论文部分内容阅读
题目:(满分14分)已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,…).从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln,切点为Pn(xn,yn).
(1)求数列xn与yn的通项公式;(2)证明:x1•x3•x5…x2n-1<
一、总体分析
利用直线和二次曲线的方程研究直线与二次曲线的位置关系,是高考解析几何命题的一个热点,常常作为压轴题在高考中出现.但由于其运算量大,代数推理能力要求高,综合性强,考生即使具备了良好的数学认知结构,也难以在较短的时间内完整地解答.
为了体现“突出思维考查,淡化套路计算”的思想,该题巧妙地以直线与圆的位置关系为背景,结合二次方程根与判别式的性质关系,考查曲线的切线的几何性质、导数及其应用、数列与数学归纳法、不等式证明、构造函数等知识,考查化归和分类与整合的数学思想,以及抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识.该题解题方法灵活多样,给考生以较大的思维空间,从而降低了问题的绝对难度,提高了中上学生与优秀学生的区分度,起到了较好的压轴效果.
二、得分情况统计
随机选取约33.6万份样卷进行统计,考生平均得分0.58分,难度为0.041,标准差1.26.将0～14分划分为6个分数段,各分数段人数及比例如下表:
作为压轴题,平均分低已在意料之中,但0分和1～3分数段比例如此之高,值得我们深思.该题考查的知识内容并不算复杂,甚至可以说是由一些非常基础的内容经过整合设计而成,例如直线和圆的位置关系、二次方程有两相等实根的条件、数学归纳法与简单的函数构造法思想等.
三、典型错误分析
随机抽取7482份样卷进行分析,考生有以下9种典型的错误.
1. 信心不足或时间不够.有3664份空白卷,约占全部样卷的48.98%,另有301份虽有作答,但无法得分,约占全部样卷的4.02%.
2. 运算能力差.有1862份能够列出切线ln的方程,且与曲线Cn的关系式组成方程组,但求不出正确结果,约占全部样卷的24.89%.
3. 心态不稳或过分紧张导致审题不仔细.没有注意到kn>0,对kn的解进行分类讨论,结果出错.
4. 公式记忆不牢.点到直线的距离公式中x或y系数的正负号出错;在求根式的导数时,分母少了倍数2,导致错误.
5. 创新意识差.不能识别新的问题模式,生搬硬套,仅对曲线Cn的关系式进行递推,幻想通过老师教的“数列通项公式求法宝典”进行求解.
6. 数形结合意识不强.面对非常明显的解析几何背景,不去尝试画出图形,导致找不到问题的突破口.只有72份样卷作了图形,约占全部样卷的0.96%,这其中仅11份作图正确,正确率约占全部样卷的0.15%.
7. 函数的相关概念不清.不能正确理解常量、变量、函数等概念.曲线Cn是以(n,0)为圆心、以n为半径的圆;但由于n同时是一个变量,有考生画出一系列圆Ci(i=1,2,…) ,试图求出对应的ki,xi和yi(i=1,2,…),再归纳出数列的通项公式.这样做,当然容易出错!这是由题海训练造成的思维定势引起的恶果.还有些考生用kn来表示xn和yn,正确的理解是:kn 、xn和yn都为n的函数,它们的自变量都是n.
8. 数学归纳法没学好.只有254份样卷做了第(2)问,约占全部样卷的3.39%.其实入题思路并不难,对左边不等式,数学归纳法是最简单且最有效的证明方法.
9. 数学符号感差.表现在对第(2)问的右边不等式证明中,不会利用“以数的眼光看式子”,构造不出合适的函数模型,不知从何处着手.这是由于初、高中代数不过关所造成的.
四、第(1)问解法分析
解法1:利用二次方程根的判别式性质求解
直线ln的方程为y=kn(x+1),代入曲线Cn的方程,得(k2n+1)x2-2(n-k2n)x+k2n=0 (*).方程(*)有两个相等的实数根xn,故△=4(n-k2n)2-4(k2n+1)k2n=0,从而kn=(kn>0).结合kn关系式,解方程(*),得xn==,从而yn=kn(xn+1)=.
