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摘 要： 研究了一类具p-Laplace算子的二阶三点边值问题，并且给出这个边值问题的格林函数。再利用上下解和单调迭代法，得出了这个方程极值解存在的充分条件。
关键词： p-Laplace算子； 上下解； 单调算子； 线性边值问题
中图分类号： O 175。2 文献标识码： A 文章编号： 1000-5137（2013）02-0125-05
0 引 言
边值问题理论在微分方程中是非常重要的一个领域。在近些年，边值问题由于其广泛的理论与实际背景而备受关注，见文献[1-7]。比如在物理学弦振动问题中，常常会遇到方程求解，这时就需要考虑实际背景，也就是要添加其边值条件。研究边值问题的方法有很多，文献[1，2]利用Mawhin的延续定理，上下解问题[1，8]，单调迭代方法[3]，等等。在这些方法中，利用上下解和单调迭代方法是证明边值问题极限解存在性的一种非常有用的方法，见[6，7，9，10]。
然而，由于有些问题的性质不同，使得对它们的研究更加困难。目前有很多文章[11，12]是研究线性边值条件的，但研究非线性边值条件的就比较少了[13]，而研究p-laplace算子的就更少了[14，15]。原因在于p-laplace算子会使问题变得更加复杂。
在这篇文章中，考虑了如下带有p-laplace算子的边值问题： [p（x′）]′+f（t，x）=0，t∈（0，1）
第二步，令v（t）=γ（t）-α0（t），由第一步知v′（t）=γ′（t）-α0′（t）≤0，由边界条件v（1）=δv（η），再根据引理1。1，可得v≤0，则γ≤α0。
同理可证，γ≥β0，γ′≥β0′。
2 主要结果
对α0，β0∈ C，定义β0≤α0，β0（t）≤α0（t），t∈（0，1）。
定理2。1 当（H1），（H2）成立，且δ>1，设α0和β0是边值问题（1）的下解和上解，并且有β0（t）≤α0（t），t∈（0，1），则存在单调序列{αn（t）}（），{βn（t）}（）分别一致收敛与边值问题（1）的极限解y*（t）与y*（t）。y*（t），y*（t）∈[β0，α0]。
证明 将分4步证明。
第一步，证β0≤ Aβ0，Aα0≤α0。由C的定义与引理1。4，可以直接得出上述结论。
第二步，当β0≤ξ1≤ξ2≤α0时，证Aξ2≤ Aξ1。
令u=p（Aξ2′）-p（Aξ1′），则：u′=[p（Aξ2′）-p（Aξ1′）]′=f（t，ξ2）-f（t，ξ1）≤0。即-u′≥0。u（1）-δ*u（η）=[p（Aξ2′（1））-p（Aξ1′（1））]-δ*[p（Aξ2′（η））-p（Aξ1′（η））]≥0。根据推论1。2，得到u（t）≤0，即Aξ2≤ Aξ1。
令γ=Aξ2-Aξ1，则γ′=Aξ2′-Aξ1′≥0，又知γ（1）=δγ（η）。
由引理1。1知u≤0，即Aξ2≤ Aξ1。
第三步，证边值问题（1）有解。
令αn=Aαn-1，βn=Aβn-1。 n=1，2，…。由上述两个步骤，有β0≤β1≤…≤βn≤…≤αn≤…≤α1≤α0。显然，每个αi，βi满足方程（1）的Laplace形式。故存在y*与y*，当且仅当limi+∞αi（t）=y*（t），limi+∞βi（t）=y*（t）。y*与y*满足边值问题（1）。
最后，证y*与y*是（1）的极限解。设y（t）是（1）的解，则y（t）满足β0（t）≤ y（t）≤α0（t），t∈（0，1）。如果βn（t）≤ y（t）≤αn（t），t∈（0，1），则证βn+1（t）≤ y（t）≤αn+1（t）。令u（t）=y（t）-αn+1（t），t∈（0，1）。u′（t）=y′（t）-αn+1（t）≤0。即-u′≥0。u（1）-δu（η）=[y（1）-αn+1]-δ[y（η）-αn+1（η）]=0。由推论1。2，得到u（t）≤0，即y（t）≤αn+1（t）。
同理可证，y（t）≥βn+1。
所以βn+1（t）≤ y（t）≤αn+1（t），t∈（0，1）。则y*（t）≤ y（t）≤ y*（t）。
所以y*与y*是（1）的极限解。
参考文献：
[1] GE W。Boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations[M]。Beijing：Science Press，2007。
[2] GE W，REN J。A extnsion of Mawhin′s continuation theorem and its application to boundary value problem with a p-laplacian[J]。Nonlinear Anal，2004，58：447-448。
[3] DING W，HAN M。Periodic boundary value problems for second order impulsive functional differential equations[J]。Appli Math and Compu，2004，155：709-726。
[4] LAKSHMIKANTHAM V，BAINOV D D，SIMEONOV P S。Theory of impulsive differential equations[M]。Singapore：World Scientific，1989。
[5] BAI Z，HUANG B，GE W。The iterative solutions for some fourth-order p-laplace equation boundary value problems[J]。Applied Math Lett，2006，16：8-14。
