见的核函数有Epanechnikov核、Bisquare核、高斯核[14]。本文选取非对称laplace核函数[15]:
f(x)=kσexp{-(11-pI[x>μ]+1pI[x<μ])kσ|x-μ|}(5)
其中,μ是位置参数,σ是样本标准差,p是形状参数,介于0到1之间,它控制着密度函数f(x)的峰度和偏度,k=p2+(1-p)2。当p<0.5时,密度函数呈右偏,即偏度为正,当p>0.5时,偏度为负,p=0.5时,即为标准的laplace分布。
将(5)式代入(3)式,并根据核函数的性质,构造核密度为
f^(x)=knσhn∑ni=1exp{-(11-pI[x>xi]+1pI[x
{-(11-pI[x>xi]+1pI[x
Fi(x)=∫x-∞fi(x)dx
=pexp[kpσ(x-xihn)]…………x≤xi
1-(1-p)exp[-k(1-p)σ(x-xihn)]…………x>xi
(x)=∫x-∞f^(x)dx=1n∑ni=1Fi(x)(7)
一般采用核密度估计的分布(x)具有良好的性质,比如逐点渐进无偏性、均方相合性、强相合性[16]。
计算核密度f^(x)和核分布(x)的步骤:
Step 1 输入一组样本观测值{x1,x2……,xn},对参数σ,p进行估计;
Step 2 确定窗宽hn,令hn=cn-0.2,由(6)式得到核密度估计f^(x);
Step 3 由(7)式计算核分布估计(x),或由给定的概率值p,令(xp)=p可反解出xp。
针对金融数据的尖峰厚尾性,选择非对称laplace核函数估计单只股票的收益率分布使得拟合度较高。模拟出边缘分布后,再利用连接函数Copula来刻画资产间的相依关系和模式。
2.2 Copula函数。
定义:称n个服从均匀分布U(0,1)的随机变量U1,U2,…Un,若存在一个n元函数C(•):[0,1]n→[0,1],满足C(u1,u2,…,un)=P[U1≤u1,U2≤u2,…,Un≤Un]。称这个函数C(•)为Copula函数。
Sklar定理:设随机变量X1,…,Xn的边际分布函数为F1(x1),…Fn(xn),联合分布为F(x1,…,xn),则有n元Copula函数C(•),使得对于所有x=(x1,…,xn)∈Rn,有F(x)=C(F1(x1),…,Fn(xn))。
Sklar定理指出可以将一个联合分布分解为它的n个边缘分布和一个copula函数,其中copula函数描述变量间的相依结构。随着计算机技术、信息技术的迅猛发展并日趋完善,copula理论在90年代后期得以迅速发展并运用到金融领域,copula理论已经在金融领域有着广泛的应用,其特点在于不仅可以有效地描述随机变量之间的相关程度,并且能够反映它们之间的相关模式,对于它们的联合分布函数有一个描述。
目前使用的copula函数主要有三大类:多变量高斯copula、多变量t-copula和阿基米德copula,其中阿基米德copula函数应用最广泛,它可以使我们把对多元copula函数的研究简化为单一变量函数的研究。本文选择阿基米德copula函数中光滑性较好的二元Clayton Copula函数:C(u1,u2)=(u1-θ+u2-θ-1)-1/θ。
2.3 Copula参数估计。
由于Clayton Copula函数中含有参数θ,本文采用非参数方法[17~18],即用两个资产样本的Kendall秩相关系数计算。
τ=1n(n-1)∑1≤i≤j≤nsign(xi-xj)(yi-yj)(8)
令τ=θθ+2,解出θ=2τ1-τ。
3.实证分析
3.1 样本的选取与边缘分布拟合。
为了便于计算,本文仅选取了两只股票:上海医药和中国石化,价格定为每日收盘价Pt,样本选取时间为2007年1月4日~2007年9月20日,将数据转化为对数收益率rt=logPt-logPt-1,数据来自国泰君安网。另外,为了准确刻画这两只股票间的相关性,对于交易日t时刻,经过预处理后,得到149组收益率{r1t},{r2t}(t=1,2,…,149)。计算过程用spss和matlab软件实现。
计算步骤:
Step 1 设两只股票的样本分别为{r1t,t=1,2,…,149},{r2t,t=1,2,…,149},计算描述性统计如表1。