解法2:利用圆上点的切线公式求解
对于曲线Cn:(x-n)2+y2=n2,过该圆上点Pn(xn,yn)的切线方程为(x-n)(xn-n)+yyn=n2.点P(-1,0)在该切线上,故(-1,-n)(xn-n)+0=n2,解得xn=,从而yn=kn(xn+1)=.
解法3:利用相切的性质求解
曲线Cn可化为(x-n)+y2=n2,此为圆心在Cn(n,0),半径为n的圆,且圆Cn在点Pn(xn,yn)的切线ln过点P(-1,0),则ln的方程为y=kn(x+1),且kn>0,即有kn•xn-yn+kn=0①;而ln⊥PnCn,则kn×=-1,即xn+kn•yn-n=0②;因为ln是Cn的切线,所以=n,解得kn=③.
由①②③可解得xn=,yn= .
解法4:利用斜率的概念求解
在直角三角形PPnCn中,|PnCn|=n,|PCn|=n+1,所以|PPn|==.由斜率的几何意义,得kn=tan∠PnPCn=,结合解法3中的①②两式,即可求得xn和yn.
解法5:利用勾股定理求解
在直角三角形PPnCn中,利用勾股定理|PCn|2=|PPn|2+|PnCn|2,可得xn和yn满足关系式x2n+2xn+y2n=2n①;由Pn在曲线Cn上知(xn-n)2+y2n=n2②.
将①②联立成方程组,并注意到yn>0,可解得xn=,yn= .
解法6:利用求导法求解
曲线Cn的切线ln的斜率kn>0,且过点P(-1,0),故只需考虑曲线Cn所表示的圆的上半部分方程为y=,且y>0. 对x求导,y′=. 由于曲线在点Pn(xn,yn)处的导数,等于曲线上过该点的切线的斜率,故kn=.另一方面,利用斜率的定义,有kn=,所以=①;又点Pn(xn,yn)在圆Cn上,有x2n-2nxn+y2n=0②.
联立①②,解得xn=, yn=.
五、第(2)问证明方法分析
由(1)知xn=, yn=,则所证明的不等式可变为①和②:
••…•< ①
1. 用数学归纳法证明①式(略)
2. 用放缩法证明①式
思路1:仔细观察①式,左边是个分式相乘,而右边是分子为1,分母为的一个分式.不妨大胆设想,通过放缩法,对左边错位相消,即从第2项起,前一分式的分母与后一分式的分子完全相消,最后余下第n项分式的分母应为.
由此左边乘积的第n项放大后为<,An是n的一个函数.为了能够错位相消,第n-1项则对应放大后为<,An-1是n的一个函数.对比第n项放大后的形式知,An==.于是考虑<是否对一切非零自然数成立? 此不等式显然成立,从而推得①式成立.
思路2 :将<再放大, =<,即<,从而推得①式成立.
3. 构造数列证明①式
思路分析:设数列{an}的通项公式为an=••….,n=1,2,….显然an>0,则由==<1推得an+1 4. 构造函数证明②式
对于②式<•sin,以数的眼光看式子,代数式的值是一个数,它随着n的变化而改变,即可看作是一个变量.所以令x=.于是②式化归为想x 思路1:令f(x)=x-sinx,则f ′(x)=1-cosx.当x∈[0,)时,f ′(x)=1-cosx<0,故f(x)在[0,)上是减函数.当n≥1时,取x=∈(0,), 故f(x) 思路2:令f(x)=sinx-x.以下类似于思路1,此略.
