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二次函数、二次方程、二次不等式之间存在联系.令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图象与x轴交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解，此自变量称为函数的零点.我们常常将函数的图象与性质、方程解的存在与分布、不等式的解集与恒成立等问题进行化归，从而得到解决.
1.二次函数的图象与性质：单调性、奇偶性、最大值、最小值、图象与x轴交点的个数
例如：若函数f(x)=4x2－kx－8在［5,8］上是单调函数，则k的取值范围是 ．
分析：观察函数图象可得k≤40或k≥64．
2.函数的零点、方程的解、不等式的解集三者的关系
（1）方程根与系数的关系
例如：设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0}，若BA，求实数a的取值范围.
分析：由题意得B=或B={0}或B={－4}或B={0,－4}，由根与系数的关系解得a≤－1或a=1.
（2）方程根的分布
例如：已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R}，若A∩(0,+∞)=，则实数m的取值范围是 ．
分析：（方法一）方程无实数根，或者方程有两个负根（因为方程两根之积为1）.
（方法二）观察函数f(x)=x2+(m+2)x+1的图象，因为图象过定点(0,1)，所以函数图象与x轴无交点，或两个交点在x轴的负半轴上.
解得m>－4.
（3）不等式的解集与方程根的关系
例如：已知集合A={x|x2－2x－3>0}，B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=(3,4］，则有ab=
分析：由B=［－1,4］得不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，即方程x2+ax+b=0的解为x=－1，x=4，解得a=－3，b=－4.∴ab=12.
3.函数与不等式的辩证关系——整体与局部的关系
例如：设函数f(x)=x2－3x－4,x∈［－3,6］，则对任意x0∈［－3,6］，使f(x0)≤0的概率为.
分析：不等式x2－3x－4≤0的解集为［－1,4］，所以对任意x0∈［－3,6］，使f(x0)≤0的概率为59.
4.构造函数，解决不等式“恒成立”与“能成立”问题
例如：设集合P={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意的实数x恒成立}，Q={m|－1 分析：这是不等式恒成立的问题，x的取值范围是实数集R.
构造函数f(x)=mx2+4mx-4,x∈R，
当m=0时，f(x)=-4<0恒成立；
当m<0时，函数图象开口向下，令Δ=(4m)2－4m(－4)<0，则图象恒在x轴下方.
所以P={m|－1 例如：已知命题：“x∈［1,2］，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是.
分析：这是不等式能成立的问题，x的取值范围是［1,2］.
（方法一）构造函数f(x)=x2+2x+a,x∈［1,2］，函数在［1,2］上单调递增，函数最大值为f(2)=8+a，则令f(2)=8+a≥0，即得a≥－8.
（方法二）将问题转化为a≥－x2－2x,x∈［1,2］能成立，构造函数g(x)=－x2－2x,x∈［1,2］，求得g(x)的最小值g(2)=－8，即得a≥－8.
注意：题目要求是“恒成立”还是“能成立”，决定了求最大值还是最小值.
5.二次函数、二次方程、二次不等式的拓展
面对复杂的问题，需要作出灵活巧妙的转化，化难为易，化繁为简.
（1）与其他函数的复合——换元法转化为二次函数
例如：不等式4x+2x+1－3>0的解集是．
分析：令t=2x，转化为关于t的不等式t2+2t－3>0，解得t<－3（舍去）或t>1，解得原不等式的解集为{x|x>0}.
（2）绝对值号的添加
例如：已知a∈R，讨论关于x的方程x2－6|x|+8－a=0的根的个数情况.
分析：（方法一）转化为函数f(x)=x2－6|x|+8－a图象与x轴交点的个数.
（方法二）转化为讨论关于正数t的方程t2－6t+8－a=0有几个解的问题：零个根、两个相等的正根、两个不等的正根、一个正根一个零根、一个正根一个负根.
（方法三）转化为偶函数y=x2－6|x|与常数函数y=a－8图象交点的个数.
a>8时两个根，a=8时三个根，－1 例如：已知t为常数，函数f(x)=|x2－2x－t|在区间［0,3］上的最大值为2，则t= .
分析:通过分类讨论求函数的最大值是很繁的，可以从关键词“最大值为2”为突破口.
函数的最大值可能是f(0)=|t|或f(1)=|1+t|或f(3)=|3－t|,分别令其为2，求得相应t值后，逐一检验即得t=1.
6.二次函数、二次方程、二次不等式思想方法的应用及创新
为了便于解题，简化运算，在构造函数时，需要作些选择，争取最佳解法.
例如：若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12］恒成立，求a的最小值.
