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【摘要】：通过列举问题说明自主探索学习高中数学函数知识的教学活动，是培养学生探究解答数学问题的思维方法，是學生综合能力得以提高的重要途径。
【关键词】：函数；教学
[Abstract]: through the list of issues that exploratory autonomous learning knowledge of high school math teaching activities, is training students thinking ways of solving mathematical problems, is important way to improve the comprehensive ability of students.
[keyword]: function; teaching
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
自主探索是普通高中学生学习函数知识的重要方式，课堂上教师如何引导学生去发现，去主动探索是函数教学的有效途径和方法，自主探索更有利于学生更好的掌握函数知识和培养运用函数知识解题的能力。因此，在函数教学中，应该以学生为主体，充分发挥学生的潜能，大胆探索函数知识。下面就如何运用自主探索的学习方式，引导学生投入到自主探索学习函数知识的活动中去作一个初浅的阐述。
（一）、创设自主探索情境，让学生积极参与其中。
函数是高中数学最重要的内容，但也是很难学好的一个数学内容。中学生身心发展的特点表明，高中生对知识有着强烈的好奇心和自主探索的求知欲，他们总想自己亲手推一推、练练，总想亲自找出问题的推导过程和答案，而不是仅满足于他人（包括教师）的现成解释。根据中学生的年龄、个性特点，高中数学函数知识课堂教学务必改变传统的教学模式，克服以教师为中心，由教师讲授，硬把教学内容传递给学生的灌输式教学法；克服重书本知识传授、轻实践能力培养和重学习结果、轻学习过程以及重教师讲授、轻学生探索的不利于发展学生智力因素的旧的教学理念。为学生创设自主探索的教学环境，营造和谐、融洽的学习氛围。在展示新授内容时，教师可引导学生自主地去发现新老知识的联系和其异同点，多用激励的话语鼓励学生提出问题和解答问题。在建立平等的师生关系和宽松的学习场境中，必将为学生积极主动参与学习创设良好的氛围，达到最佳的教学效果。
探究一：在教学函数定义域的解题功能时，可从：导向功能、简化功能、辨误功能、显隐功能、制约功能等方面去进行积极的探索。
函数定义域是函数概念的重要组成部分，它不仅仅是研究函数图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，往往能够显出不可低估的特殊作用。
（1）导向功能。函数的定义域对许多问题的求解，有着明显的导向作用，优先考虑定义域，有助于启迪思路，理顺解题线索。
问题1：解不等式：<
分析：乍看起来，解这个不等式似乎难以下笔，但根据对数性质不难看出定义域为x＞1且x≠2，显然log(x-1)＞0，log2＞0恒成立。由此，只要对log2(x-1)＞0，log2(x-1)＜0两种情况进行讨论即可。
动手解题之前一定要认真审题，对于有关函数、方程、不等式的问题就首先联想到定义域等有关性质。本题求解，若不注意定义域的导向作用，很难下手。定义域为我们指点了解题迷津。
问题2：解方程
分析：用常规方法求解，难以奏效，构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。
（2）简化功能。巧用函数的定义域，可以简化复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。
问题3：对│x│≤2的一切x，求使不等式2m－1＞x（m2－1）都成立的m的取值范围。
分析：本题若用常规方法去解，则需对x的系数m2－1分三种情况：①m2－1＞0，②m2－1=0，③m2－1＜0进行讨论，过程较繁，还不如运用构造函数法设f （x）=（m2-1）x-2m+1，x∈[-2，2]，再运用求f（x）是x的一次函数的方法去解来得顺当。
问题4：判定函数f（x）= 的奇偶性。
分析：仅考虑f（－x）与f（x）的关系，则难以判定，画函数图象判断更非易事，不妨先从定义域入手。由弄清函数的定义域入手，不但可以保证解答过程的圆满正确，而且起到了化难为易、化繁为简的作用。
