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【摘 要】文章在常用建筑力学分析斜梁受力特征及内力计算的基础上，根据荷载特点、斜梁端部构造连接情况，选择更符合斜梁实际的支座类型，按静定与超静定斜梁进行系统的内力分析，提供有关计算简图。同时以某屋面斜梁开裂为案例，对斜梁进行了抗裂计算，以说明设计斜梁时考虑斜梁轴力影响的必要性。
【关键词】斜梁；内力；抗裂；计算
The explore of Static stability and Ultra static stability of the Inclined beam's InternaI Force and Anti-breaking Calculation
Yang Shi-chun
(Shenzhen lichengyuan Construction consultation Co.,Ltd. Guangdong Shenzhen 518028)
【Abstract】Based on the method of using common architectural mechanics analysis the inclined beam's force characteristic and internal force calculation. According to the load characteristics and the tectonic connections of Inclined beam ends, Choose the more accord with inclined beam's actual bracket type. According the static stability and ultra static stability of the Inclined beam's to systematic analysis internal force. Provide relevant calculating diagram. At the same time in a roofing inclined beam crack cases, for inclined beam anti-crack calculation, to illustrate the necessity of Consider inclined beam axis force influence when design inclined beam.
【Key words】Inclined beam;Internal force;Anti-crack;Calculation
1. 引言
在混凝土结构工程中斜梁开裂的情况时有发生。尽管某些细小裂缝对结构暂未造成安全威胁，但这是一种质量缺陷及安全隐患，是设计应当重视与解决的课题。
文章结合某地砼屋面斜梁开裂的验算案例（如图1所示），对这类斜梁在静载、风载作用下，按静定与超静定斜梁进行内力分析及抗裂计算与探讨，供混凝土斜梁设计参考。
2. 静载作用下静定斜梁的内力分析
如图1所示的混凝土斜梁在设计时，是根据常用的斜梁内力分析方法（如图2所示），按斜梁在静载作用下跨中的最大弯矩来设计计算斜梁的断面尺寸与配筋。在竣工三个月后进入第一个夏季时，两栋楼房16根屋面斜梁全部发生开裂［1］。设计认为，该斜梁内力计算符合常规，斜梁结构设计符合现行《混凝土结构设计规范》,对斜梁开裂不承担责任。
按常规，其支座反力为：
RAX = 0 ( 1 )
RAY =12g L ( 2 )
RBY =12 g L( 3 )
其弯矩值为：
M = 12g ( L X - X 2 )( 4 )
跨中最大弯矩值为：
Mm=18 g L2( 5 )
其剪力值为：
Q = g ( L2 - X ) cosθ ( 6 )
支座处最大剪力值为：
Qm = 12g Lcosθ ( 7 )
其轴力值为：
N = －g (L2 - X ) Sinθ ( 8 )
跨中最大弯矩处轴力为零，支座处轴力最大，其值为：
Nm =12g L sina ( 9 )
其中下支座处轴力为压力，上支座处为拉力。
对于这类斜梁，当边柱（构造柱）刚度仅为斜梁
刚度1/3的情况下，下支座应为可移动铰支座。上支座由于中柱（构造柱）与右边同截面斜梁的共同约束，应为不动铰支座（静定斜梁）或固定支座（超静定斜梁）。其计算简图如图3所示。
此时的静定斜梁，其弯矩、剪力与常用方法计算结果相同。但沿斜梁全长的轴力为拉力，且按上大下小分布，如图6-b、c、d 所示。
此时斜梁跨中轴力不为零，其值为：
NX=g (L - X) Sinθ （10）
跨中最大弯矩处的轴力为：
NC =12 g L Sinθ（11）
图4 斜梁负风压作用下的静定斜梁内力计算简图