表1 描述性统计
最小值最大值均值标准差skewnesskurtosis
中国石化-0.10560.09550.00250.0341-0.34064.1279
上海医药-0.19380.09590.00490.0451-0.19385.0644
由两只股票的基本数据知,峰度值(kurtosis)均高于正态分布的峰值3,偏度(skewness)呈现负数,说明两只股票有不同程度的左偏,采用非对称laplace核函数估计两只收益率分布是适宜的;
Step 2 选取窗宽hn=0.8σn-0.2,其中
σ=1n-1∑ni=1(xi-x)2,n=149,计算出中国石化的hn=0.0102,上海医药的hn=0.0132;对式(2.3)中的偏度值p确定为0.55(模拟得到)。
Step 3 将样本序列和参数代入公式(7)得到边缘分布函数值序列{u1t,t=1,2,…,149},{u2,t=1,2,…,149};
Step 4 为检验拟合效果,分别计算并画出两只股票的核分布估计的p-p图,并与正态分布的p-p图加以比较,如下面图1和图2。
显然两只股票的核分布估计的p-p图都非常逼近直线,其拟合度较高,而正态分布的p-p图形显示拟合精度有一定的误差。由此说明用核分布去估计单一边缘分布能很好地体现金融数据的特性。
3.2 基于Copula函数的Monte Carlo模拟VaR和CVaR值的步骤。
Step 1 利用非参数估计法,由收益率序列{r1t},{r2t}代入式(2.1),计算τ值,从而得出Clayton Copula函数的参数值=2.347826;
Step 2 生成两个独立的均匀随机数u和t;令t=C(u,v)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ,解出
v=(t-θ-u-θ+1)-1θ。
Step 3 由步骤2得到的(u,v),
令u=1(1)=1149∑149t=1K(1-thn1),v=2(2)=1149∑149t=1K(2-thn2),可反解出将来某时刻的收益率1、2。
Step 4 将模拟出来的收益率以相等权重组合,生成组合收益率=0.51+0.52。
Step 5 重复步骤2,3,4,模拟10000次,产生一个列向量{rt,t=1,2,…,10000},由此确定rt的经验分布函数F10000(r),由式(1)和(2)可计算不同置信水平α下的VaR值和CVaR值如下表2:
表2 Copula-Kernel模型的VaR与CVaR值
αVaRCVaR
0.10.042530.13059
0.050.06333 0.13985
0.025 0.09238 0.14650
0.020.095630.14873
0.010.105720.15794
由表1可知中国石化和上海医药的收益率均不高,波动也不大,主要是这两只股票在考察期间内价格呈现比较稳定的状态。而两只股票的核分布估计的p-p图显示了用核估计能更好的模拟单只股票的收益率分布。另外,由表2中数据显示在同一置信水平下,CVaR值均大于VaR值。例如,当α=0.1,VaR=0.04253,CVaR=0.13059时,反映了两只股票的相等权重投资组合有90%的把握保证t时刻由于市场价格变动而带来的损失不会超过0.04253,同时有90%的把握保证当超过VaR时由此产生的平均损失为0.13059。这就为投资者衡量风险提供了更加确切的依据。
4.结论
VaR和CVaR均为风险度量的重要工具,前者相当于给出了一个阈值,也就是对于极端事件引起的风险中投资者可以忍受的损失值,而后者则将这种极端事件量化,用直观的数字说明了极端损失的平均值。因此CVaR能够对风险的预测管理起到更加积极的作用。而在求解CVaR值的量化过程中,边缘分布的模拟至关重要。本文采用核函数估计边缘分布的思想,构建了Copula-Kernel模型,该模型容易应用于多个资产组合的风险度量中,对风险管理具有一定的借鉴作用。
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