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图1
题目：已知，如图1，AC是圆O的直径，BC是圆O的弦，点P是圆O外一点，∠PBA=∠C.（1）求证：
PB是圆O的切线；（2）OP∥BC，且OP=8，BC=2.求圆O的半径.
解析：命题者把三个直角三角形有机地组合在一个圆上，提出两个常见的问题：一是求证PB是圆O的切线；二是求圆O的半径，可见这是个几何综合题.不过这里有个问题值得指出：从命题所给的两条线段：OP=8，BC=2，显然OP是BC的4倍，
如图所示.而且直尺量一下，题所给的线段的长度，OP是BC的2倍，可见数学与图形是不符的.因此，这里应将数字改为符合图形的OP=42，BC=22，从而保持原来的答案不变，即圆O的半径为22.
如连结OB，可一线两用，不仅可用OB构成的直角证明PB是圆O的切线，而且可用OB 构成的直角三角形求出圆O半径的长.即BO2=OH·OP=
2·42=8，所以BO=22.（且为AB与OP的交点）利用这个图形，还可发现△OBC是等边三角形.Rt△
ABC的两个锐角是特殊的角，即∠BAC=30°，∠ACB=60°.据此可用多种方法证解这两个问题.
1.证明PB是圆O的切线：
证法1：如图1，连结OB，因为AC是圆O的直径.所以∠ABC=90°，即∠ABO+∠
OBC=90°，因为OP∥BC，所以∠CBQ=∠OPB=∠BAC=∠ABO，所以∠CBQ+∠OBC=90°，
所以∠CBQ=90°，所以QB⊥BO，因为BO是圆的半径.
所以QB是圆O的切线，即PB是圆O的切线.
证法2：如图1，连结OB，因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，即∠
ABO+∠OBC=90°，因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB=∠PBA，所以∠ABO+∠PBA=90°，
即∠PBO=90°，所以PB⊥BO，因为BO是圆O的半径，所以PB是圆O的切线.
图2
证法3：如图2，连结BO、BE，过点E作EF⊥
OP交PB于F，连结OF.设AB与OP相交于H，
因为AB⊥OP，EF⊥OP，所以AB∥EF，
所以∠ABE=∠FEB，
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，
所以∠ABO+∠OBC=90°，
因为∠PBA=∠BCO=∠OBC，所以∠PBO=∠ABO+∠ABP=90°，
在Rt△PBO中，BO2=OH·OP，因为OH是△ABC的中位线，
所以OH=12BC=12×
22=
2，所以BO2=
2·42=8.
所以BO=22.所以BO=CO=BC=22.
所以△OBC是等边三角形，所以∠ACB=60°，∠BAC=30°，
因为OE 瘙 綊 BC，所以四边形BCOE是平行四边形，
所以AC∥BE，所以∠BAC=∠ABE=∠FEB=30°，
又∠FBE=∠PBA-∠ABE=60°-30°=30°，
所以∠FBE=∠FEB，所以FE=FB，EO=BO，FO=FO，
所以△FEO≌△FBO，所以∠FEO=∠FBO=90°，
所以FB⊥BO，即PB⊥BO.因为BO是圆O的半径，
所以PB是圆O的切线.
图3
证法4：如图3，连结OB，过点C作CQ⊥AC交PB于Q，连结OQ，
因为∠QCB=∠BAC=∠BPO=∠QBC，
所以QC=QB，又CO=BO，QO=QO.
所以△QCO≌△QBO，所以∠QCO=∠QBO=90°.
即QB⊥BO，所以PB⊥BO，
因为BO是圆O的半径.
所以PB是圆O的切线.
图4
证法5：如图4，连结OB、PA.
因为AC是圆O的直径，所以
∠ABC=90°，
所以AB⊥BC，因为OP∥BC，所以AB⊥OP于H，所以AH=HB，因为
PO是AB的中垂线.所以PA=PB，所以∠
PAB=∠PBA=∠ACB=60°，∠BAC=30°，
所以∠PAO=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°，
因为AO=BO，OP=OP，PA=PB，所以△PBO≌△PAO.
所以∠PBO=∠PAO=90°，所以PB⊥BO，
因为BO是圆O的半径，所以PB是圆O的切线.
