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摘 要：本文给出一个教学实践效果良好的习题课设计。首先复习了正定二次型的相关概念和性质，然后列出了正定二次型的判定方法，并辅以例题加以说明。
关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式
在实二次型理论中, 正定二次型占有特别重要的位置。为了帮助学生总结、巩固和提升所学知识，本文给出一个经过课堂教学实践，具有良好教学效果的习题课设计。
一、正定二次型相关概念和性质复习
首先，在较短时间内，带领学生梳理正定二次型的基本概念和相关性质、了解重点和难点，并澄清一些常犯的错误与疑惑。
1.定义
设实二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,对于任意一组不全为零的实数c1,c2,…,cn有f(c1,c2,…,cn)>0，则称f为正定二次型，并称正定二次型的矩阵A为正定矩阵。
注：判断正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。
2.结论和性质
结论1.非退化线性替换不改变二次型的正定性。
性质1.若A为正定矩阵，则|A|>0，A可逆。
性质2.与正定矩阵合同的实对称阵也是正定矩阵。
性质3.正定矩阵的主对角线上元素必全大于零。
性质4.正定矩阵的元素的绝对值最大者一定是主对角线上的元素。
性质5.若A为正定矩阵，则|A|≤a11…ann，当且仅当A为对角阵时等号成立。
正定矩阵的这些性质可以用来判定某些实对称矩阵不是正定阵。例如：主对角元有非正数的对称阵必不是正定阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于主对角元的最大者，则这个矩阵必不是正定阵；若对于n阶矩阵A有，|A|>a11…ann，则A必不是正定阵。
例1.判断二次型f=10x21+8x1x2+14x1x3+2x22-28x2x3+x23是否正定。
解：二次型f的矩阵
A=1041242-1412 -141
显然A中元素绝对值最大者为|a23|=|a32|=14不是对角元，因此f不是正定二次型。
性质6.若A为正定矩阵，则A-1，A*，Ak（k为正整数）也为正定矩阵。
性质7.若A与B均为正定矩阵，则A+B也为正定矩阵。
二、正定二次型（矩阵）的判别方法
首先，和学生一起总结判别正定二次型的常用方法和充分必要条件，然后，通过对典型例题的分析讲评，帮助学生梳理解题的思路、熟悉常用的方法和技巧，对一个具体的问题到底该用哪种方法判断。另外，精选适量练习题，帮助学生更好地理解和掌握基本内容和基本解题方法，达到巩固、悟新与提高的目的。在题后要加以点评，其目的在于帮助学生弄清重点、难点、知识结合点和应注意的问题。
1.定义判别法
例2.判断二次型f=x21-2x1x2-2x1x3+2x22+3x23是否正定。
法一：因为对任意的x1，x2，x3，恒有f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23≥0。令f=0，即x1-x2=0,x2-x3=0,x3=0，解得x1=0，x2=0，x3=0。所以可得：对于不全为零的x1,x2,x3，都有f>0，所以f是正定二次型。
2.标准形判别法
实二次型f=XTAX是正定二次型（或A是正定矩阵）?圳正惯性指数等于n?圳f的规范形为■ni-1y2i?圳A与E合同，即存在可逆矩阵P，使A=PTP?圳A合同于主对角元大于零的对角矩阵?圳A的所有特征值全大于零。
对于同一个问题往往可以用不同的方法来判断，如例2 中的二次型也可以用特征值或正惯性指数来判断。
法二：二次型f对应的矩阵为，A=1 -1 0-1 2 -10 -1 3
其特征值为x1=2,x2=2+■,x3=2-■，显然都大于零，所以f是正定二次型。
法三：由于f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23，做变换
y1=x1-x2y2=x2-x3y3=x3
则二次型化为标准形f=y21+y22+2y23，可以看到此二次型的正惯性指数为3，所以f是正定二次型。
3.主子式判别法
实二次型f=XTAX是正定二次型A的所有顺序主子式全都大于零?圳A的所有主子式均大于零。
法四：由于A的各阶顺序主子式为
|A1|=1>0,|A2|=1 -1-1 2=1>0,|A|=1 -1 0-1 2 10 -1 3=2>0
所以f是正定二次型。
参考文献：
[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2011.