分析：我们可以构造二次函数f(x)=x2+ax+1，x∈(0,12］，对照图象进行分类讨论，让f(x)min≥0，从而得到a的最小值-52.
我们也可以先进行变量分离，得到a≥-x2+1x，再构造函数g(x)=-x2+1x，x∈(0,12］，求出g(x)的最大值-52，即为a的最小值.
两种不同的思路，导致了解题过程的繁简程度差别很大，所以构造的函数中尽可能不带参数.
例如：关于x的不等式2•32x-3x+a2-a-3>0，当0≤x≤1时恒成立，求实数a的取值范围.
在进行变量分离后a2-a-3>-2•32x+3x，构造函数f(x)=-2•32x+3x，0≤x≤1，还是构造函数g(t)=-2t2+t,1≤t≤3，更便于求其最大值？
例如：对任意的x∈(0,1］，函数f(x)=x|x-b|+a，a≤-1的图象在x轴的下方，求b的取值范围.
分析：如果分类讨论作分段函数f(x)的图象，再对照图象列出不等式组，其转化和运算的过程将十分抽象、复杂.
如果将不等式f(x)=x|x-b|+a<0变形为x|x-b|<-a，|x-b|<-ax，ax x-ax>bx+ax 分别求得g(x)的最大值g(1)=1+a，h(x)的最小值h(1)=1-a，从而得到1+a 由于函数与方程、不等式构成高中数学的主体，一方面它们极易与其他知识相互关联、渗透和交叉；另一方面导数和向量等内容的增加给函数注入了新的生命活力，开辟出了许多新的命题空间和解题途径.所以，掌握构造函数、应用函数的方法和技巧是必要的.
巩固练习
1.设集合A={x|(x－2)2≤2x+11,x∈R}，则集合A∩N中有 个元素.
2.已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.集合A={α,β}，B={2,4,5,6}，C={1,2,3,4}，A∩C=A，A∩B=，求p,q的值.
3.不等式x2－|x|－2<0的解集是．
4.若关于x的不等式ax2－6x+a2<0的解集为(1,m)，则实数m=.
5.若不等式a≤x2－4x对任意x∈(0,1］恒成立，则a的取值范围是．
6.已知13≤a≤1, 若f(x)=ax2－2x+1在区间［1，3］上的最大值为M(a), 最小值为N(a),令g(a)=M(a)－N(a)．(1) 求g(a)的函数表达式；(2) 判断g(a)的单调性, 并求出g(a)的最小值．
参考答案
1.7
2.p=－4,q=3
3.{x|－2 4.2
5.a≤－3
6. （1）g(a)=a+1a－2(13≤a≤12)9a+1a－6(12 （2）g(a)在区间［13,12］上递减，在区间［12,1］上递增，函数g(a)的最小值为g(12)=12.
（作者：封明晨，苏州大学附属中学)
1.二次函数的图象与性质：单调性、奇偶性、最大值、最小值、图象与x轴交点的个数
例如：若函数f(x)=4x2－kx－8在［5,8］上是单调函数，则k的取值范围是 ．
分析：观察函数图象可得k≤40或k≥64．
2.函数的零点、方程的解、不等式的解集三者的关系
（1）方程根与系数的关系
例如：设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0}，若BA，求实数a的取值范围.
分析：由题意得B=或B={0}或B={－4}或B={0,－4}，由根与系数的关系解得a≤－1或a=1.
（2）方程根的分布
例如：已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R}，若A∩(0,+∞)=，则实数m的取值范围是 ．
分析：（方法一）方程无实数根，或者方程有两个负根（因为方程两根之积为1）.
（方法二）观察函数f(x)=x2+(m+2)x+1的图象，因为图象过定点(0,1)，所以函数图象与x轴无交点，或两个交点在x轴的负半轴上.
解得m>－4.
（3）不等式的解集与方程根的关系
例如：已知集合A={x|x2－2x－3>0}，B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=(3,4］，则有ab=
分析：由B=［－1,4］得不等式x2+ax+b≤0的解集为{x|－1≤x≤4}，即方程x2+ax+b=0的解为x=－1，x=4，解得a=－3，b=－4.∴ab=12.
3.函数与不等式的辩证关系——整体与局部的关系
例如：设函数f(x)=x2－3x－4,x∈［－3,6］，则对任意x0∈［－3,6］，使f(x0)≤0的概率为.
分析：不等式x2－3x－4≤0的解集为［－1,4］，所以对任意x0∈［－3,6］，使f(x0)≤0的概率为59.