（2）求圆O的半径
解法1：如图4，连结PA.由证5知PA⊥AO.由证3知OH=2，在Rt△PAO中，AH⊥
PO.所以AO2=OH·PO=2·42=8，所以AO=22.
解法2：
如图4，连结OB，在Rt△BHO，BH2=BO2-OH2，
因为BO=22，OH=2，所以BH2=（22）2-
（2）2=8-2=6.
所以BH=6，因为∠PBA=∠C=∠AOH，∠PHB=∠AHO，
所以Rt△PHB∽Rt△AHO，所以PBAO=
BHOH.
在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（32）2+
（6）2=24.
所以PB=
26，所以26AO
=62，所以AO=22.
解法3：如图4
，连结OB，
由解法1知AO=BO=CO=BC=22.
所以△OBC是等边三角形，所以∠OCB=60°.
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BCAC=cos∠BCO=
12，
所以22AC=
12，所以AC=42.
所以BO=12AC=12×42=
22.
解法4：如图4，连结OB.
由解法3知△OBC是等边三角形，因为OB=OA，
所以∠OBH=∠OAH=30°，在Rt△BHO中，OHBO=
sin∠BOH，
因为∠BOH=∠OBC=60°，所以OHBO=sin60°=12.
所以BO=OH1/2=21/2=
22.
解法5：如图4，连结OB.
因为PB是圆O的切线，所以PB⊥圆O，
在Rt△PBO中，BO2=PO2-PB2，因为PO=42，
PB=26，所以BO2=（42）2-（26）2=
32-24=8.
所以BO=22.
解法6：如图4，连结BO.
因为OC=OB，∠C=∠OBC，因为OP∥Bc.
所以∠POB=∠OBC，所以∠C=∠POB，
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，
因为PB是圆O的切线，所以PB⊥BO.所以∠PBO=90°，
所以∠ABC=∠PBO，所以△ABC∽△PBO，所以ACOP=
BCOB.
因为AC=42，OP=42，OB=BC=
22，
所以AC42=22OB，
即2BO2=16，所以BO=22.
题目：已知，如图1，AC是圆O的直径，BC是圆O的弦，点P是圆O外一点，∠PBA=∠C.（1）求证：
PB是圆O的切线；（2）OP∥BC，且OP=8，BC=2.求圆O的半径.
解析：命题者把三个直角三角形有机地组合在一个圆上，提出两个常见的问题：一是求证PB是圆O的切线；二是求圆O的半径，可见这是个几何综合题.不过这里有个问题值得指出：从命题所给的两条线段：OP=8，BC=2，显然OP是BC的4倍，
如图所示.而且直尺量一下，题所给的线段的长度，OP是BC的2倍，可见数学与图形是不符的.因此，这里应将数字改为符合图形的OP=42，BC=22，从而保持原来的答案不变，即圆O的半径为22.
如连结OB，可一线两用，不仅可用OB构成的直角证明PB是圆O的切线，而且可用OB 构成的直角三角形求出圆O半径的长.即BO2=OH·OP=
2·42=8，所以BO=22.（且为AB与OP的交点）利用这个图形，还可发现△OBC是等边三角形.Rt△
ABC的两个锐角是特殊的角，即∠BAC=30°，∠ACB=60°.据此可用多种方法证解这两个问题.
1.证明PB是圆O的切线：
证法1：如图1，连结OB，因为AC是圆O的直径.所以∠ABC=90°，即∠ABO+∠
OBC=90°，因为OP∥BC，所以∠CBQ=∠OPB=∠BAC=∠ABO，所以∠CBQ+∠OBC=90°，
所以∠CBQ=90°，所以QB⊥BO，因为BO是圆的半径.
所以QB是圆O的切线，即PB是圆O的切线.
证法2：如图1，连结OB，因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，即∠
ABO+∠OBC=90°，因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB=∠PBA，所以∠ABO+∠PBA=90°，
即∠PBO=90°，所以PB⊥BO，因为BO是圆O的半径，所以PB是圆O的切线.
