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纵览2013年各地中考题可以发现，一些题目的图形或设问之间存在内在的辩证关系，如特殊与一般、抽象与具体、无限与有限的关系及生与熟、难与易、繁与简的关系等.如果能准确抓住这条暗藏的辩证线索，就可以把一般的、抽象的情形化归到特殊的、具体的、有限的情形，因为后者更为简单或更便于研究；同时，研究特殊的、具体的、有限的情形也可以归纳出一般的、抽象的、无限的情形或为其对比、借鉴与启示，从而顺利打开解题思路.今以命题内含的辩证线索为据分类例析，供读者参考.
一、从模型到应用
例1 （2013年江苏连云港）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究.
问题情境：如图1（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.求证：S四边形ABCD=S△ABF.（S表示面积）
问题迁移：如图1（2），在已知锐角∠AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值.请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由.
实际应用：如图1（3），若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4 km，试求△MON的面积.
（结果精确到0.1 km2，参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，3≈1.73）
拓展延伸：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（92，92）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值.
分析：本例是此类问题的典型代表，呈现出明显的从模型逐步推向应用的构题模式，思维上主要是调整、完善应用情形，“化归为模型”.图1（1）对应问题情境即是本题的模型，容易完成证明.图1（2）中，当P为MN 中点时，S△MON 最小.思路即为化归为模型：过点P作另外一条直线EF交OA、OB于点E、F，不妨设PE>PF，过点M作MG∥OB交EF于G.由“模型”知，当P为MN 中点时，S△MON = S四边形MOFG，由于S△EOF>S四边形MOFG，所以S△EOF>S△MON，即当P为MN 中点时，S△MON最小.此时，图1（2）成为新的模型，将之迁移到图1（3）中，可知当PM=PN时，△MON符合要求，进而结合所给数据，借助图中辅助线，利用三角形中位线性质得S△MON值.“拓展延伸”应分作两种情形考虑：①如图1（4）完善图形，当PM=PN时，S△DMN最小，此时S
四边形OANM最大，结合所给数据，利用三角形中位线性质，可得其值为10；②如图1（5）完善图形，当PM=PN时，S△TMN最小，此时S四边形OCMN最大，结合所给数据，先得直线BC解析式、点T坐标、S△TOC值；结合点P坐标，利用三角形中位线性质，可得点M坐标，进而可得S四边形OCMN=8.25，故截得四边形面积的最大值为10.
例2 （2013年山西卷）数学活动——求重叠部分面积.
问题情境：数学活动课上，老师提示了一问题：
如图2（1），将两块全等的直角三角形纸片ABC与DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C.求重叠部分（△DCG）的面积.
（1）独立思考：请解答老师提出的问题.
（2）合作交流：“数学小组”受此启发，将△DCG绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于H点，交DF于点G，如图2（2），你能求重部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程.
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题.
“爱心”小组提出：将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N使DM=MN，如图2（3）.求重叠部分（△DMN）的面积.
任务：①请解决“爱心”小组提出的问题.直接写出△DMN的面积是： .
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并画出图形，标明字母，不必解答.
分析：图2（1）中，易知S△DCG=6.图2（2）中，方法较多，能求得S△DGH=7516.图2（3）中，解决“爱心”小组问题并不需要解答过程，是与前面各问有什么联系吗？实际上，在图2（2）中，易得△DCA为等腰三角形，△ADH为直角三角形，且DG=GH；而在图2（3）中，仍有△DCA为等腰三角形，又DM=MN，对比图2（2），易判断△CDN为直角三角形，于是图2（3）中的阴影面积与图2（2）中的阴影面积相等.如何直观感受这一点呢？原因在于等腰△DCA具有对称性，把图2（2）和图2（3）的背面重合，两图的阴影部分也重合.仿提问题是开放的，可在图2（1）的基础上按顺时针方向旋转.由中可见，把图2（2）看作一个模型，它与图2（3）存有内在的辩证关系，即图2（3）可以化归为图2（2）的模型.这或许是题目在图2（3）中以填空题出现的原因吧！因此，解题与反思时不回避任何一个疑惑，深入思考，溯本穷源，刨根问底，终将得真知灼见.
二、从特殊到一般
例3 （2013年山东临沂卷）如图3，矩形ABCD中，∠ACB=
30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F.