（3）辨误功能。从函数的定义域入手，抓住定义域的特征，有助于发现并纠正解题错误，提高解题的准确性。
问题5：求函数的最小正周期。
本问题可从学生有可能错解情况展开去讲，逐步引导学生自主探索正确解法及结果。
（4）显隐功能。从函数的定义域出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解答。
问题6：已知实数x、y满足x2+4y2－6x +5=0，求：的最小值。
分析：已知等式有两个作用，一是自主探索将y2用x的代数式表示，二是确定x的取值范围（定义域）。在以上两方面的前提下挖掘隐含条件，探索出本题的具体推导过程及结果。
（5）制约功能。函数由定义域和对应法则确定，函数的图象和性质受函数定义域制约。因此，从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。
问题7：求函数f（x）=arccosx +arccotx的值域。
分析：本题若忽略定义域对值域的制约作用，势必导致解题错误。即：
由x∈[-1,1]探索出arccosx∈[0,π],arccotx∈[]，arccotx∈[]，最后推导出函数f（x）∈[]。
（二）、提供自主探索的机会，让学生敢于亲身尝试。
主动探索知识与被动接受知识，是新旧两种教学理念的激烈碰撞。若教师在课堂上总是滔滔不绝地讲授，学生只能洗耳恭听；若教师在课堂上总是把标准答案讲得一清二楚，学生就没有自主探索、思维的空间；若教师在课堂上总是以自己为中心组织教学，学生只能亦步亦趋，那么，也就无从让学生自主地去探索。因此，课堂教学必须为学生提供自主探索的机会，做到个个动手，人人亲身尝试，在自主探索中学会观察，学会操作，学会思考。
引导学生积极主动探索函数图象的作图过程，特别是三角函数图象的正确作出方法，紧接着利用图象及其性质自主探索出解题思路和解题过程及答案。
探究二：（1）关于奇、偶函数的性质的拓展。
教材中仅介绍了如下性质：①奇函数的图象关于原点成中心对称；②偶函数的图象关于y轴成轴对称。这两个性质即为 奇、偶函数的几何性质。为了引导 学生主动探求奇、偶数的其它性质，教师要为学生提供自主作图的空间和时间，让学生通过人人动手，亲身感受作出函数y =ax2 (a≠o)和y =x3的图象。
问题8：在关于原点成对称的公共定义域内，推导相关的性质。
通过学生的自主探索过程，探索出以下性质：①常函数f（x）= c（c为常数，x∈R）是偶函数；②两个奇函数的和或差仍是常函数；③两个偶函数的和或差仍是偶函数；④两个奇函数的积或商（商中除式不能为零，下同）是偶函数；⑤两个偶函数的积或商是偶函数；⑥奇函数与偶函数的和或差是非奇非偶函数；⑦奇函数与偶函数的积或商是奇函数。
（2）利用函数的图象来判别（几何法）。即如果一个函数的图象關于原点成中心对称，那么这个函数必是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴成轴对称，那么这个函数必是偶函数。
问题9：作出下列函数图象，并判断其奇偶性。
（1）f（x）= cosx；（2）g（x）= tanx
分析：应用几何法，引导学生人人参与作图，亲身感悟作图的乐趣，再自主探索出其奇偶性。
教师只有在课堂教学中为学生创设和提供自主探索的条件，给学生留出较多的时间，让每个学生都有动手操作的机会，才能使他们在动手中思维，在操作中探索，在探索中创新。
（三）、教会自主探索的方法，学生学会自主求知。
在函数知识的教学中，教学的着眼点不是局限于学生学到了多少知识，会解了多少道函数的问题，而是培养学生探求函数知识的能力。众所周知，“受人一鱼，只供一餐之需；授之以渔，则终身受益。”教师在函数内容的课堂教学中重要的是教给学生自主探索的方法，使他们通过自身的努力，发挥自己的聪明才智，利用函数知识、性质及方法解决相关的函数应用问题。教师还可通过学法指导，使学生掌握预习、复习、观察、发现、记忆、思维等一整套学习方法，凭借这些方法，他们可以自主去探索，获取新知识，多思维、多角度找到解决问题的途径和方法，在自主探索学习中把握探索方向，理解思路，在掌握自主探索的方法中进一步体现学生自我的主动发展。
（四）、培养主动探索的能力，让学生广泛合作交流。
中学生，特别是高中生求知俗望强，学科多，精力有限，知识有限，经验积累不足，自主探索能力还较薄弱，有的很难一下形成能力，在探究的过程中急于求成心切，甚至于不能持之以恒，导致兴趣经常转移等等。在函数课堂教学中要注意引导学生树立克服困难、不怕失败、勇于探索的信心和决心，逐渐形成自主探索的能力，达到学好函数知识之目的。在进行函数知识学习的过程中，教师要有目的的选择教学题材，并把学生组成课题组，让学生合作交流、相互协作、优势互补，在合作交流中培养探索能力，引导学生积极投入到探索与交流的学习之中去。
