多维视角巧切入 解三角形妙破解

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  摘 要:解三角形问题主要借助平面几何图形,特别是三角形中的边与角之间的关系,通过正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等加以合理转化与应用,有时还综合三角函数中的相关公式加以综合与运算,从而达到破解相关的边、角、比值、面积、参数等相应的问题.此类问题有助于学生知识体系的进一步融会贯通,数学解题能力与数学应用能力的全面提升,真正达到拓展思维,提升能力,培养素养的目的.
  关键词:解三角形;正弦定理;余弦定理;平面几何;变式;拓展
  中图分类号:G632      文献标识码:A      文章编号:1008-0333(2020)34-0037-02
  收稿日期:2020-09-05
  作者简介:郭建能(1980.12-),女,江苏省启东人,本科,中学二级教师,从事高中数学教学研究.
  
  解三角形问题是每年高考中的基本考点之一,有时以选择题或填空题的形式出现,有时以解答题的形式出现,一般难度维持在中等档次.解三角形问题主要借助平面几何图形,特别是三角形中的边与角之间的关系,通过正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等加以合理转化与应用,有时还综合三角函数中的相关公式加以综合与运算,从而达到破解相关的边、角、比值、面积、参数等相应的问题.解三角形往往与三角函数、平面向量等相关知识加以综合,一般运算量大、公式应用多.可以很好考查考生的运算求解能力,化归与转化思想等,关键要善于审题,合理转化,采用有效的策略,优化过程,提升效益.
   一、真题在线
  高考真题 (2019·北京卷文·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.
  (1)求b,c的值;
  (2)求sin(B+C)的值.
   二、真题解析
  1.破解思维:解三角形思维
  方法1 (官方标答——正、余弦定理法)
  (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c×(-12).
  因為b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-12).
  解得c=5,所以b=c+2=7.
  (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.
  由正弦定理,得sinA=absinB=3314.
  在△ABC中,B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.
  点评 解三角形问题,多为平面几何图形中边和角的求值与转化问题,这就需要根据正弦定理、余弦定理以及三角形中的相关公式(三角形的面积公式、三角形内角和公式等),结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其破解问题的基本步骤是:第一步:“定条件”,即确定平面几何图形,特别是三角形中的已知和所求,在平面几何图形中标出来,然后确定转化的方向;第二步:“定工具”,即根据条件和所求,有效、合理选择转化的工具,实施边与角之间的相互转化与应用;第三步:“求结果”.
  2.破解思维:平面几何思维
  方法2 (平面几何法1)
  图1
  如图1所示,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
  (1)设DB=m,由于cosB=-12,可得AB=c=2m,AD=3m.
  而b-c=2,则有b=c+2=2m+2,
  在Rt△ADC中,结合勾股定理有AD2+DC2=AC2,即(3m)2+(m+3)2=(2m+2)2,
  解得m=52,所以c=2m =5,b=c+2=7.
  (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.
  由正弦定理,得sinA=absinB=3314.
  在△ABC中,B+C=π-A,
  所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.
  方法3 (平面几何法2)
  图2如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
  (1)由于a=3,cosB=-12,可得BD=12a=32,CD=32a=332.
  而b-c=2,则有b=c+2.
  在Rt△ACD中,结合勾股定理有CD2+DA2=CA2,
  即(332)2+(32+c)2=(c+2)2,
  
  解得c=5,所以b=c+2=7.
  (2)在Rt△ACD中,sinA=CDDA=3327=3314.
  在△ABC中,B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=3314.
  点评 解三角形问题本身就是在平面几何中进行的一般化探究与总结,因而解三角形问题往往也可以回归平面几何,借助平面几何的相关知识加以思维与破解.利用平面几何知识破解复杂的解三角形问题时,关键是根据条件加以合理切割、补形等操作,将问题背景转化到特殊的三角形模型中去——直角三角形、等腰三角形或等边三角形等,进而结合特殊三角形中的相关定理与性质(特别是直角三角形,比如勾股定理等)来处理,往往可以更为直观形象、简单快捷地达到解决一些相关的解三角形问题.
   三、变式拓展
  变式 (2019·北京卷理·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.
  (1)求b,c的值;
  (2)求sin(B-C)的值.
  解析 (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
  得b2=32+c2-2×3×c×(-12).
  因为b=c+2,
  所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-12).
  解得c=5,所以b=c+2=7.
  (2)由cosB=-12,得sinB=1-cos2B=32.
  由正弦定理,得sinC=cbsinB=5314.
  在△ABC中,∠B为钝角,所以∠C为锐角.
  所以cosC=1-sin2C=1114.
  所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.
   四、解后反思
  对于解三角形中的相关综合问题,关键是有效发现三角形中的边、角等要素之间的内在联系与变化规律,利用解三角形中的相关知识(包括正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)以及三角函数中的相关公式等加以有效转化,从而充分融合与交汇不同的知识点,构建起知识点的有效联系与合理转化,真正有助于学生知识体系的进一步融会贯通,数学解题能力与数学应用能力的全面提升,真正达到拓展思维,提升能力,培养素养的目的.
   参考文献:
  [1]蒋凯,钱云祥.法随心动 心由境生——由一道数学题的解法探究产生的若干思考[J].数学通报,2019(03):42-45.
  [责任编辑:李 璟]
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