二次根式解题思想方法例析

来源 :初中生世界·八年级 | 被引量 : 0次 | 上传用户:jessicazrz
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  同学们学习二次根式时,对于某些题目,若能讲究解题策略,则能简化解题过程,提高解题速度,此外,同学们还要注意总结归纳.下面,我们对二次根式中的解题思想方法进行分析,供同学们参考.
  一、知识转化思想
  知识转化不仅是一种解题思想,也是一种思维策略,更是一种有效的思维方式.所谓的转化思想,是将复杂的问题通过变换转化为简单问题,将难解的问题通过变换转化成容易求解的问题,将未知的问题通过变换转化为已知的问题,以达到解决问题的目的.
  【例1】已知[3-x] [12x-1]在实数范围内有意义,则x的取值范围是什么?
  【解析】确定二次根式中字母的取值范围,可列方程组解决,应综合考虑两方面问题:一是对于二次根式来说,被开方数3-x、2x-1要为非负数,二是作为分母,2x-1不能等于零,所以可得[3-x≥0,2x-1>0,]解不等式组得[12]  二、巧妙配方思想
  配方公式的应用在本章中是非常广泛的,要求我们从问题整體出发,发现问题的整体特征.在本章的学习中,我们常把某些式子看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识地整体处理,从而使得问题简单化、明晰化.
  【例2】已知m=1 [2],n=1-[2],则代数式[m2 n2-3mn]的值为_______.
  【解析】解本题时不能直接代入字母的值,应首先对被开方数里的3mn进行拆分,得[m2 n2-2mn-mn],这样便得到完全平方式子[m-n2-mn],把m-n与mn看成一个整体,求得m-n=[22],mn =-1,所以得到[222 1]=[8 1]=3.
  三、整体换元思想
  对于有些数学问题,分开讨论十分麻烦或解题思路不明显.这时可考虑将需要解决的问题引入变量,进行换元,然后通过对整体结构的转换,使之获解.
  【例3】有一天,小华的爸爸和小华做了一个小游戏,小华的爸爸说:“你现在学习了二次根式,若x表示[10]的整数部分,y代表它的小数部分,我包里的钱是([10] x)y元,你猜一猜我包里的钱数是多少?若猜对了,包里的钱全给你.”你说,小华爸爸包里有多少钱?
  【解析】因为3<[10]<4,所以[10]的整数部分是3,即x=3 ,小数部分y=[10]-3,代入得([10] x)y=([10] 3)([10]-3)=1,所以小华爸爸包里是1元钱.
  四、数形结合思想
  数形结合思想,其实质是将比较抽象的数学语言与直观的图像结合起来,可以使代数问题几何化,也可以使几何问题代数化.
  【例4】在数轴上找出表示[5]的点.
  【解析】建立一个直角坐标系,画一个直角边分别为2和1的直角三角形OAB,如图1,根据勾股定理可求出斜边为[5],再以O为圆心,斜边长为半径画弧,弧与x轴的交点C就是表示[5]的点.
  (作者单位:江苏省句容市下蜀中学)
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