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摘要：勾股定理是直角三角形的重要性质，它揭示的是直角三角形三边的数量关系，即两短边平方的和等于长边的平方。这一定理在解几何题的过程中经常出现，在实际生活中的用途也不可忽视。学生需要牢牢把握股股定理的理论知识与实际应用知识，为今后的学习打下坚实的基础。本文在教会学生解勾股定理的教学中培养学生正确的观察事物和分析事物的能力，激发学生的学习兴趣。
关键词：学生；勾股定理；教学
勾股定理，亦称华达哥拉斯定理，是初中学生接触到的第一类数与形相结合的数学题型。勾股定理在实际生活中的应用很广泛。例如房屋装修时，工人为测量一个角是不是直角，会在墙角向两个墙面量出30cm和40cm的点并标记，然后测量两点之间的距离是否是50cm。如果是50cm，则角为直角；若不是50cm，则角不是直角。无独有偶，工人在做焊工时，大的框架需要用到勾股定理取直角，一条直角边取3米，另一条直角边取4米，斜边有5米时，角便是直角了。
一、勾股定理相关知识要点
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则a2+b2=c2。勾股定理可以表现不同的形式：a2=c2-b2，b2=c2-a2勾股定理的斜边最长，一般用c表示斜边。
满足勾股定理的勾股数为3、4、5，其倍数也是勾股数。
勾股定理的应用：已知直角三角形的两边，求第三边；已知直角三角形的一边，求另两边的关系；用于证明含有平方关系的式子；借助勾股定理来构造方程，解决实际问题。
二、勾股定理的解法
（一）方法一：如图，画两个边长为（a+b）的正方形，按照图（1）和图（2）的方法分割。
图（1）被分割成了两个边长分别为a和b的正方形，以及四个两边直角分别为a、b，斜边为c的全等直角三角形。
图（2）被分割成了一个边长为c的正方形和四个直角边长分别为a、b，斜边长为c的全等直角三角形。
从图（1）（2）可知，两个原始正方形的边长均为（a+b），所以面积相等，则有：
（二）方法二：
a≠b，如图（3）△ABC是直角三角形，∠C=90。，AB=c，AC=b，BC=a。以AC为边作正方形ACC'A'，延长C'A'到D'，使C'D'=C'F=b。过D'作C'D'的垂线与过F作C'F的垂线交于点D。延长A'D'到E，使A'E=C'D'=BC，连接DE和EA。
在△ABC、△BDF和△AEA'中
AC=BF= D'E=A'A=b
BC=DF=DD'=E A'=a
∠C=∠F=∠ED'D=∠EA'A=90。
由可知△ABC、△BDF、△ED'D和△A'EA互相全等，所以有边AB、BD、DE、EA相等，值为c，由于∠EA A'=∠BAC，则
∠EAB=∠A'AC且为直角，由此可见，四边形ABCD是正方形，其面积为C2.
由图可知△ABC、△BDF和五边形ABDD'A的面积和为a2+b2
△DEE'、△EAA'与五边形ABDD'A的面积和为C2，
又因△ABC、△BDF、△EDD'和△EAA'互相全等，由此可以得出a2+b2=c2
（3）
三、勾股定理错题分析
勾股定理解题出现错误的情况主要有以下几种：忽视利用勾股定理解题的格式；忽视勾股定理存在的条件；忽视对直角三角形边的分类讨论；忽视对图形中高的分类讨论；忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论等。本文以忽视勾股定理存在的条件和忽视对直角三角形边的分类讨论举例分析：
（一）忽视勾股定理存在的条件
已知在△ABC中，AB大于BC，BC大于AC，且AB=10，BC=8。若AC长为偶数，求AC。
错解：在△ABC中，因为AB大于BC，BC大于AC，所以AB是斜边。由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，故AC2=AB2-BC2。因此得出AC长为6。
分析：本题前提条件并没有说明是在直角三角形中，学生出现这种错误算法的原因是6、8、10是常用的勾股数。要解出这道题，可以根据三角形三边的关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”来求解。这里便不再赘述。
（二）忽视对直角三角形边的分类讨论
已知一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边的长。
错解：因为直角三角形的两条边为3cm和4cm，所以由勾股定理可知，第三边长为5cm。
分析：文中并不是说两条直角边分别为3cm和4cm，所以应该对边长进行分类讨论。因为斜边长大于直角边，所以3cm只能是直角边，而4cm可能是直角边，也可能是斜边。当4cm是直角边时，斜边为5cm；当4cm为斜边时，根据勾股定理，另一条直角边为 cm。
结束语
本文通过对勾股定理定理、学习勾股定理时应注意的问题、勾股定理的解法和勾股定理解题中出现的问题进行介绍和分析，为如何教会学生解勾股定理的教学提供有益的借鉴。勾股定理的定义，即两直角边平方和等于斜边的平方。学生在学习勾股定理的学习过程中，经常会出现各种各样的问题，如将a2+b2=c2写成a2-b2=c2或a2+c2=b2，这样的情况时有发生。本文提供了面积法的两种方法解勾股定理，运用面积法解勾股定理是个不错的选择，方便易行。此外，学生在以往的学习中接触过面积法，这种方法解出的勾股定理利于学生理解。在数学课讲解勾股定理的过程中，将学生可能出现的问题作一个全面的介绍，有利于学生在以后学习和运用勾股定理的过程中防患于未然。
参考文献：
[1]马随芝.巧解妙用勾股定理[J].中学生数理化（教与学），2012，（2）
[2]张建华.勾股定理的妙用[J].数学大世界（初中版），2013，（4）