思路3:令f(x)=,则 f ′(x)=.再令g(x)=x-tanx,则g′(x)=1-.当x∈ (0,)时, g′(x)<0,故g(x)=x-tanx在(0,)上单调递减,g(x) >f()=>1,即 最后,我们再指出三点结论:
1. 第(2)问不等式中的是降低题目绝对难度的一个桥梁,若把它去掉,此题就非常难了;
2. 通过肉眼观测,点Pn(xn,yn),n=1,2,…似乎是共线的,但可以证明其实不然;
3. 第(2)问的不等式还可以精细化为••…≤ 责任编辑 罗 峰
(1)求数列xn与yn的通项公式;(2)证明:x1•x3•x5…x2n-1<
一、总体分析
利用直线和二次曲线的方程研究直线与二次曲线的位置关系,是高考解析几何命题的一个热点,常常作为压轴题在高考中出现.但由于其运算量大,代数推理能力要求高,综合性强,考生即使具备了良好的数学认知结构,也难以在较短的时间内完整地解答.
为了体现“突出思维考查,淡化套路计算”的思想,该题巧妙地以直线与圆的位置关系为背景,结合二次方程根与判别式的性质关系,考查曲线的切线的几何性质、导数及其应用、数列与数学归纳法、不等式证明、构造函数等知识,考查化归和分类与整合的数学思想,以及抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识.该题解题方法灵活多样,给考生以较大的思维空间,从而降低了问题的绝对难度,提高了中上学生与优秀学生的区分度,起到了较好的压轴效果.
二、得分情况统计
随机选取约33.6万份样卷进行统计,考生平均得分0.58分,难度为0.041,标准差1.26.将0～14分划分为6个分数段,各分数段人数及比例如下表:
作为压轴题,平均分低已在意料之中,但0分和1～3分数段比例如此之高,值得我们深思.该题考查的知识内容并不算复杂,甚至可以说是由一些非常基础的内容经过整合设计而成,例如直线和圆的位置关系、二次方程有两相等实根的条件、数学归纳法与简单的函数构造法思想等.
三、典型错误分析
随机抽取7482份样卷进行分析,考生有以下9种典型的错误.
1. 信心不足或时间不够.有3664份空白卷,约占全部样卷的48.98%,另有301份虽有作答,但无法得分,约占全部样卷的4.02%.
2. 运算能力差.有1862份能够列出切线ln的方程,且与曲线Cn的关系式组成方程组,但求不出正确结果,约占全部样卷的24.89%.
3. 心态不稳或过分紧张导致审题不仔细.没有注意到kn>0,对kn的解进行分类讨论,结果出错.
4. 公式记忆不牢.点到直线的距离公式中x或y系数的正负号出错;在求根式的导数时,分母少了倍数2,导致错误.
5. 创新意识差.不能识别新的问题模式,生搬硬套,仅对曲线Cn的关系式进行递推,幻想通过老师教的“数列通项公式求法宝典”进行求解.
6. 数形结合意识不强.面对非常明显的解析几何背景,不去尝试画出图形,导致找不到问题的突破口.只有72份样卷作了图形,约占全部样卷的0.96%,这其中仅11份作图正确,正确率约占全部样卷的0.15%.
7. 函数的相关概念不清.不能正确理解常量、变量、函数等概念.曲线Cn是以(n,0)为圆心、以n为半径的圆;但由于n同时是一个变量,有考生画出一系列圆Ci(i=1,2,…) ,试图求出对应的ki,xi和yi(i=1,2,…),再归纳出数列的通项公式.这样做,当然容易出错!这是由题海训练造成的思维定势引起的恶果.还有些考生用kn来表示xn和yn,正确的理解是:kn 、xn和yn都为n的函数,它们的自变量都是n.
8. 数学归纳法没学好.只有254份样卷做了第(2)问,约占全部样卷的3.39%.其实入题思路并不难,对左边不等式,数学归纳法是最简单且最有效的证明方法.
9. 数学符号感差.表现在对第(2)问的右边不等式证明中,不会利用“以数的眼光看式子”,构造不出合适的函数模型,不知从何处着手.这是由于初、高中代数不过关所造成的.