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图3（1），则
PEPF的值为 .
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°<α<60°）角，如图3（2），求
PEPF的值.
（3）在（2）的基础上继续旋转，当
60°<α<90°，且使AP∶PC=1∶2时，如图3（3），
PEPF的值是否变化？证明你的结论.
一、从模型到应用
例1 （2013年江苏连云港）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究.
问题情境：如图1（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.求证：S四边形ABCD=S△ABF.（S表示面积）
问题迁移：如图1（2），在已知锐角∠AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值.请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由.
实际应用：如图1（3），若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4 km，试求△MON的面积.
（结果精确到0.1 km2，参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，3≈1.73）
拓展延伸：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（92，92）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值.
分析：本例是此类问题的典型代表，呈现出明显的从模型逐步推向应用的构题模式，思维上主要是调整、完善应用情形，“化归为模型”.图1（1）对应问题情境即是本题的模型，容易完成证明.图1（2）中，当P为MN 中点时，S△MON 最小.思路即为化归为模型：过点P作另外一条直线EF交OA、OB于点E、F，不妨设PE>PF，过点M作MG∥OB交EF于G.由“模型”知，当P为MN 中点时，S△MON = S四边形MOFG，由于S△EOF>S四边形MOFG，所以S△EOF>S△MON，即当P为MN 中点时，S△MON最小.此时，图1（2）成为新的模型，将之迁移到图1（3）中，可知当PM=PN时，△MON符合要求，进而结合所给数据，借助图中辅助线，利用三角形中位线性质得S△MON值.“拓展延伸”应分作两种情形考虑：①如图1（4）完善图形，当PM=PN时，S△DMN最小，此时S
四边形OANM最大，结合所给数据，利用三角形中位线性质，可得其值为10；②如图1（5）完善图形，当PM=PN时，S△TMN最小，此时S四边形OCMN最大，结合所给数据，先得直线BC解析式、点T坐标、S△TOC值；结合点P坐标，利用三角形中位线性质，可得点M坐标，进而可得S四边形OCMN=8.25，故截得四边形面积的最大值为10.
例2 （2013年山西卷）数学活动——求重叠部分面积.
问题情境：数学活动课上，老师提示了一问题：
如图2（1），将两块全等的直角三角形纸片ABC与DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C.求重叠部分（△DCG）的面积.
（1）独立思考：请解答老师提出的问题.
（2）合作交流：“数学小组”受此启发，将△DCG绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于H点，交DF于点G，如图2（2），你能求重部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程.
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题.
“爱心”小组提出：将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N使DM=MN，如图2（3）.求重叠部分（△DMN）的面积.
任务：①请解决“爱心”小组提出的问题.直接写出△DMN的面积是： .
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并画出图形，标明字母，不必解答.
分析：图2（1）中，易知S△DCG=6.图2（2）中，方法较多，能求得S△DGH=7516.图2（3）中，解决“爱心”小组问题并不需要解答过程，是与前面各问有什么联系吗？实际上，在图2（2）中，易得△DCA为等腰三角形，△ADH为直角三角形，且DG=GH；而在图2（3）中，仍有△DCA为等腰三角形，又DM=MN，对比图2（2），易判断△CDN为直角三角形，于是图2（3）中的阴影面积与图2（2）中的阴影面积相等.如何直观感受这一点呢？原因在于等腰△DCA具有对称性，把图2（2）和图2（3）的背面重合，两图的阴影部分也重合.仿提问题是开放的，可在图2（1）的基础上按顺时针方向旋转.由中可见，把图2（2）看作一个模型，它与图2（3）存有内在的辩证关系，即图2（3）可以化归为图2（2）的模型.这或许是题目在图2（3）中以填空题出现的原因吧！因此，解题与反思时不回避任何一个疑惑，深入思考，溯本穷源，刨根问底，终将得真知灼见.
二、从特殊到一般
例3 （2013年山东临沂卷）如图3，矩形ABCD中，∠ACB=
30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F.
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图3（1），则
PEPF的值为 .
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°<α<60°）角，如图3（2），求
PEPF的值.
（3）在（2）的基础上继续旋转，当
60°<α<90°，且使AP∶PC=1∶2时，如图3（3），
PEPF的值是否变化？证明你的结论.