3. 风载作用下静定斜梁的内力分析
在风载作用下，连接斜梁下支座的边柱（构造柱）为静定结构时,如图4所示
3.1 在斜梁段负风压作用下。
下支座D水平反力RDL 为零,竖向反力RDH为:
RDH= -12 gL L tg2θ （12）
斜梁A端轴力ND为：
NA=12 gL L tg2θSinθ （13）
斜梁A端剪力QD为：
QD =gL L tg2θ COSθ（14）
上支座B水平反力RBL 为：
RBL = gL L tgθ（15）
上支座B竖向反力RBH 为：
RBH =-RDH = 12g L Ltg2θ （16）
斜梁B端轴力NB为：
NB=g L L Sinθ （17）
斜梁B端剪力QB为零。
斜梁跨中轴力NC为：
NC = 12gL L Sinθ(1+ 12tg2θ)（18）
3.2 在边柱段负风压作用下。
在边柱段负风压作用下,连接斜梁下端的边柱及斜梁的静定结构计算简图如图5所示。
此时边柱两端剪力为：
RAL = -RDL =12g L H（19）
边柱轴力为：
RAH= RDH =12g L H tgθ （20）
边柱中部最大弯矩为:
Mm=18g L H2 （21）
斜梁内只存在轴向拉力,全梁拉力大小相等，其值为:
NA=12g L H /COSθ（22）
3.3 在全负风压作用下。
计算在全负风压作用下的内力,可将图4与图5所示内力进行迭加。其中风载对斜梁的轴力影响较大。由全负风压引起的斜梁中部最大弯矩处的拉力NC为：
NC = 12 g L L Sinθ（1+12 tg2θ）+12
g L H tgθ（23）
3.4 在静载、风载共同作用下。
在静载、风载共同作用下，斜梁设计应考
虑的内力为：
图6 静载作用下的超静定斜梁内力计算图
跨中最大弯矩为：MB =18 g L2
跨中轴向拉力为：
NC= 12 g L Sinθ + 12 gL L Sinθ（1+12tg2θ）
+12 g L H tgθ
4. 超静定斜梁内力分析
4.1 在静载作用下。
斜梁上端为固定端，如图6所示。
此时其最大弯矩发生在固定端，其值为：
MB = 18g L 2（24）
固定端剪力为：
QB =58g L COSθ （25）
固定端轴力为：
NB = 58g L Ssinθ（26）
斜梁下端剪力为：
QA = 38 g L COSθ（27）
斜梁下端力轴为：
NA =38g L Ssinθ（28）
4.2 在斜梁段负风压作用下。
在斜梁段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图如图7所示。
图7 斜梁段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图
斜梁上端B为固定支座，下端边柱AB相当于竖向拉杆。
斜梁下端A弯矩、剪力、轴力为：
MA = 0 （29）
QA= 38 g L L tgθ （30）
NA = QA tgθ= 38 g L L tg2θ（31）
斜梁上端B弯矩、剪力、轴力为：
MB = 18g L L2 Sinθ （32）
QB= 58 g L L tgθ(33)
NB =58 g L L(34)
斜梁中点弯矩、轴力为：
MC = 116 g L L2 Sinθ (35)
NC=116 （3g LLtg2θ+5g LL） （36）
4.3 在边柱段负风压作用下。
在边柱段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图如图8所示。
图8 边柱段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图
柱下端水平反力RDL为:
RDL = 58 L g H(37)
斜梁下端水平反力RAL为:与柱上端水平反力方向相反,大小相等：
RDL = 38g L H (38)
斜梁下端的剪力、轴力为：
QA= 38g L H Sinθ(39)
NA=38 g L H COSθ(40)
斜梁上端（固定）弯矩、剪力、轴力为：
MB = 38 g L H L tgθ（41）
QB= - 38g L H Sinθ(42)
NB= 38g L H COSθ(43)
4.4 在静载、风载共同作用下。
在静载、风载共同作用下，超静定斜梁设计应考虑的内力为：
跨中最大弯矩为：MB =18 g L2 (44)
跨中轴向拉力为：
NC= 12 ( gL Sinθ +38g L L tg2θ+58
gL L+ gL H COSθ) (45)
5. 混凝土斜梁的抗裂计算
5.1 静定斜梁。
图1所示的屋面斜梁的荷载效应标准组合值为16.5KN/m，斜梁倾角θ = 19.6 度。
在静载作用下，跨中最大弯矩为：
MC = 18g L2
= 18 16.5×4.52= 41.77KN
跨中轴向拉力为：