探究三：函数应用题的解答步骤与程序。
函数应用题文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，在教学过程中，引导学生努力加强自身阅读，理解能力的培养与提高显得尤为重要。引导学生自主探索出解答函数应用题的关键：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题。二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解。
引导学生各课题组，通过相互协作，开展探讨，归纳总结出函数应用题的一般的解题程序：
（文字语言）（数学函数语言）（数学应用） （检验作答）
同时，在指导学生学习与函数有关的应用题时，要注意此类问题经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。解答这类问题的关键是引导学生自主探索建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答。在培养学生自主探索能力形成的过程中，教师应鼓励学生发现问题，开展小组提出问题和质疑活动，倡导乐于交流与合作。
实践证明，相互之间的启发，同伴之间的交流，学生思维的火花就会迸发，自主探索能力也会得到很好的培养和发展。
教学的最好方法是引导学生去发现、去主动探索，教师要作为教学的组织者、引导者、合作者进入角色，要让学生在自主探索学习的活动中发现函数知识的内在规律，学会观察、猜想、推理、归纳，在自主探索中不断提高学生的综合素质。（正文3973字）
参考文献：
【1】 叶尧城《高中数学课程标准教师读本》.武汉:华中师范大学出版社, 2003.9.
【2】 教育部考试中心 《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科）.北京: 高等教育出版社, 2005.1.
【3】 教育部考试中心《高考数学测量理论与实践》(修订版). 北京:高等教育出版社,2005.2.
【4】. 丁尔升 等《高中数学教学指导书》(人教版). 北京: 人民教育出版社,1988.11.
【关键词】：函数；教学
[Abstract]: through the list of issues that exploratory autonomous learning knowledge of high school math teaching activities, is training students thinking ways of solving mathematical problems, is important way to improve the comprehensive ability of students.
[keyword]: function; teaching
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
自主探索是普通高中学生学习函数知识的重要方式，课堂上教师如何引导学生去发现，去主动探索是函数教学的有效途径和方法，自主探索更有利于学生更好的掌握函数知识和培养运用函数知识解题的能力。因此，在函数教学中，应该以学生为主体，充分发挥学生的潜能，大胆探索函数知识。下面就如何运用自主探索的学习方式，引导学生投入到自主探索学习函数知识的活动中去作一个初浅的阐述。
（一）、创设自主探索情境，让学生积极参与其中。
函数是高中数学最重要的内容，但也是很难学好的一个数学内容。中学生身心发展的特点表明，高中生对知识有着强烈的好奇心和自主探索的求知欲，他们总想自己亲手推一推、练练，总想亲自找出问题的推导过程和答案，而不是仅满足于他人（包括教师）的现成解释。根据中学生的年龄、个性特点，高中数学函数知识课堂教学务必改变传统的教学模式，克服以教师为中心，由教师讲授，硬把教学内容传递给学生的灌输式教学法；克服重书本知识传授、轻实践能力培养和重学习结果、轻学习过程以及重教师讲授、轻学生探索的不利于发展学生智力因素的旧的教学理念。为学生创设自主探索的教学环境，营造和谐、融洽的学习氛围。在展示新授内容时，教师可引导学生自主地去发现新老知识的联系和其异同点，多用激励的话语鼓励学生提出问题和解答问题。在建立平等的师生关系和宽松的学习场境中，必将为学生积极主动参与学习创设良好的氛围，达到最佳的教学效果。