关键词： p-Laplace算子； 上下解； 单调算子； 线性边值问题
中图分类号： O 175。2 文献标识码： A 文章编号： 1000-5137（2013）02-0125-05
0 引 言
边值问题理论在微分方程中是非常重要的一个领域。在近些年，边值问题由于其广泛的理论与实际背景而备受关注，见文献[1-7]。比如在物理学弦振动问题中，常常会遇到方程求解，这时就需要考虑实际背景，也就是要添加其边值条件。研究边值问题的方法有很多，文献[1，2]利用Mawhin的延续定理，上下解问题[1，8]，单调迭代方法[3]，等等。在这些方法中，利用上下解和单调迭代方法是证明边值问题极限解存在性的一种非常有用的方法，见[6，7，9，10]。
然而，由于有些问题的性质不同，使得对它们的研究更加困难。目前有很多文章[11，12]是研究线性边值条件的，但研究非线性边值条件的就比较少了[13]，而研究p-laplace算子的就更少了[14，15]。原因在于p-laplace算子会使问题变得更加复杂。
在这篇文章中，考虑了如下带有p-laplace算子的边值问题： [p（x′）]′+f（t，x）=0，t∈（0，1）
第二步，令v（t）=γ（t）-α0（t），由第一步知v′（t）=γ′（t）-α0′（t）≤0，由边界条件v（1）=δv（η），再根据引理1。1，可得v≤0，则γ≤α0。
同理可证，γ≥β0，γ′≥β0′。
2 主要结果
对α0，β0∈ C，定义β0≤α0，β0（t）≤α0（t），t∈（0，1）。
定理2。1 当（H1），（H2）成立，且δ>1，设α0和β0是边值问题（1）的下解和上解，并且有β0（t）≤α0（t），t∈（0，1），则存在单调序列{αn（t）}（），{βn（t）}（）分别一致收敛与边值问题（1）的极限解y*（t）与y*（t）。y*（t），y*（t）∈[β0，α0]。
证明 将分4步证明。
第一步，证β0≤ Aβ0，Aα0≤α0。由C的定义与引理1。4，可以直接得出上述结论。
第二步，当β0≤ξ1≤ξ2≤α0时，证Aξ2≤ Aξ1。
令u=p（Aξ2′）-p（Aξ1′），则：u′=[p（Aξ2′）-p（Aξ1′）]′=f（t，ξ2）-f（t，ξ1）≤0。即-u′≥0。u（1）-δ*u（η）=[p（Aξ2′（1））-p（Aξ1′（1））]-δ*[p（Aξ2′（η））-p（Aξ1′（η））]≥0。根据推论1。2，得到u（t）≤0，即Aξ2≤ Aξ1。
令γ=Aξ2-Aξ1，则γ′=Aξ2′-Aξ1′≥0，又知γ（1）=δγ（η）。
由引理1。1知u≤0，即Aξ2≤ Aξ1。
第三步，证边值问题（1）有解。
令αn=Aαn-1，βn=Aβn-1。 n=1，2，…。由上述两个步骤，有β0≤β1≤…≤βn≤…≤αn≤…≤α1≤α0。显然，每个αi，βi满足方程（1）的Laplace形式。故存在y*与y*，当且仅当limi+∞αi（t）=y*（t），limi+∞βi（t）=y*（t）。y*与y*满足边值问题（1）。
最后，证y*与y*是（1）的极限解。设y（t）是（1）的解，则y（t）满足β0（t）≤ y（t）≤α0（t），t∈（0，1）。如果βn（t）≤ y（t）≤αn（t），t∈（0，1），则证βn+1（t）≤ y（t）≤αn+1（t）。令u（t）=y（t）-αn+1（t），t∈（0，1）。u′（t）=y′（t）-αn+1（t）≤0。即-u′≥0。u（1）-δu（η）=[y（1）-αn+1]-δ[y（η）-αn+1（η）]=0。由推论1。2，得到u（t）≤0，即y（t）≤αn+1（t）。
同理可证，y（t）≥βn+1。
所以βn+1（t）≤ y（t）≤αn+1（t），t∈（0，1）。则y*（t）≤ y（t）≤ y*（t）。
所以y*与y*是（1）的极限解。
参考文献：
[1] GE W。Boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations[M]。Beijing：Science Press，2007。
[2] GE W，REN J。A extnsion of Mawhin′s continuation theorem and its application to boundary value problem with a p-laplacian[J]。Nonlinear Anal，2004，58：447-448。
[3] DING W，HAN M。Periodic boundary value problems for second order impulsive functional differential equations[J]。Appli Math and Compu，2004，155：709-726。
[4] LAKSHMIKANTHAM V，BAINOV D D，SIMEONOV P S。Theory of impulsive differential equations[M]。Singapore：World Scientific，1989。
[5] BAI Z，HUANG B，GE W。The iterative solutions for some fourth-order p-laplace equation boundary value problems[J]。Applied Math Lett，2006，16：8-14。