NC = 12 g L Sinθ
=12 16.5×4.5×Sin19.6°
= 12.7KN
风载作用下,斜梁弯矩、剪力的影响不大可不予考虑，但轴向拉力应予计算，负风压gL为：
gL= βz μs μz ω0 b
= 1.4×0.5×0.4 ×1.25×3.6
= 1.26 KN/m
式中,βz ——风振系数；
μs —— 体型系数；
μ z ——风压高度变化系数；
ω o ——基本风压；
b——砼柱间距。
风载作用下斜梁跨中轴向拉力为:
NC= 1.26×4.5 Sin19.6°（1+ 12 tg219.6°）
+ 121.26×2.8×tg19.6°
=2.57KN
组合轴力NC =12.7+2.57=15.34KN
对斜梁进行抗裂验算时,可按偏心受拉构件计算的边缘混凝土法向应力σCL应小于混凝土抗拉强度［3］。
σCL =MCW0 +NCA0 （46）
= 41.77×10628.5×106 +1.534×104 18.6×104
= 1.54N/mm2。
式中，MC——构件换算截面受拉边缘的弹性抵抗矩；
W0——构件换算截面面积。
计算表明，边缘混凝土法向应力σCd大于C3混凝土抗拉强度（1.43N/ mm2），该斜梁在跨中段位置发生裂缝不可避免。这也与现场裂缝特征相符。
5.2 超静定斜梁。
超静定斜梁在静载作用下，最大弯矩发生在固定端，为负弯矩,其值与静定斜梁跨中弯矩相等。轴力最大值也在固定端。风载产生的内力小于静定斜梁。同时，支座位移及温差附加应力对超静定斜梁内力的不利影响较静定斜梁敏感，设计时应加强固定端部的配筋，本文不再详述。
6. 结语
图1所示斜梁是分别处在两栋7层住宅的混凝土斜坡屋面，由同一施工队分两批次施工，在投入使用前相继发现开裂，其裂缝位置、数量、大小、形状均基本一致，并经核查工程验收资料及对斜梁混凝土的回弹检测，排除了施工原因。 设计承认未考虑斜梁轴向拉力及其他各种对屋面斜梁的不利影响，斜梁配筋不足，同意作加固处理。如在类似斜梁按常用计算方法设计配筋时应加大15%～20%配筋率。
参考文献
［1］ 杨石春 杨立廷/斜梁与折梁的内力分析及抗裂验算/中华民居 2011.1期科技版.
［2］ 建筑力学/于英主编.-2版.北京：中国建筑工业出版社，2007.
［3］ 混凝土结构设计规范（104-105）/GB50010-2002.
［文章编号］1006-7619（2011）04-26-410
［作者简介］ 杨石春（1946.05-），男，籍贯：江新昌县人，学历：本科，职称：总工程师、高级工程师，工作单位：深圳利诚源工程咨询有限公司。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】斜梁；内力；抗裂；计算
The explore of Static stability and Ultra static stability of the Inclined beam's InternaI Force and Anti-breaking Calculation
Yang Shi-chun
(Shenzhen lichengyuan Construction consultation Co.,Ltd. Guangdong Shenzhen 518028)
【Abstract】Based on the method of using common architectural mechanics analysis the inclined beam's force characteristic and internal force calculation. According to the load characteristics and the tectonic connections of Inclined beam ends, Choose the more accord with inclined beam's actual bracket type. According the static stability and ultra static stability of the Inclined beam's to systematic analysis internal force. Provide relevant calculating diagram. At the same time in a roofing inclined beam crack cases, for inclined beam anti-crack calculation, to illustrate the necessity of Consider inclined beam axis force influence when design inclined beam.