4.构造函数，解决不等式“恒成立”与“能成立”问题
例如：设集合P={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意的实数x恒成立}，Q={m|－1
构造函数f(x)=mx2+4mx-4,x∈R，
当m=0时，f(x)=-4<0恒成立；
当m<0时，函数图象开口向下，令Δ=(4m)2－4m(－4)<0，则图象恒在x轴下方.
所以P={m|－1
分析：这是不等式能成立的问题，x的取值范围是［1,2］.
（方法一）构造函数f(x)=x2+2x+a,x∈［1,2］，函数在［1,2］上单调递增，函数最大值为f(2)=8+a，则令f(2)=8+a≥0，即得a≥－8.
（方法二）将问题转化为a≥－x2－2x,x∈［1,2］能成立，构造函数g(x)=－x2－2x,x∈［1,2］，求得g(x)的最小值g(2)=－8，即得a≥－8.
注意：题目要求是“恒成立”还是“能成立”，决定了求最大值还是最小值.
5.二次函数、二次方程、二次不等式的拓展
面对复杂的问题，需要作出灵活巧妙的转化，化难为易，化繁为简.
（1）与其他函数的复合——换元法转化为二次函数
例如：不等式4x+2x+1－3>0的解集是．
分析：令t=2x，转化为关于t的不等式t2+2t－3>0，解得t<－3（舍去）或t>1，解得原不等式的解集为{x|x>0}.
（2）绝对值号的添加
例如：已知a∈R，讨论关于x的方程x2－6|x|+8－a=0的根的个数情况.
分析：（方法一）转化为函数f(x)=x2－6|x|+8－a图象与x轴交点的个数.
（方法二）转化为讨论关于正数t的方程t2－6t+8－a=0有几个解的问题：零个根、两个相等的正根、两个不等的正根、一个正根一个零根、一个正根一个负根.
（方法三）转化为偶函数y=x2－6|x|与常数函数y=a－8图象交点的个数.
a>8时两个根，a=8时三个根，－1
分析:通过分类讨论求函数的最大值是很繁的，可以从关键词“最大值为2”为突破口.
函数的最大值可能是f(0)=|t|或f(1)=|1+t|或f(3)=|3－t|,分别令其为2，求得相应t值后，逐一检验即得t=1.
6.二次函数、二次方程、二次不等式思想方法的应用及创新
为了便于解题，简化运算，在构造函数时，需要作些选择，争取最佳解法.
例如：若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12］恒成立，求a的最小值.
分析：我们可以构造二次函数f(x)=x2+ax+1，x∈(0,12］，对照图象进行分类讨论，让f(x)min≥0，从而得到a的最小值-52.
我们也可以先进行变量分离，得到a≥-x2+1x，再构造函数g(x)=-x2+1x，x∈(0,12］，求出g(x)的最大值-52，即为a的最小值.
两种不同的思路，导致了解题过程的繁简程度差别很大，所以构造的函数中尽可能不带参数.
例如：关于x的不等式2•32x-3x+a2-a-3>0，当0≤x≤1时恒成立，求实数a的取值范围.
在进行变量分离后a2-a-3>-2•32x+3x，构造函数f(x)=-2•32x+3x，0≤x≤1，还是构造函数g(t)=-2t2+t,1≤t≤3，更便于求其最大值？
例如：对任意的x∈(0,1］，函数f(x)=x|x-b|+a，a≤-1的图象在x轴的下方，求b的取值范围.
分析：如果分类讨论作分段函数f(x)的图象，再对照图象列出不等式组，其转化和运算的过程将十分抽象、复杂.
如果将不等式f(x)=x|x-b|+a<0变形为x|x-b|<-a，|x-b|<-ax，ax
巩固练习
1.设集合A={x|(x－2)2≤2x+11,x∈R}，则集合A∩N中有 个元素.
2.已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.集合A={α,β}，B={2,4,5,6}，C={1,2,3,4}，A∩C=A，A∩B=，求p,q的值.
3.不等式x2－|x|－2<0的解集是．
4.若关于x的不等式ax2－6x+a2<0的解集为(1,m)，则实数m=.
5.若不等式a≤x2－4x对任意x∈(0,1］恒成立，则a的取值范围是．
6.已知13≤a≤1, 若f(x)=ax2－2x+1在区间［1，3］上的最大值为M(a), 最小值为N(a),令g(a)=M(a)－N(a)．(1) 求g(a)的函数表达式；(2) 判断g(a)的单调性, 并求出g(a)的最小值．
参考答案
1.7
2.p=－4,q=3
3.{x|－2
5.a≤－3
6. （1）g(a)=a+1a－2(13≤a≤12)9a+1a－6(12
（作者：封明晨，苏州大学附属中学)