四、第(1)问解法分析
解法1:利用二次方程根的判别式性质求解
直线ln的方程为y=kn(x+1),代入曲线Cn的方程,得(k2n+1)x2-2(n-k2n)x+k2n=0 (*).方程(*)有两个相等的实数根xn,故△=4(n-k2n)2-4(k2n+1)k2n=0,从而kn=(kn>0).结合kn关系式,解方程(*),得xn==,从而yn=kn(xn+1)=.
解法2:利用圆上点的切线公式求解
对于曲线Cn:(x-n)2+y2=n2,过该圆上点Pn(xn,yn)的切线方程为(x-n)(xn-n)+yyn=n2.点P(-1,0)在该切线上,故(-1,-n)(xn-n)+0=n2,解得xn=,从而yn=kn(xn+1)=.
解法3:利用相切的性质求解
曲线Cn可化为(x-n)+y2=n2,此为圆心在Cn(n,0),半径为n的圆,且圆Cn在点Pn(xn,yn)的切线ln过点P(-1,0),则ln的方程为y=kn(x+1),且kn>0,即有kn•xn-yn+kn=0①;而ln⊥PnCn,则kn×=-1,即xn+kn•yn-n=0②;因为ln是Cn的切线,所以=n,解得kn=③.
由①②③可解得xn=,yn= .
解法4:利用斜率的概念求解
在直角三角形PPnCn中,|PnCn|=n,|PCn|=n+1,所以|PPn|==.由斜率的几何意义,得kn=tan∠PnPCn=,结合解法3中的①②两式,即可求得xn和yn.
解法5:利用勾股定理求解
在直角三角形PPnCn中,利用勾股定理|PCn|2=|PPn|2+|PnCn|2,可得xn和yn满足关系式x2n+2xn+y2n=2n①;由Pn在曲线Cn上知(xn-n)2+y2n=n2②.
将①②联立成方程组,并注意到yn>0,可解得xn=,yn= .
解法6:利用求导法求解
曲线Cn的切线ln的斜率kn>0,且过点P(-1,0),故只需考虑曲线Cn所表示的圆的上半部分方程为y=,且y>0. 对x求导,y′=. 由于曲线在点Pn(xn,yn)处的导数,等于曲线上过该点的切线的斜率,故kn=.另一方面,利用斜率的定义,有kn=,所以=①;又点Pn(xn,yn)在圆Cn上,有x2n-2nxn+y2n=0②.
联立①②,解得xn=, yn=.
五、第(2)问证明方法分析
由(1)知xn=, yn=,则所证明的不等式可变为①和②:
••…•< ①
2. 用放缩法证明①式
思路1:仔细观察①式,左边是个分式相乘,而右边是分子为1,分母为的一个分式.不妨大胆设想,通过放缩法,对左边错位相消,即从第2项起,前一分式的分母与后一分式的分子完全相消,最后余下第n项分式的分母应为.
由此左边乘积的第n项放大后为<,An是n的一个函数.为了能够错位相消,第n-1项则对应放大后为<,An-1是n的一个函数.对比第n项放大后的形式知,An==.于是考虑<是否对一切非零自然数成立? 此不等式显然成立,从而推得①式成立.
思路2 :将<再放大, =<,即<,从而推得①式成立.
3. 构造数列证明①式
思路分析:设数列{an}的通项公式为an=••….,n=1,2,….显然an>0,则由==<1推得an+1
对于②式<•sin,以数的眼光看式子,代数式的值是一个数,它随着n的变化而改变,即可看作是一个变量.所以令x=.于是②式化归为想x
思路3:令f(x)=,则 f ′(x)=.再令g(x)=x-tanx,则g′(x)=1-.当x∈ (0,)时, g′(x)<0,故g(x)=x-tanx在(0,)上单调递减,g(x)
1. 第(2)问不等式中的是降低题目绝对难度的一个桥梁,若把它去掉,此题就非常难了;
2. 通过肉眼观测,点Pn(xn,yn),n=1,2,…似乎是共线的,但可以证明其实不然;
3. 第(2)问的不等式还可以精细化为••…≤