探究一：在教学函数定义域的解题功能时，可从：导向功能、简化功能、辨误功能、显隐功能、制约功能等方面去进行积极的探索。
函数定义域是函数概念的重要组成部分，它不仅仅是研究函数图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，往往能够显出不可低估的特殊作用。
（1）导向功能。函数的定义域对许多问题的求解，有着明显的导向作用，优先考虑定义域，有助于启迪思路，理顺解题线索。
问题1：解不等式：<
分析：乍看起来，解这个不等式似乎难以下笔，但根据对数性质不难看出定义域为x＞1且x≠2，显然log(x-1)＞0，log2＞0恒成立。由此，只要对log2(x-1)＞0，log2(x-1)＜0两种情况进行讨论即可。
动手解题之前一定要认真审题，对于有关函数、方程、不等式的问题就首先联想到定义域等有关性质。本题求解，若不注意定义域的导向作用，很难下手。定义域为我们指点了解题迷津。
问题2：解方程
分析：用常规方法求解，难以奏效，构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。
（2）简化功能。巧用函数的定义域，可以简化复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。
问题3：对│x│≤2的一切x，求使不等式2m－1＞x（m2－1）都成立的m的取值范围。
分析：本题若用常规方法去解，则需对x的系数m2－1分三种情况：①m2－1＞0，②m2－1=0，③m2－1＜0进行讨论，过程较繁，还不如运用构造函数法设f （x）=（m2-1）x-2m+1，x∈[-2，2]，再运用求f（x）是x的一次函数的方法去解来得顺当。
问题4：判定函数f（x）= 的奇偶性。
分析：仅考虑f（－x）与f（x）的关系，则难以判定，画函数图象判断更非易事，不妨先从定义域入手。由弄清函数的定义域入手，不但可以保证解答过程的圆满正确，而且起到了化难为易、化繁为简的作用。
（3）辨误功能。从函数的定义域入手，抓住定义域的特征，有助于发现并纠正解题错误，提高解题的准确性。
问题5：求函数的最小正周期。
本问题可从学生有可能错解情况展开去讲，逐步引导学生自主探索正确解法及结果。
（4）显隐功能。从函数的定义域出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解答。
问题6：已知实数x、y满足x2+4y2－6x +5=0，求：的最小值。
分析：已知等式有两个作用，一是自主探索将y2用x的代数式表示，二是确定x的取值范围（定义域）。在以上两方面的前提下挖掘隐含条件，探索出本题的具体推导过程及结果。
（5）制约功能。函数由定义域和对应法则确定，函数的图象和性质受函数定义域制约。因此，从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。
问题7：求函数f（x）=arccosx +arccotx的值域。
分析：本题若忽略定义域对值域的制约作用，势必导致解题错误。即：
由x∈[-1,1]探索出arccosx∈[0,π],arccotx∈[]，arccotx∈[]，最后推导出函数f（x）∈[]。
（二）、提供自主探索的机会，让学生敢于亲身尝试。
主动探索知识与被动接受知识，是新旧两种教学理念的激烈碰撞。若教师在课堂上总是滔滔不绝地讲授，学生只能洗耳恭听；若教师在课堂上总是把标准答案讲得一清二楚，学生就没有自主探索、思维的空间；若教师在课堂上总是以自己为中心组织教学，学生只能亦步亦趋，那么，也就无从让学生自主地去探索。因此，课堂教学必须为学生提供自主探索的机会，做到个个动手，人人亲身尝试，在自主探索中学会观察，学会操作，学会思考。
引导学生积极主动探索函数图象的作图过程，特别是三角函数图象的正确作出方法，紧接着利用图象及其性质自主探索出解题思路和解题过程及答案。
探究二：（1）关于奇、偶函数的性质的拓展。
教材中仅介绍了如下性质：①奇函数的图象关于原点成中心对称；②偶函数的图象关于y轴成轴对称。这两个性质即为 奇、偶函数的几何性质。为了引导 学生主动探求奇、偶数的其它性质，教师要为学生提供自主作图的空间和时间，让学生通过人人动手，亲身感受作出函数y =ax2 (a≠o)和y =x3的图象。
问题8：在关于原点成对称的公共定义域内，推导相关的性质。
