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[摘 要]信号与系统和数字信号处理课程是大学生认为比较难的两门课程，感觉课程抽象，不好理解，数学推导多，但是推导的结果有什么物理含义，直接从表达式中很难理解。图示法就是以图形的方式直观的展现数学推导结果的物理含义，其最为关键的一步是对仿真结果的分析，教师在讲解时一定要将matlab仿真图形与数学的推导结果相结合，说明总结仿真图形反映出的问题的实质，让学生通过仿真图形理解数学推导结果反映出来的物理含义。
[关键词]图示法；信号；频谱分析；教学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）07-0022-02
信号与系统和数字信号处理课程是通信类，电子类，控制类等专业非常重要的一门专业基础课，对后续课程的学习至关重要，但是由于本课程的数学推导相对比较多，有些还比较晦涩难以理解，甚至有些学生到本课程结束，都还不知道数字信号处理课程中各种变换到底是怎么回事。实际上要充分理解信号的各种变换，就是要理解信号的时域改变以后频域会发生什么样的变化，反之，信号的频域发生改变，信号的时域波形又会怎样变化，也就是信号的时域描述和信号的频域描述之间的变换关系。
一、引入图示法教学的必要性
图示法就是以图形的方式展现所要讲解和阐述内容的要旨，用图形展现繁琐的数学推导所表达的结果，通过对人的感官刺激使课程内容形象化。傅里叶变换是学习的一个难点，教材中有个N点矩序列的频谱的例题，但它只以N=4为例画了频谱图，在该图中学生只能看出离散序列傅里叶变换的周期性，并不能理解到点数N的变化对频谱的影响，而在窗函数设计法中，又用到了N的变化对频谱的影响，并以文字的方式说明了一下，学生感觉很抽象，无法理解N的变化对频谱有什么影响。还有用DFT进行频谱分析时，最后用文字说明栅栏效应与频率分辨率是两个不同的概念，学生完全不能理解。
二、利用图示法教学的三个案例
下面本人结合自己的教学经验，通过三个组图对上述两个问题加以说明。
组图（一）左侧图形是门宽为4π、幅值为1的门函数及其以不同采样频率进行采样而得的离散矩形序列，右侧图形是它们的傅里叶变换对应的幅频特性图（声明：组图（一）中的ω均为模拟角频率，单位rad/s）。
組图（一）要反映的是连续信号以不同的采样周期进行采样，得到的各离散采样信号所对应频谱发生了什么相应改变。要想很好的利用组图（一）将问题讲透彻，本人建议采取这样几步进行讲解。
第一、应该帮助学生复习信号与系统课程中讲过的门函数的傅里叶变换和时域取样定理。
第二、提示学生思考：对门宽为4π的门函数分别以取样间隔T=π/2s、πp/4s、π/8s进行取样，得到的取样信号将分别为8点、16点、32点矩形序列；由取样定理可知这三个序列对应的幅频特性是门函数的幅频特性分别以ω=4rad/s、8rad/s、16rad/s为周期进行周期延拓而成的，理论分析完了，再观察仿真图形，与理论分析进行结合；
第三、最后这一步最为关键，是图解法的精要所在，往往常被忽视，就是对仿真结果进行总结分析。组图（一）的结论就是：采样信号的幅频特性是周期的。若选用频率作横轴，则周期为fs=1/T（单位Hz），其中T为时域的采样周期（时域采样间隔）；若选用模拟角频率作横轴，则周期为Ω=2π/T（单位rad/s）；若选用数字角频率作横轴，则周期为ω=ΩT=2π（单位rad）；在此将三个频率轴以及它们之间的关系也捎带将清楚了。
在幅频特性的每个周期内，主瓣和旁瓣个数之和等于矩形序列的点数N，并且以等间隔ω=2π/N振荡衰减，幅值随着N的增加而正比增加。此结论说明了矩形序列的点数N对幅频特性的影响。
若将模拟角频率转换为数字角频率，则发现各系列的幅频特性均以关于ω=π呈对称关系。可借此强调一下数字系统中ω=0附近是低频，ω=π附近是高频。这些结论也是后面窗函数法设计FIR滤波器的理论基础。
组图（二）是用来说明利用DFT进行频谱分析时，通过补零增大N可以改善栅栏效应，但是并没有提高频谱的分辨率这一问题的。把门函数在[0，4π）区间进行等间隔取样，取样间隔为π/2，这样就得到了8点矩形序列，再将这8点矩形序列分别补零到N=16点、32点、64点和128点，两个零点间距仍取π/2，然后再做N点DFT，观察补零后各序列的幅频特性的变化。
首先要学生清楚知道8点矩形序列的幅度频谱。这个内容组图（一）中已有结论，在此要进行复习，8点矩形序列的幅频特性应该是以2π为周期，关于ω=π呈现偶对称，在一个周期内，主瓣与旁瓣的个数之和等于8，极大值也等于8。
