在初中的数学竞赛中，常见一类关于代数式求和的问题，求解此类问题时，常常需要一定的技巧方法，哪些方法最为常见呢？一般地，主要有两种方法：倒序求和法与裂项相消法，下面我们用几个例题与大家一起探讨学习这两种求和方法.
　　１. 倒序求和法
　　如果所求和式具有到首尾距离相等的两项之和有其共性，那么常可考虑选用倒序求和的方法. 解题时应该先观察式子的结构特征，寻找式子部分结构所具有的共同点，一般情况下我们要研究式子的通项公式，由通项公式的性质确定解题方法.
　　例１ 计算： ++ … ++ … + .
　　分析 首先观察式子的结构，研究式子的通项，进而根据通项的特征选择适用的求和方法.
　　解 ∵+== 2，即到中间距离相等的两项之和为２，共有４９．５组，∴原式 = 49.5 × 2 = 99.
　　例２ 已知ｆ（ｘ） = ，求下式的值：ｆ（） + ｆ（） ＋ … ＋ ｆ（） ＋ ｆ（１） ＋ ｆ（０） ＋ ｆ（１） ＋ ｆ（２） ＋ … ＋ ｆ（２０１０） ＋ ｆ（２０１１）
　　分析 式子的结构有到中间距离相等的项的自变量互为倒数，考虑研究ｆ（） + ｆ（ｘ）的值.
　　解 ∵ ｆ（） + ｆ（ｘ） =+= 1，即到中间距离相等的两项之和为１，共有２０１１．５组，∴原式 = 2011.5 × 1 = 2011.5 .
　　例３ 已知ｆ（ｘ） ＋ ｆ（１ － ｘ） = 2，求下式的值：ｆ（２０１０） ＋ ｆ（２００９） ＋ … ＋ ｆ（２） ＋ ｆ（１） ＋ ｆ（０） ＋ ｆ（－１） ＋ ｆ（－２） ＋ … ＋ ｆ（－２００９）.
　　分析 式子的结构特征为：当自变量之和为１，则函数值之和为２，所以考虑把自变量之和为１的两个数相加，得到相应的函数值.
　　解 ∵ ｆ（ｘ） ＋ ｆ（１ － ｘ）＝２，
　　∴ｆ（２０１０） ＋ ｆ（－２００９） ＝ ２，ｆ（２００９） ＋ ｆ（－２００８） ＝ ２，…，ｆ（２） ＋ ｆ（－１） ＝ ２，ｆ（１） ＋ ｆ（０） ＝ ２，这样的数共有２０１０组，∴原式 ＝ ２０１０ × ２ ＝ ４０２０．
　　２. 裂项相消法
　　如果所求和式中的项具有的结构，解题时，我们可以把化为（）（ - ），从而实现裂项相消，因此求解此类问题，我们常常可以考虑采用选用裂项相消的方法. 这是一类具有典型结构的求和方法，解题时一定要注意观察结构.
　　例４ 方程 +++=- 的解为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　分析 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数３，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．
　　解 左边 = （ - ） + （ - ） +
　　（ - ） + （ - ） = （ - ），∴（ - ） =- ，∴ x = -3.
　　例５ A = 48×（ ++ … + ），則与A最接近的正整数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　分析 先研究式子的通项，即，发现可以进行裂项相消，从而进行化简求值.
　　解 ∵== （ - ），
　　∴ A = 48 × ［ × （ - ） + ×（ - ） +× （ - ） + … +× （ - ） ＋× （ － ）］
　　∴ Ａ ＝ ２４ × （ ＋＋ … －－ ） = 20 -- ，所以与A最接近的正整数是２０．
　　例６ 设直线ｎｘ ＋ （ｎ ＋ １）ｙ ＝ （n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为Ｓｎ（ｎ ＝ １，２，３，…，２０１１），则Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＋ … ＋ Ｓ２０１１的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　分析 先求解直线与两坐标轴的交点，再求解三角形的面积Sn，根据Sn的特征选择裂项相消化简求值.
　　解 直线ｎｘ ＋ （ｎ ＋ １）ｙ ＝ 与两坐标轴的交点分别为（，０），（０，），所以围成的三角形面积为，Ｓｎ ＝• ＝＝－ ，
　　∴ Ｓ１ ＋ Ｓ２ ＋ … ＋ Ｓ２０１１ ＝ （１ － ） ＋ （ － ） ＋ （ － ）＋ … ＋ （ － ） ＝ .
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文