摘要：本文以例题的形式讲解了将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下二次积分的方法。
　　关键词：直角坐标；二次积分；极坐标
　　二重积分是高等数学的重要组成部分，相比定积分求解困难度更高、計算量更大。讲解二重积分过程中，笔者发现，当遇到将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标下二次积分这类题目时，大多数学生感觉一头雾水，无从下手。本文以例题的形式总结了具体的转化方法，并加以应用。
　　例1化二次积分为极坐标形式的二次积分。
　　解（1）确定积分区域的图形。根据所给的二次积分可以确定自变量和的取值范围：且。根据求出的和的取值范围，可以确定积分区域的边界曲线，从而画出直角坐标系下积分区域的图形如图1所示。
　　（2）将直角坐标系下的积分区域用极坐标表示如图2。取直角坐标系的坐标原点为极坐标系的原点，轴为极轴，建立极坐标。则直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为。此时，得到的极坐标表达式为：
　　（3）确定在极坐标下的积分限。根据的极坐标表达式，可以确定所给二次积分在极坐标下的积分上下限，结合将相关直角坐标与极坐标二重积分相互转化的内容，可以求出：
　　可见，将直角坐标下二次积分转化为极坐标下二次积分可分为3步，首先确定出自变量的取值范围，以及积分区域的边界曲线，画出在直角坐标系下的图形；然后将边界曲线的方程转化成极坐标形式，给出在极坐标下的自变量取值范围；最后即可得到极坐标下的二次积分，例2化二次积分为极坐标形式的二次积分。
　　解 由所给的二次积分可知：且。则区域的边界曲线为和，画出的图形如图3.
　　以直角坐标系的原点和轴作为极点和极轴建立极坐标。则false、false和的极坐标方程分别为、和。得出积分区域的极坐标表示为：
　　与常见的将直角坐标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分相比，将直角坐标系下二次积分转化为极坐标系下二次积分稍稍复杂了一些，多出的是根据所给二次积分中两个积分变量的上下限，还原出积分区域在直角坐标系下图形这一步骤。
　　参考文献：
　　[1]同济大学数学系编. 高等数学（第六版，下册）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
　　[2]西北工业大学高等数学教材编写组编.高等数学（下册）[M]. 北京：科学出版社，2013.
　　[3]同济大学数学系.高等数学学习辅导与习题选解（第五册，上下册合订本）[M]. 北京：高等数学出版社，2004.
　　作者简介：
　　朱清芳，1981.4，女，河南开封，硕士，讲师，研究方向：密码学。