然后当对8点矩形序列及其补零序列做N点DFT，我们会发现此时的频谱是离散的，这些离散信号构成的包络始终都是8点矩形序列一个周期内的频谱，只是密度不同罢了。
结论：如果我们研究的就是8点矩形序列的频谱，也就是有限长序列的频谱，很显然通过补零增大N，频谱变得密集了，更加接近于8点矩形序列的幅度频谱，显然可以增大频率分辨率，可以改善栅栏效应。但如果我们研究的是连续信号门函数的频谱，发现补零来增大N，并没有使频谱更接近门函数的频谱，也就是频率分辨率并没有得到改善。又或者我们研究的是无限长序列的频谱，通过补零增加序列的长度N，也是不能改善频率分辨率的。这一点将通过组图（三）进一步说明。
组图（三）是单边指数序列x（n）=（0.8）nu（n）截取不同长度N后所得有限长序列及其对应的DFT的图形。通过此图反映对无限长序列截取不同长度N对频谱分辨率的影响。
该图的讲解过程：首先讨论单边指数序列x（n）=（0.8）nu（n）的频谱，可以采用零极图定性绘制，也可用表达式推导幅频特性，再绘制曲线，总之可以得到它是以2π为周期的连续谱，再与组图（三）比较，注意组图（三）中之画出了一个周期的频谱。
然后分别演示截取单边指数的前11个点的DFT和截取单边指数前41个点的DFT，最后让学生观察截取不同长度N对频谱的影响，哪一个更能反映单边指数的频谱，也就是那种频谱分辨率高，结论：截取长度N越大，幅频特性曲线越接近于单边指数序列的频谱，所以截取长度N越大频谱分辨率越高。
在此老师也可以改变指数函数的底数的参数值，让学生观察底数的变化对频率特性的影响。底数的改变，实质上就是极点的改变，此时频率实特性发生的改变，也就是极点对频率特性的影响。
三、结束语
图示法的例子还有很多，在此不再一一列举。图示法以图形直观的反映出数学推导得出的结论，但是要让学生自己用刚刚听过数学推导结果与matlab仿真图形相结合是有相当难度的，加之有些学生对matlab可能也不熟悉，所以教师的引导与讲解是非常必要的，也是图示法教学最为重要的环节，直接影响教学效果好坏。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 陈后金，胡健，薛键.信号与系统[M].北京：清华大学出版社，北方交通大学出版社，2003.
[2] 杨小非.信号与系统[M].北京：北京科学出版社，2013.
[3] 陈怀琛.数字信号处理教程——MATLAB释义与实现[M].北京：电子工业出版社，2013.
[特约编辑：黄紧德]
[关键词]图示法；信号；频谱分析；教学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）07-0022-02
信号与系统和数字信号处理课程是通信类，电子类，控制类等专业非常重要的一门专业基础课，对后续课程的学习至关重要，但是由于本课程的数学推导相对比较多，有些还比较晦涩难以理解，甚至有些学生到本课程结束，都还不知道数字信号处理课程中各种变换到底是怎么回事。实际上要充分理解信号的各种变换，就是要理解信号的时域改变以后频域会发生什么样的变化，反之，信号的频域发生改变，信号的时域波形又会怎样变化，也就是信号的时域描述和信号的频域描述之间的变换关系。
一、引入图示法教学的必要性
图示法就是以图形的方式展现所要讲解和阐述内容的要旨，用图形展现繁琐的数学推导所表达的结果，通过对人的感官刺激使课程内容形象化。傅里叶变换是学习的一个难点，教材中有个N点矩序列的频谱的例题，但它只以N=4为例画了频谱图，在该图中学生只能看出离散序列傅里叶变换的周期性，并不能理解到点数N的变化对频谱的影响，而在窗函数设计法中，又用到了N的变化对频谱的影响，并以文字的方式说明了一下，学生感觉很抽象，无法理解N的变化对频谱有什么影响。还有用DFT进行频谱分析时，最后用文字说明栅栏效应与频率分辨率是两个不同的概念，学生完全不能理解。
二、利用图示法教学的三个案例
下面本人结合自己的教学经验，通过三个组图对上述两个问题加以说明。
组图（一）左侧图形是门宽为4π、幅值为1的门函数及其以不同采样频率进行采样而得的离散矩形序列，右侧图形是它们的傅里叶变换对应的幅频特性图（声明：组图（一）中的ω均为模拟角频率，单位rad/s）。
組图（一）要反映的是连续信号以不同的采样周期进行采样，得到的各离散采样信号所对应频谱发生了什么相应改变。要想很好的利用组图（一）将问题讲透彻，本人建议采取这样几步进行讲解。