【Key words】Inclined beam;Internal force;Anti-crack;Calculation
1. 引言
在混凝土结构工程中斜梁开裂的情况时有发生。尽管某些细小裂缝对结构暂未造成安全威胁，但这是一种质量缺陷及安全隐患，是设计应当重视与解决的课题。
文章结合某地砼屋面斜梁开裂的验算案例（如图1所示），对这类斜梁在静载、风载作用下，按静定与超静定斜梁进行内力分析及抗裂计算与探讨，供混凝土斜梁设计参考。
2. 静载作用下静定斜梁的内力分析
如图1所示的混凝土斜梁在设计时，是根据常用的斜梁内力分析方法（如图2所示），按斜梁在静载作用下跨中的最大弯矩来设计计算斜梁的断面尺寸与配筋。在竣工三个月后进入第一个夏季时，两栋楼房16根屋面斜梁全部发生开裂［1］。设计认为，该斜梁内力计算符合常规，斜梁结构设计符合现行《混凝土结构设计规范》,对斜梁开裂不承担责任。
按常规，其支座反力为：
RAX = 0 ( 1 )
RAY =12g L ( 2 )
RBY =12 g L( 3 )
其弯矩值为：
M = 12g ( L X - X 2 )( 4 )
跨中最大弯矩值为：
Mm=18 g L2( 5 )
其剪力值为：
Q = g ( L2 - X ) cosθ ( 6 )
支座处最大剪力值为：
Qm = 12g Lcosθ ( 7 )
其轴力值为：
N = －g (L2 - X ) Sinθ ( 8 )
跨中最大弯矩处轴力为零，支座处轴力最大，其值为：
Nm =12g L sina ( 9 )
其中下支座处轴力为压力，上支座处为拉力。
对于这类斜梁，当边柱（构造柱）刚度仅为斜梁
刚度1/3的情况下，下支座应为可移动铰支座。上支座由于中柱（构造柱）与右边同截面斜梁的共同约束，应为不动铰支座（静定斜梁）或固定支座（超静定斜梁）。其计算简图如图3所示。
此时的静定斜梁，其弯矩、剪力与常用方法计算结果相同。但沿斜梁全长的轴力为拉力，且按上大下小分布，如图6-b、c、d 所示。
此时斜梁跨中轴力不为零，其值为：
NX=g (L - X) Sinθ （10）
跨中最大弯矩处的轴力为：
NC =12 g L Sinθ（11）
图4 斜梁负风压作用下的静定斜梁内力计算简图
3. 风载作用下静定斜梁的内力分析
在风载作用下，连接斜梁下支座的边柱（构造柱）为静定结构时,如图4所示
3.1 在斜梁段负风压作用下。
下支座D水平反力RDL 为零,竖向反力RDH为:
RDH= -12 gL L tg2θ （12）
斜梁A端轴力ND为：
NA=12 gL L tg2θSinθ （13）
斜梁A端剪力QD为：
QD =gL L tg2θ COSθ（14）
上支座B水平反力RBL 为：
RBL = gL L tgθ（15）
上支座B竖向反力RBH 为：
RBH =-RDH = 12g L Ltg2θ （16）
斜梁B端轴力NB为：
NB=g L L Sinθ （17）
斜梁B端剪力QB为零。
斜梁跨中轴力NC为：
NC = 12gL L Sinθ(1+ 12tg2θ)（18）
3.2 在边柱段负风压作用下。
在边柱段负风压作用下,连接斜梁下端的边柱及斜梁的静定结构计算简图如图5所示。
此时边柱两端剪力为：
RAL = -RDL =12g L H（19）
边柱轴力为：
RAH= RDH =12g L H tgθ （20）
边柱中部最大弯矩为:
Mm=18g L H2 （21）
斜梁内只存在轴向拉力,全梁拉力大小相等，其值为:
NA=12g L H /COSθ（22）
3.3 在全负风压作用下。
计算在全负风压作用下的内力,可将图4与图5所示内力进行迭加。其中风载对斜梁的轴力影响较大。由全负风压引起的斜梁中部最大弯矩处的拉力NC为：
NC = 12 g L L Sinθ（1+12 tg2θ）+12
g L H tgθ（23）
3.4 在静载、风载共同作用下。
在静载、风载共同作用下，斜梁设计应考
虑的内力为：
图6 静载作用下的超静定斜梁内力计算图
跨中最大弯矩为：MB =18 g L2
跨中轴向拉力为：
NC= 12 g L Sinθ + 12 gL L Sinθ（1+12tg2θ）
+12 g L H tgθ
4. 超静定斜梁内力分析
4.1 在静载作用下。
斜梁上端为固定端，如图6所示。
此时其最大弯矩发生在固定端，其值为：
MB = 18g L 2（24）
固定端剪力为：
QB =58g L COSθ （25）
固定端轴力为：
NB = 58g L Ssinθ（26）
斜梁下端剪力为：
QA = 38 g L COSθ（27）
斜梁下端力轴为：
NA =38g L Ssinθ（28）
4.2 在斜梁段负风压作用下。
在斜梁段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图如图7所示。
