2010年安徽高考数学（文）第17题：椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12.
　　（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程.
　　本题作为文科的第17题和理科第19题的前两问，考查椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质、直线方程和点到直线的距离公式等基础知识.虽难度系数不大却蕴含丰富的数学思想，可以用多种方法求解.
　　解 （1）由题意，可直接求出椭圆的方程x216+y212=1.
　　（2）解法探究.
　　解法一 （利用点到直线的距离公式求解）
　　由（1）知，F1(-2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为
　　y=34(x-2)，即3x-4y+6=0.
　　直线AF2的方程x=2，由点A在椭圆E上的位置可知直线l的斜率为正数，设P(x,y)为l上任一点，则
　　|3x-4y+6|5=|x-2|.
　　若3x-4y+6=5x-10，
　　即x+2y-8=0（因斜率为正，舍去）.
　　于是由3x-4y+6=-5x+10，得2x-y-1=0.
　　所求直线的方程为2x-y-1=0.
　　解法二 （利用向量加法的几何意义求解）
　　由A(2,3)，F1(-2,0)，F2(2,0)，
　　∴AF1=(-4,-3)，AF2=(0,-3).
　　则AF1|AF1|+AF2|AF2|=15(-4,-3)+13(0,-3)
　　=-45(1,2)，
　　kl=2,所求直线的方程为y-3=2(x-2)，
　　即2x-y-1=0.
　　解法三 （利用三角形内角平分线定理求解）
　　如图，设直线l交x轴于点Ｐ，在△F1AF2中，
　　|AF1|=5，|AF2|=3，
　　∵直线l平分∠F1AF2，
　　∴|AF1||AF2|=|F1P||PF2|=53.
　　∵F1(-2,0)，F2(2,0)，|F1F2|=4，
　　∴P12,0，kl=kAP=3-02-12=2.
　　所求方程为y-3=2(x-2)，
　　即2x-y-1=0.
　　解法四 （利用三角函数求解）
　　如上图，设∠F1AF2=2α，在Rt△F1AF2中，
　　∠AF2F1=π2，|F1F2|=4，|AF2|=3，
　　∴tan2α=|F1F2||AF2|=43.
　　∵tan2α=2tanα1-tan2α=43，
　　∴tanα=12或tanα=-2（负的不合题意舍）.
　　∴kl=tan∠APF2=1tanα=2.
　　所求直线方程为y-3=2(x-2)，
　　即2x-y-1=0.
　　解法五 （利用内切圆性质求解）
　　如上图，设△F1AF2的内切圆半径为r，圆心Ｃ(m,n)，则点Ｃ在直线l上.
　　∵S△F1AF2=12|AF2||F1F2|
　　=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，
　　∴12r(5+3+4)=6，即r=1.
　　∴点Ｃ（1,1），则斜率kAC=3-22-1=2.
　　所求直线方程为y-3=2(x-2)，
　　即2x-y-1=0.
　　解法六 （构造等腰三角形求解）
　　如图，延长AF2到Ｄ使AD=AF1，则D(2,-2)，连接F1D交直线l于点Ｍ.
　　∵直线l为∠F1AF2的平分线，则点Ｍ为F1D的中点，
　　∴Ｍ(0,-1),由斜率公式，可得kAM=2.
　　所求直线方程为2x-y-1=0.
　　解法七 （利用镜面反射求解）
　　根据椭圆镜面的反射原理：过一个焦点的入射光线经过椭圆镜面反射后，反射光线经过另一个焦点.
　　设F2A和AF1所在的射线分别为入射光线和反射光线，则∠F1AF2的平分线l所在直线即为法线，因此只要求出椭圆在点Ａ处切线的斜率即可.可以利用导数求解：
　　设f(x)=12-34x2，则
　　f′(x)=-32x212-34x2，
　　∴f′(2)=-12，
　　∴kl=2，所求直线方程为2x-y-1=0.
　　拓展
　　1.在本题中若点A(x0,y0)为椭圆Ｅ上的任一点，仍然可以利用上述方法求解.
　　根据镜面反射原理.
　　2.若点A(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1上任一点，F1，F2为双曲线的两个焦点，∠F1AF2的平分线即为以点Ａ为切点的双曲线的切线.
　　3.抛物线y2=2px(p>0)焦点为F，A(x0,y0)为抛物线上任一点，直线l为其准线，AM垂直l，垂足为M，则∠FAM的平分线即为抛物线在点A处的切线.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文