图2
证法3：如图2，连结BO、BE，过点E作EF⊥
OP交PB于F，连结OF.设AB与OP相交于H，
因为AB⊥OP，EF⊥OP，所以AB∥EF，
所以∠ABE=∠FEB，
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，
所以∠ABO+∠OBC=90°，
因为∠PBA=∠BCO=∠OBC，所以∠PBO=∠ABO+∠ABP=90°，
在Rt△PBO中，BO2=OH·OP，因为OH是△ABC的中位线，
所以OH=12BC=12×
22=
2，所以BO2=
2·42=8.
所以BO=22.所以BO=CO=BC=22.
所以△OBC是等边三角形，所以∠ACB=60°，∠BAC=30°，
因为OE 瘙 綊 BC，所以四边形BCOE是平行四边形，
所以AC∥BE，所以∠BAC=∠ABE=∠FEB=30°，
又∠FBE=∠PBA-∠ABE=60°-30°=30°，
所以∠FBE=∠FEB，所以FE=FB，EO=BO，FO=FO，
所以△FEO≌△FBO，所以∠FEO=∠FBO=90°，
所以FB⊥BO，即PB⊥BO.因为BO是圆O的半径，
所以PB是圆O的切线.
图3
证法4：如图3，连结OB，过点C作CQ⊥AC交PB于Q，连结OQ，
因为∠QCB=∠BAC=∠BPO=∠QBC，
所以QC=QB，又CO=BO，QO=QO.
所以△QCO≌△QBO，所以∠QCO=∠QBO=90°.
即QB⊥BO，所以PB⊥BO，
因为BO是圆O的半径.
所以PB是圆O的切线.
图4
证法5：如图4，连结OB、PA.
因为AC是圆O的直径，所以
∠ABC=90°，
所以AB⊥BC，因为OP∥BC，所以AB⊥OP于H，所以AH=HB，因为
PO是AB的中垂线.所以PA=PB，所以∠
PAB=∠PBA=∠ACB=60°，∠BAC=30°，
所以∠PAO=∠PAB+∠BAC=60°+30°=90°，
因为AO=BO，OP=OP，PA=PB，所以△PBO≌△PAO.
所以∠PBO=∠PAO=90°，所以PB⊥BO，
因为BO是圆O的半径，所以PB是圆O的切线.
（2）求圆O的半径
解法1：如图4，连结PA.由证5知PA⊥AO.由证3知OH=2，在Rt△PAO中，AH⊥
PO.所以AO2=OH·PO=2·42=8，所以AO=22.
解法2：
如图4，连结OB，在Rt△BHO，BH2=BO2-OH2，
因为BO=22，OH=2，所以BH2=（22）2-
（2）2=8-2=6.
所以BH=6，因为∠PBA=∠C=∠AOH，∠PHB=∠AHO，
所以Rt△PHB∽Rt△AHO，所以PBAO=
BHOH.
在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（32）2+
（6）2=24.
所以PB=
26，所以26AO
=62，所以AO=22.
解法3：如图4
，连结OB，
由解法1知AO=BO=CO=BC=22.
所以△OBC是等边三角形，所以∠OCB=60°.
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BCAC=cos∠BCO=
12，
所以22AC=
12，所以AC=42.
所以BO=12AC=12×42=
22.
解法4：如图4，连结OB.
由解法3知△OBC是等边三角形，因为OB=OA，
所以∠OBH=∠OAH=30°，在Rt△BHO中，OHBO=
sin∠BOH，
因为∠BOH=∠OBC=60°，所以OHBO=sin60°=12.
所以BO=OH1/2=21/2=
22.
解法5：如图4，连结OB.
因为PB是圆O的切线，所以PB⊥圆O，
在Rt△PBO中，BO2=PO2-PB2，因为PO=42，
PB=26，所以BO2=（42）2-（26）2=
32-24=8.
所以BO=22.
解法6：如图4，连结BO.
因为OC=OB，∠C=∠OBC，因为OP∥Bc.
所以∠POB=∠OBC，所以∠C=∠POB，
因为AC是圆O的直径，所以∠ABC=90°，
因为PB是圆O的切线，所以PB⊥BO.所以∠PBO=90°，
所以∠ABC=∠PBO，所以△ABC∽△PBO，所以ACOP=
BCOB.
因为AC=42，OP=42，OB=BC=
22，
所以AC42=22OB，
即2BO2=16，所以BO=22.