图7 斜梁段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图
斜梁上端B为固定支座，下端边柱AB相当于竖向拉杆。
斜梁下端A弯矩、剪力、轴力为：
MA = 0 （29）
QA= 38 g L L tgθ （30）
NA = QA tgθ= 38 g L L tg2θ（31）
斜梁上端B弯矩、剪力、轴力为：
MB = 18g L L2 Sinθ （32）
QB= 58 g L L tgθ(33)
NB =58 g L L(34)
斜梁中点弯矩、轴力为：
MC = 116 g L L2 Sinθ (35)
NC=116 （3g LLtg2θ+5g LL） （36）
4.3 在边柱段负风压作用下。
在边柱段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图如图8所示。
图8 边柱段负风压作用下的超静定斜梁内力计算简图
柱下端水平反力RDL为:
RDL = 58 L g H(37)
斜梁下端水平反力RAL为:与柱上端水平反力方向相反,大小相等：
RDL = 38g L H (38)
斜梁下端的剪力、轴力为：
QA= 38g L H Sinθ(39)
NA=38 g L H COSθ(40)
斜梁上端（固定）弯矩、剪力、轴力为：
MB = 38 g L H L tgθ（41）
QB= - 38g L H Sinθ(42)
NB= 38g L H COSθ(43)
4.4 在静载、风载共同作用下。
在静载、风载共同作用下，超静定斜梁设计应考虑的内力为：
跨中最大弯矩为：MB =18 g L2 (44)
跨中轴向拉力为：
NC= 12 ( gL Sinθ +38g L L tg2θ+58
gL L+ gL H COSθ) (45)
5. 混凝土斜梁的抗裂计算
5.1 静定斜梁。
图1所示的屋面斜梁的荷载效应标准组合值为16.5KN/m，斜梁倾角θ = 19.6 度。
在静载作用下，跨中最大弯矩为：
MC = 18g L2
= 18 16.5×4.52= 41.77KN
跨中轴向拉力为：
NC = 12 g L Sinθ
=12 16.5×4.5×Sin19.6°
= 12.7KN
风载作用下,斜梁弯矩、剪力的影响不大可不予考虑，但轴向拉力应予计算，负风压gL为：
gL= βz μs μz ω0 b
= 1.4×0.5×0.4 ×1.25×3.6
= 1.26 KN/m
式中,βz ——风振系数；
μs —— 体型系数；
μ z ——风压高度变化系数；
ω o ——基本风压；
b——砼柱间距。
风载作用下斜梁跨中轴向拉力为:
NC= 1.26×4.5 Sin19.6°（1+ 12 tg219.6°）
+ 121.26×2.8×tg19.6°
=2.57KN
组合轴力NC =12.7+2.57=15.34KN
对斜梁进行抗裂验算时,可按偏心受拉构件计算的边缘混凝土法向应力σCL应小于混凝土抗拉强度［3］。
σCL =MCW0 +NCA0 （46）
= 41.77×10628.5×106 +1.534×104 18.6×104
= 1.54N/mm2。
式中，MC——构件换算截面受拉边缘的弹性抵抗矩；
W0——构件换算截面面积。
计算表明，边缘混凝土法向应力σCd大于C3混凝土抗拉强度（1.43N/ mm2），该斜梁在跨中段位置发生裂缝不可避免。这也与现场裂缝特征相符。
5.2 超静定斜梁。
超静定斜梁在静载作用下，最大弯矩发生在固定端，为负弯矩,其值与静定斜梁跨中弯矩相等。轴力最大值也在固定端。风载产生的内力小于静定斜梁。同时，支座位移及温差附加应力对超静定斜梁内力的不利影响较静定斜梁敏感，设计时应加强固定端部的配筋，本文不再详述。
6. 结语
图1所示斜梁是分别处在两栋7层住宅的混凝土斜坡屋面，由同一施工队分两批次施工，在投入使用前相继发现开裂，其裂缝位置、数量、大小、形状均基本一致，并经核查工程验收资料及对斜梁混凝土的回弹检测，排除了施工原因。 设计承认未考虑斜梁轴向拉力及其他各种对屋面斜梁的不利影响，斜梁配筋不足，同意作加固处理。如在类似斜梁按常用计算方法设计配筋时应加大15%～20%配筋率。
参考文献
［1］ 杨石春 杨立廷/斜梁与折梁的内力分析及抗裂验算/中华民居 2011.1期科技版.
［2］ 建筑力学/于英主编.-2版.北京：中国建筑工业出版社，2007.
［3］ 混凝土结构设计规范（104-105）/GB50010-2002.
［文章编号］1006-7619（2011）04-26-410
［作者简介］ 杨石春（1946.05-），男，籍贯：江新昌县人，学历：本科，职称：总工程师、高级工程师，工作单位：深圳利诚源工程咨询有限公司。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文