通过学生的自主探索过程，探索出以下性质：①常函数f（x）= c（c为常数，x∈R）是偶函数；②两个奇函数的和或差仍是常函数；③两个偶函数的和或差仍是偶函数；④两个奇函数的积或商（商中除式不能为零，下同）是偶函数；⑤两个偶函数的积或商是偶函数；⑥奇函数与偶函数的和或差是非奇非偶函数；⑦奇函数与偶函数的积或商是奇函数。
（2）利用函数的图象来判别（几何法）。即如果一个函数的图象關于原点成中心对称，那么这个函数必是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴成轴对称，那么这个函数必是偶函数。
问题9：作出下列函数图象，并判断其奇偶性。
（1）f（x）= cosx；（2）g（x）= tanx
分析：应用几何法，引导学生人人参与作图，亲身感悟作图的乐趣，再自主探索出其奇偶性。
教师只有在课堂教学中为学生创设和提供自主探索的条件，给学生留出较多的时间，让每个学生都有动手操作的机会，才能使他们在动手中思维，在操作中探索，在探索中创新。
（三）、教会自主探索的方法，学生学会自主求知。
在函数知识的教学中，教学的着眼点不是局限于学生学到了多少知识，会解了多少道函数的问题，而是培养学生探求函数知识的能力。众所周知，“受人一鱼，只供一餐之需；授之以渔，则终身受益。”教师在函数内容的课堂教学中重要的是教给学生自主探索的方法，使他们通过自身的努力，发挥自己的聪明才智，利用函数知识、性质及方法解决相关的函数应用问题。教师还可通过学法指导，使学生掌握预习、复习、观察、发现、记忆、思维等一整套学习方法，凭借这些方法，他们可以自主去探索，获取新知识，多思维、多角度找到解决问题的途径和方法，在自主探索学习中把握探索方向，理解思路，在掌握自主探索的方法中进一步体现学生自我的主动发展。
（四）、培养主动探索的能力，让学生广泛合作交流。
中学生，特别是高中生求知俗望强，学科多，精力有限，知识有限，经验积累不足，自主探索能力还较薄弱，有的很难一下形成能力，在探究的过程中急于求成心切，甚至于不能持之以恒，导致兴趣经常转移等等。在函数课堂教学中要注意引导学生树立克服困难、不怕失败、勇于探索的信心和决心，逐渐形成自主探索的能力，达到学好函数知识之目的。在进行函数知识学习的过程中，教师要有目的的选择教学题材，并把学生组成课题组，让学生合作交流、相互协作、优势互补，在合作交流中培养探索能力，引导学生积极投入到探索与交流的学习之中去。
探究三：函数应用题的解答步骤与程序。
函数应用题文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，在教学过程中，引导学生努力加强自身阅读，理解能力的培养与提高显得尤为重要。引导学生自主探索出解答函数应用题的关键：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题。二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解。
引导学生各课题组，通过相互协作，开展探讨，归纳总结出函数应用题的一般的解题程序：
（文字语言）（数学函数语言）（数学应用） （检验作答）
同时，在指导学生学习与函数有关的应用题时，要注意此类问题经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。解答这类问题的关键是引导学生自主探索建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答。在培养学生自主探索能力形成的过程中，教师应鼓励学生发现问题，开展小组提出问题和质疑活动，倡导乐于交流与合作。
实践证明，相互之间的启发，同伴之间的交流，学生思维的火花就会迸发，自主探索能力也会得到很好的培养和发展。
教学的最好方法是引导学生去发现、去主动探索，教师要作为教学的组织者、引导者、合作者进入角色，要让学生在自主探索学习的活动中发现函数知识的内在规律，学会观察、猜想、推理、归纳，在自主探索中不断提高学生的综合素质。（正文3973字）
参考文献：
【1】 叶尧城《高中数学课程标准教师读本》.武汉:华中师范大学出版社, 2003.9.
【2】 教育部考试中心 《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科）.北京: 高等教育出版社, 2005.1.
【3】 教育部考试中心《高考数学测量理论与实践》(修订版). 北京:高等教育出版社,2005.2.
【4】. 丁尔升 等《高中数学教学指导书》(人教版). 北京: 人民教育出版社,1988.11.