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从函数、三角函数到解三角形问题，知识的承继决定了其思想与方法体系的连续;三角形是特殊的几何图形，因而解三角形与向量等兼具数、形内涵的知识必然衔接.本文试图从不同的角度追根求源，对解三角形问题的解法与思路作一些剖析.
1. 从函数思想理解解三角形的方法
未知的常量或者变量数学上称为“元”,减少元的个数是解决数学问题的一个出发点,函数y=f(x)就是刻画两个元(变量)的直接而非间接关系.对三角形而言,边与角是不同类的“元”,由此,将已知条件尽量全部转化成边的关系或者全部转化成角(三角函数)的关系并尽可能减少“元”的个数，是解三角形的基本思想.
例1 △ABC中角A,B,C的对边a,b,c,cosAcosB=ba=43,c=10,求三边长.
分析:(1)可将条件全部化为角的关系.
由正弦定理a:b=sinA:sinB，
∴cosAcosB=sinBsinA,sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π－2B,
∵a≠b,∴A+B=π2，∴a2+b2=100且3b=4a，∴a=6,b=8.
(2)本题亦可将条件全化为边的关系，由余弦定理得：
a(b2 + c2-a22bc) = b(a2 + c2-b22ac)，∴ a2 + b2 = c2.
［变式1-1］ △ABC中角A最大而角C最小,A=2C,边a+c=2b=2,求a边长.
分析:将a+c=2b化成sinA+sinC=2sinB显然难以求解,故化为边的关系，由
sinA=2sinC•cosC，∴cosC=sinA2sinC=a2c=a2+1－c22a
a2(c－1)=c(c－1)(c+1),∵c ［变式1-2］ 锐角三角形ABC中,A,B,C成等差数列,
sin2A+sin(A－C)=sinB,判断ABC形状.
分析:消去角B, 2sinAcosA+sinAcosC－cosAsinC=sin(A+C)
∴cosA(sinA－sinC)=0,cosA≠0，∴sinA=sinC,又2B=A+C,B=π3，故为正三角形.
或由2B=A+C得B=60°,C=120°－A,
∴sin2A+sin(2A－120°)=32，化简得sin(2A－60°)=32，∴A=60°=B=C.
2. 从定理内涵及形式结构理解解三角形的方法
正弦定理原始内容为“三角形三边长的比等于所对角的正弦比”,引申内容包括
(1)asinA=bsinB=csinC=2R;(2)A>Ba>bsinA>sinB;
(3)S=12absinC;而余弦定理需注意公式中边与角的对应关系(结构形式),这些隐性的知识内涵是对定理深层次的理解，因而常常是灵活解决问题的关键.
例2 △ABC中,sinA=35,cosB=513,求cosC.
分析:这是一道易错的典型题.由cosB=513>0隐含了B为锐角的条件,而sinB=1213>sinA又隐含B>A,∴π2>B>A>0,
只能 cosA=45，∴cosC=－cos(A+B)=1665.
［变式2-1］ △ABC中,A=30°,a=16,b=163求c边长.
分析: asinA=32=bsinB,sinB=32>sinA，∴B>A
(1)B=60°,C=90°,c=a2+b2=32>b>a,符合.
(2) B=120°,C=30°,c=32sinC=16=a
例3 △ABC中,sinA:sinB=2:1,c2=b2+2bc,求角C.
分析:无法直接运用余弦定理求cosC,从结构形式看余弦定理只有
cosA=b2+c2－a22bc中含有bc,∵a:b=sinA∶sinB=2∶1 ,
∴a2=2b2代入得cosA=22，
∴A=45°，∴sinB=12<sinA,
∴只能B=30°，∴C=105°.
［变式3-1］ △ABC面积S,2S=(a+b)2－c2
(1)求tanC;(2)a+b=8时求面积最大值.
分析:(1)从2S=(a+b)2－c2的结构看只有运用cosC,
∴2S=2abcosC+2ab,又S=12basinC,
∴sinc1+cosC=2=tanC2,从而tanC=-43.这个过程要求角（正切）,故消去边.
(2)由tanC可得sinC=45,
∴S=12a(8－a)45≤25［a+(8－a)2］2=325(当且仅当a=4取等号).