[2]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2009.
关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式
在实二次型理论中, 正定二次型占有特别重要的位置。为了帮助学生总结、巩固和提升所学知识，本文给出一个经过课堂教学实践，具有良好教学效果的习题课设计。
一、正定二次型相关概念和性质复习
首先，在较短时间内，带领学生梳理正定二次型的基本概念和相关性质、了解重点和难点，并澄清一些常犯的错误与疑惑。
1.定义
设实二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,对于任意一组不全为零的实数c1,c2,…,cn有f(c1,c2,…,cn)>0，则称f为正定二次型，并称正定二次型的矩阵A为正定矩阵。
注：判断正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。
2.结论和性质
结论1.非退化线性替换不改变二次型的正定性。
性质1.若A为正定矩阵，则|A|>0，A可逆。
性质2.与正定矩阵合同的实对称阵也是正定矩阵。
性质3.正定矩阵的主对角线上元素必全大于零。
性质4.正定矩阵的元素的绝对值最大者一定是主对角线上的元素。
性质5.若A为正定矩阵，则|A|≤a11…ann，当且仅当A为对角阵时等号成立。
正定矩阵的这些性质可以用来判定某些实对称矩阵不是正定阵。例如：主对角元有非正数的对称阵必不是正定阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于主对角元的最大者，则这个矩阵必不是正定阵；若对于n阶矩阵A有，|A|>a11…ann，则A必不是正定阵。
例1.判断二次型f=10x21+8x1x2+14x1x3+2x22-28x2x3+x23是否正定。
解：二次型f的矩阵
A=1041242-1412 -141
显然A中元素绝对值最大者为|a23|=|a32|=14不是对角元，因此f不是正定二次型。
性质6.若A为正定矩阵，则A-1，A*，Ak（k为正整数）也为正定矩阵。
性质7.若A与B均为正定矩阵，则A+B也为正定矩阵。
二、正定二次型（矩阵）的判别方法
首先，和学生一起总结判别正定二次型的常用方法和充分必要条件，然后，通过对典型例题的分析讲评，帮助学生梳理解题的思路、熟悉常用的方法和技巧，对一个具体的问题到底该用哪种方法判断。另外，精选适量练习题，帮助学生更好地理解和掌握基本内容和基本解题方法，达到巩固、悟新与提高的目的。在题后要加以点评，其目的在于帮助学生弄清重点、难点、知识结合点和应注意的问题。
1.定义判别法
例2.判断二次型f=x21-2x1x2-2x1x3+2x22+3x23是否正定。
法一：因为对任意的x1，x2，x3，恒有f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23≥0。令f=0，即x1-x2=0,x2-x3=0,x3=0，解得x1=0，x2=0，x3=0。所以可得：对于不全为零的x1,x2,x3，都有f>0，所以f是正定二次型。
2.标准形判别法
实二次型f=XTAX是正定二次型（或A是正定矩阵）?圳正惯性指数等于n?圳f的规范形为■ni-1y2i?圳A与E合同，即存在可逆矩阵P，使A=PTP?圳A合同于主对角元大于零的对角矩阵?圳A的所有特征值全大于零。
对于同一个问题往往可以用不同的方法来判断，如例2 中的二次型也可以用特征值或正惯性指数来判断。
法二：二次型f对应的矩阵为，A=1 -1 0-1 2 -10 -1 3
其特征值为x1=2,x2=2+■,x3=2-■，显然都大于零，所以f是正定二次型。
法三：由于f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23，做变换
y1=x1-x2y2=x2-x3y3=x3
则二次型化为标准形f=y21+y22+2y23，可以看到此二次型的正惯性指数为3，所以f是正定二次型。
3.主子式判别法
实二次型f=XTAX是正定二次型A的所有顺序主子式全都大于零?圳A的所有主子式均大于零。
法四：由于A的各阶顺序主子式为
|A1|=1>0,|A2|=1 -1-1 2=1>0,|A|=1 -1 0-1 2 10 -1 3=2>0
所以f是正定二次型。
参考文献：
[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2011.
[2]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2009.