第一、应该帮助学生复习信号与系统课程中讲过的门函数的傅里叶变换和时域取样定理。
第二、提示学生思考：对门宽为4π的门函数分别以取样间隔T=π/2s、πp/4s、π/8s进行取样，得到的取样信号将分别为8点、16点、32点矩形序列；由取样定理可知这三个序列对应的幅频特性是门函数的幅频特性分别以ω=4rad/s、8rad/s、16rad/s为周期进行周期延拓而成的，理论分析完了，再观察仿真图形，与理论分析进行结合；
第三、最后这一步最为关键，是图解法的精要所在，往往常被忽视，就是对仿真结果进行总结分析。组图（一）的结论就是：采样信号的幅频特性是周期的。若选用频率作横轴，则周期为fs=1/T（单位Hz），其中T为时域的采样周期（时域采样间隔）；若选用模拟角频率作横轴，则周期为Ω=2π/T（单位rad/s）；若选用数字角频率作横轴，则周期为ω=ΩT=2π（单位rad）；在此将三个频率轴以及它们之间的关系也捎带将清楚了。
在幅频特性的每个周期内，主瓣和旁瓣个数之和等于矩形序列的点数N，并且以等间隔ω=2π/N振荡衰减，幅值随着N的增加而正比增加。此结论说明了矩形序列的点数N对幅频特性的影响。
若将模拟角频率转换为数字角频率，则发现各系列的幅频特性均以关于ω=π呈对称关系。可借此强调一下数字系统中ω=0附近是低频，ω=π附近是高频。这些结论也是后面窗函数法设计FIR滤波器的理论基础。
组图（二）是用来说明利用DFT进行频谱分析时，通过补零增大N可以改善栅栏效应，但是并没有提高频谱的分辨率这一问题的。把门函数在[0，4π）区间进行等间隔取样，取样间隔为π/2，这样就得到了8点矩形序列，再将这8点矩形序列分别补零到N=16点、32点、64点和128点，两个零点间距仍取π/2，然后再做N点DFT，观察补零后各序列的幅频特性的变化。
首先要学生清楚知道8点矩形序列的幅度频谱。这个内容组图（一）中已有结论，在此要进行复习，8点矩形序列的幅频特性应该是以2π为周期，关于ω=π呈现偶对称，在一个周期内，主瓣与旁瓣的个数之和等于8，极大值也等于8。
然后当对8点矩形序列及其补零序列做N点DFT，我们会发现此时的频谱是离散的，这些离散信号构成的包络始终都是8点矩形序列一个周期内的频谱，只是密度不同罢了。
结论：如果我们研究的就是8点矩形序列的频谱，也就是有限长序列的频谱，很显然通过补零增大N，频谱变得密集了，更加接近于8点矩形序列的幅度频谱，显然可以增大频率分辨率，可以改善栅栏效应。但如果我们研究的是连续信号门函数的频谱，发现补零来增大N，并没有使频谱更接近门函数的频谱，也就是频率分辨率并没有得到改善。又或者我们研究的是无限长序列的频谱，通过补零增加序列的长度N，也是不能改善频率分辨率的。这一点将通过组图（三）进一步说明。
组图（三）是单边指数序列x（n）=（0.8）nu（n）截取不同长度N后所得有限长序列及其对应的DFT的图形。通过此图反映对无限长序列截取不同长度N对频谱分辨率的影响。
该图的讲解过程：首先讨论单边指数序列x（n）=（0.8）nu（n）的频谱，可以采用零极图定性绘制，也可用表达式推导幅频特性，再绘制曲线，总之可以得到它是以2π为周期的连续谱，再与组图（三）比较，注意组图（三）中之画出了一个周期的频谱。
然后分别演示截取单边指数的前11个点的DFT和截取单边指数前41个点的DFT，最后让学生观察截取不同长度N对频谱的影响，哪一个更能反映单边指数的频谱，也就是那种频谱分辨率高，结论：截取长度N越大，幅频特性曲线越接近于单边指数序列的频谱，所以截取长度N越大频谱分辨率越高。
在此老师也可以改变指数函数的底数的参数值，让学生观察底数的变化对频率特性的影响。底数的改变，实质上就是极点的改变，此时频率实特性发生的改变，也就是极点对频率特性的影响。
三、结束语
图示法的例子还有很多，在此不再一一列举。图示法以图形直观的反映出数学推导得出的结论，但是要让学生自己用刚刚听过数学推导结果与matlab仿真图形相结合是有相当难度的，加之有些学生对matlab可能也不熟悉，所以教师的引导与讲解是非常必要的，也是图示法教学最为重要的环节，直接影响教学效果好坏。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 陈后金，胡健，薛键.信号与系统[M].北京：清华大学出版社，北方交通大学出版社，2003.
[2] 杨小非.信号与系统[M].北京：北京科学出版社，2013.
[3] 陈怀琛.数字信号处理教程——MATLAB释义与实现[M].北京：电子工业出版社，2013.
[特约编辑：黄紧德]