3.从定理的推证过程提炼解三角形的方法
正弦定理最简单的证明方法为:作△ABC的BC边高AD,则△ABD中有
AD=ABsinB=csinB;△ACD中,AD=ACsinC=bsinC,
∴csinC=bsinB, 该证明蕴藏的数学方法为:(1)直角三角形是最简单的三角形;(2)对多个三角形,公共边、公共角或与公共边相邻的角常常是重要的媒介.
例4 海上A处11时测得某帆船在北偏东60°的C处,12时20分测得该船到达A北偏西60°的B处,12时40分该船到达A正西方的E处且距A处5海里,若船直线匀速行驶,求其航速v.
分析:如图,CB=43v,BE=v3,∠CAB=120°,∠EAB=30°,AB为两三角形公共边,设与其相邻的角∠ABE=α,△ABE中,5sinα=v3sin30°(1)
△ABC中,ACsin(π－α)=4v3sin120°(2),
将(1)代入(2)
得AC=2033;△EAC中运用余弦定理得v=93,即时速93.
课本证明余弦定理的方法为对BC=AC－AB直接平方,这个过程隐含了余弦与向量夹角的联系:cosA=b2+c2－a22bc=AB•AC|AB|•|AC|,由此,求三角形的内角既可用余弦定理也可用向量夹角,这为解三角形问题的延伸与拓展奠定了基础.
例5 △ABC中,AB•AC=|AC－AB|=2,求面积最大值.
分析:设AB=c,AC=b,BC=a,则AB•AC=bccosA=2,S=12bcsinA,故
S=12•sinA•2cosA=tanA.∴tanA>0,A∈(0,π2).求得A最大值即可.
由a2=4=b2+c2－2bc•cosA，∴b2+c2=8 ①
又cosA=AB•ACbc=2bc;
由①式得8≥2bc,
∴cosA≥12,0 ∴面积最大值为tanπ3=3.
求三角形内角一般用余弦定理或向量夹角,这是因为在(0,π)内每个余弦值对应唯一的角;用正弦常需考虑所求结果的取舍(如例2类问题),这一点值得注意.
4.不可忽视的直角三角形
直角三角形是最基本的三角形,2010江苏高考以直角三角形为背景考查解三角形,同时渗透了对函数、不等式相关知识的综合.在直角三角形ABC中,若c为斜边,则tanA=ab,a=csinA=ccosB,b=csinB=ccosA都可看成正弦定理的“退化”情形,这类问题与三角恒等变换联系，具有较强的综合性.
例6 如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝3．点M,N分别在边AB和AC 上，将△AMN沿MN翻折，使顶点A′落在边BC上(M、A′点与B点都不重合).设∠AMN＝θ．
(1) 用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
(2) 求线段A′N长度的最小值．
分析：（1）设MA=MA′=x，则MB=1－x．
在Rt△MBA′中，cos(180°－2θ)=1－xx，
∴MA=x=11－cos2θ=12sin2θ．
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，
∴45°<θ<90°．
（2）在△AMN中，∠ANM＝120°－θ,ANsinθ=MAsin(120°－θ),
AN=sinθ•12sin2θsin(120°－θ)＝12sinθsin(120°－θ)．
令t=2sinθsin(120°－θ)=2sinθ(12sinθ+32cosθ)＝sin2θ+3sinθcosθ
＝12+32sin2θ－12cos2θ=12+sin(2θ－30°)．
∵45°<θ<90°， ∴60°<2θ－30°<150°．
θ=60°时，t有最大值32，故A′N有最小值23．
［变式］直角三角形ABC中,C=90°,sinA+sinB=t,
(1)试求y=a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)abc关于t的表达式;
(2)证明y>22+1.
分析:(1)sinA=ac,cosA=bc,而sinB=cosA,t=sinA+cosA,故只有将y化成边的比才能转化成t的表达式,此外sinx±cosx与sinxcosx的相互转化是三角函数重点内容之一.
∵y=ac+ab+bc+ba+ca+cb
∴y=sinA+cosA+tanA+1sinA+1cosA+1tanA=t+1+sinA+cosAsinAcosA=t+2(1+t)t2－1=t+2t－1.