[3]卢冠华.如何教会学生解勾股定理的教学[J].科技致富向导，2011，（1）
[4]连爱花.勾股定理常见错解剖析[J].中学生数理化：八年级数学（人教版），2012，（3）
[5]白海龙.《勾股定理》教学设计[J].速读（上旬），2014，（4）
关键词：学生；勾股定理；教学
勾股定理，亦称华达哥拉斯定理，是初中学生接触到的第一类数与形相结合的数学题型。勾股定理在实际生活中的应用很广泛。例如房屋装修时，工人为测量一个角是不是直角，会在墙角向两个墙面量出30cm和40cm的点并标记，然后测量两点之间的距离是否是50cm。如果是50cm，则角为直角；若不是50cm，则角不是直角。无独有偶，工人在做焊工时，大的框架需要用到勾股定理取直角，一条直角边取3米，另一条直角边取4米，斜边有5米时，角便是直角了。
一、勾股定理相关知识要点
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则a2+b2=c2。勾股定理可以表现不同的形式：a2=c2-b2，b2=c2-a2勾股定理的斜边最长，一般用c表示斜边。
满足勾股定理的勾股数为3、4、5，其倍数也是勾股数。
勾股定理的应用：已知直角三角形的两边，求第三边；已知直角三角形的一边，求另两边的关系；用于证明含有平方关系的式子；借助勾股定理来构造方程，解决实际问题。
二、勾股定理的解法
（一）方法一：如图，画两个边长为（a+b）的正方形，按照图（1）和图（2）的方法分割。
图（1）被分割成了两个边长分别为a和b的正方形，以及四个两边直角分别为a、b，斜边为c的全等直角三角形。
图（2）被分割成了一个边长为c的正方形和四个直角边长分别为a、b，斜边长为c的全等直角三角形。
从图（1）（2）可知，两个原始正方形的边长均为（a+b），所以面积相等，则有：
（二）方法二：
a≠b，如图（3）△ABC是直角三角形，∠C=90。，AB=c，AC=b，BC=a。以AC为边作正方形ACC'A'，延长C'A'到D'，使C'D'=C'F=b。过D'作C'D'的垂线与过F作C'F的垂线交于点D。延长A'D'到E，使A'E=C'D'=BC，连接DE和EA。
在△ABC、△BDF和△AEA'中
AC=BF= D'E=A'A=b
BC=DF=DD'=E A'=a
∠C=∠F=∠ED'D=∠EA'A=90。
由可知△ABC、△BDF、△ED'D和△A'EA互相全等，所以有边AB、BD、DE、EA相等，值为c，由于∠EA A'=∠BAC，则
∠EAB=∠A'AC且为直角，由此可见，四边形ABCD是正方形，其面积为C2.
由图可知△ABC、△BDF和五边形ABDD'A的面积和为a2+b2
△DEE'、△EAA'与五边形ABDD'A的面积和为C2，
又因△ABC、△BDF、△EDD'和△EAA'互相全等，由此可以得出a2+b2=c2
（3）
三、勾股定理错题分析
勾股定理解题出现错误的情况主要有以下几种：忽视利用勾股定理解题的格式；忽视勾股定理存在的条件；忽视对直角三角形边的分类讨论；忽视对图形中高的分类讨论；忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论等。本文以忽视勾股定理存在的条件和忽视对直角三角形边的分类讨论举例分析：
（一）忽视勾股定理存在的条件
已知在△ABC中，AB大于BC，BC大于AC，且AB=10，BC=8。若AC长为偶数，求AC。
错解：在△ABC中，因为AB大于BC，BC大于AC，所以AB是斜边。由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，故AC2=AB2-BC2。因此得出AC长为6。
分析：本题前提条件并没有说明是在直角三角形中，学生出现这种错误算法的原因是6、8、10是常用的勾股数。要解出这道题，可以根据三角形三边的关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”来求解。这里便不再赘述。
（二）忽视对直角三角形边的分类讨论
已知一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边的长。
错解：因为直角三角形的两条边为3cm和4cm，所以由勾股定理可知，第三边长为5cm。
分析：文中并不是说两条直角边分别为3cm和4cm，所以应该对边长进行分类讨论。因为斜边长大于直角边，所以3cm只能是直角边，而4cm可能是直角边，也可能是斜边。当4cm是直角边时，斜边为5cm；当4cm为斜边时，根据勾股定理，另一条直角边为 cm。
结束语
本文通过对勾股定理定理、学习勾股定理时应注意的问题、勾股定理的解法和勾股定理解题中出现的问题进行介绍和分析，为如何教会学生解勾股定理的教学提供有益的借鉴。勾股定理的定义，即两直角边平方和等于斜边的平方。学生在学习勾股定理的学习过程中，经常会出现各种各样的问题，如将a2+b2=c2写成a2-b2=c2或a2+c2=b2，这样的情况时有发生。本文提供了面积法的两种方法解勾股定理，运用面积法解勾股定理是个不错的选择，方便易行。此外，学生在以往的学习中接触过面积法，这种方法解出的勾股定理利于学生理解。在数学课讲解勾股定理的过程中，将学生可能出现的问题作一个全面的介绍，有利于学生在以后学习和运用勾股定理的过程中防患于未然。
参考文献：
[1]马随芝.巧解妙用勾股定理[J].中学生数理化（教与学），2012，（2）
[2]张建华.勾股定理的妙用[J].数学大世界（初中版），2013，（4）
[3]卢冠华.如何教会学生解勾股定理的教学[J].科技致富向导，2011，（1）
[4]连爱花.勾股定理常见错解剖析[J].中学生数理化：八年级数学（人教版），2012，（3）
[5]白海龙.《勾股定理》教学设计[J].速读（上旬），2014，（4）