∵t=sinA+cosA=2sin(A+45°),0° ∴y=t+2t－1(1 (2)y=t－1+2t－1+1≥2(t－1)(2t－1)+1=22+1(t=1+2取等号)
∵t≠2+1，∴只能y>22+1.
（作者：吉冬林，江苏省邗江中学)
1. 从函数思想理解解三角形的方法
未知的常量或者变量数学上称为“元”,减少元的个数是解决数学问题的一个出发点,函数y=f(x)就是刻画两个元(变量)的直接而非间接关系.对三角形而言,边与角是不同类的“元”,由此,将已知条件尽量全部转化成边的关系或者全部转化成角(三角函数)的关系并尽可能减少“元”的个数，是解三角形的基本思想.
例1 △ABC中角A,B,C的对边a,b,c,cosAcosB=ba=43,c=10,求三边长.
分析:(1)可将条件全部化为角的关系.
由正弦定理a:b=sinA:sinB，
∴cosAcosB=sinBsinA,sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π－2B,
∵a≠b,∴A+B=π2，∴a2+b2=100且3b=4a，∴a=6,b=8.
(2)本题亦可将条件全化为边的关系，由余弦定理得：
a(b2 + c2-a22bc) = b(a2 + c2-b22ac)，∴ a2 + b2 = c2.
［变式1-1］ △ABC中角A最大而角C最小,A=2C,边a+c=2b=2,求a边长.
分析:将a+c=2b化成sinA+sinC=2sinB显然难以求解,故化为边的关系，由
sinA=2sinC•cosC，∴cosC=sinA2sinC=a2c=a2+1－c22a
a2(c－1)=c(c－1)(c+1),∵c
sin2A+sin(A－C)=sinB,判断ABC形状.
分析:消去角B, 2sinAcosA+sinAcosC－cosAsinC=sin(A+C)
∴cosA(sinA－sinC)=0,cosA≠0，∴sinA=sinC,又2B=A+C,B=π3，故为正三角形.
或由2B=A+C得B=60°,C=120°－A,
∴sin2A+sin(2A－120°)=32，化简得sin(2A－60°)=32，∴A=60°=B=C.
2. 从定理内涵及形式结构理解解三角形的方法
正弦定理原始内容为“三角形三边长的比等于所对角的正弦比”,引申内容包括
(1)asinA=bsinB=csinC=2R;(2)A>Ba>bsinA>sinB;
(3)S=12absinC;而余弦定理需注意公式中边与角的对应关系(结构形式),这些隐性的知识内涵是对定理深层次的理解，因而常常是灵活解决问题的关键.
例2 △ABC中,sinA=35,cosB=513,求cosC.
分析:这是一道易错的典型题.由cosB=513>0隐含了B为锐角的条件,而sinB=1213>sinA又隐含B>A,∴π2>B>A>0,
只能 cosA=45，∴cosC=－cos(A+B)=1665.
［变式2-1］ △ABC中,A=30°,a=16,b=163求c边长.
分析: asinA=32=bsinB,sinB=32>sinA，∴B>A
(1)B=60°,C=90°,c=a2+b2=32>b>a,符合.
(2) B=120°,C=30°,c=32sinC=16=a
例3 △ABC中,sinA:sinB=2:1,c2=b2+2bc,求角C.
分析:无法直接运用余弦定理求cosC,从结构形式看余弦定理只有
cosA=b2+c2－a22bc中含有bc,∵a:b=sinA∶sinB=2∶1 ,
∴a2=2b2代入得cosA=22，
∴A=45°，∴sinB=12<sinA,
∴只能B=30°，∴C=105°.
［变式3-1］ △ABC面积S,2S=(a+b)2－c2
(1)求tanC;(2)a+b=8时求面积最大值.
分析:(1)从2S=(a+b)2－c2的结构看只有运用cosC,
∴2S=2abcosC+2ab,又S=12basinC,
∴sinc1+cosC=2=tanC2,从而tanC=-43.这个过程要求角（正切）,故消去边.
(2)由tanC可得sinC=45,
∴S=12a(8－a)45≤25［a+(8－a)2］2=325(当且仅当a=4取等号).
3.从定理的推证过程提炼解三角形的方法
正弦定理最简单的证明方法为:作△ABC的BC边高AD,则△ABD中有
AD=ABsinB=csinB;△ACD中,AD=ACsinC=bsinC,
∴csinC=bsinB, 该证明蕴藏的数学方法为:(1)直角三角形是最简单的三角形;(2)对多个三角形,公共边、公共角或与公共边相邻的角常常是重要的媒介.
例4 海上A处11时测得某帆船在北偏东60°的C处,12时20分测得该船到达A北偏西60°的B处,12时40分该船到达A正西方的E处且距A处5海里,若船直线匀速行驶,求其航速v.
分析:如图,CB=43v,BE=v3,∠CAB=120°,∠EAB=30°,AB为两三角形公共边,设与其相邻的角∠ABE=α,△ABE中,5sinα=v3sin30°(1)
△ABC中,ACsin(π－α)=4v3sin120°(2),
将(1)代入(2)
得AC=2033;△EAC中运用余弦定理得v=93,即时速93.
课本证明余弦定理的方法为对BC=AC－AB直接平方,这个过程隐含了余弦与向量夹角的联系:cosA=b2+c2－a22bc=AB•AC|AB|•|AC|,由此,求三角形的内角既可用余弦定理也可用向量夹角,这为解三角形问题的延伸与拓展奠定了基础.
例5 △ABC中,AB•AC=|AC－AB|=2,求面积最大值.
分析:设AB=c,AC=b,BC=a,则AB•AC=bccosA=2,S=12bcsinA,故
S=12•sinA•2cosA=tanA.∴tanA>0,A∈(0,π2).求得A最大值即可.
由a2=4=b2+c2－2bc•cosA，∴b2+c2=8 ①
又cosA=AB•ACbc=2bc;
由①式得8≥2bc,
∴cosA≥12,0
求三角形内角一般用余弦定理或向量夹角,这是因为在(0,π)内每个余弦值对应唯一的角;用正弦常需考虑所求结果的取舍(如例2类问题),这一点值得注意.
4.不可忽视的直角三角形
直角三角形是最基本的三角形,2010江苏高考以直角三角形为背景考查解三角形,同时渗透了对函数、不等式相关知识的综合.在直角三角形ABC中,若c为斜边,则tanA=ab,a=csinA=ccosB,b=csinB=ccosA都可看成正弦定理的“退化”情形,这类问题与三角恒等变换联系，具有较强的综合性.
例6 如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝3．点M,N分别在边AB和AC 上，将△AMN沿MN翻折，使顶点A′落在边BC上(M、A′点与B点都不重合).设∠AMN＝θ．
(1) 用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
(2) 求线段A′N长度的最小值．
分析：（1）设MA=MA′=x，则MB=1－x．
在Rt△MBA′中，cos(180°－2θ)=1－xx，
∴MA=x=11－cos2θ=12sin2θ．
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，
∴45°<θ<90°．
（2）在△AMN中，∠ANM＝120°－θ,ANsinθ=MAsin(120°－θ),
AN=sinθ•12sin2θsin(120°－θ)＝12sinθsin(120°－θ)．
令t=2sinθsin(120°－θ)=2sinθ(12sinθ+32cosθ)＝sin2θ+3sinθcosθ
＝12+32sin2θ－12cos2θ=12+sin(2θ－30°)．
∵45°<θ<90°， ∴60°<2θ－30°<150°．
θ=60°时，t有最大值32，故A′N有最小值23．
［变式］直角三角形ABC中,C=90°,sinA+sinB=t,
(1)试求y=a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)abc关于t的表达式;
(2)证明y>22+1.
分析:(1)sinA=ac,cosA=bc,而sinB=cosA,t=sinA+cosA,故只有将y化成边的比才能转化成t的表达式,此外sinx±cosx与sinxcosx的相互转化是三角函数重点内容之一.
∵y=ac+ab+bc+ba+ca+cb
∴y=sinA+cosA+tanA+1sinA+1cosA+1tanA=t+1+sinA+cosAsinAcosA=t+2(1+t)t2－1=t+2t－1.
∵t=sinA+cosA=2sin(A+45°),0°
∵t≠2+1，∴只能y>22+1.
（作者：吉冬林，江苏省邗江中学)