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【摘 要】本文选用一道2016年江苏省高三数学复习题作为测试题，对江苏省苏北地区的学生进行测试，通过统计分析所出现的不同的问题表征方式的性别差异，并且跟踪分析他们的数学成绩，得出以下结论：1.不同的学生数学问题表征是存在差异的；2.男女生之间的问题表征差异明显，男生的不同表征方式更为分布均匀，女生的问题表征方式相对集中、单一；3.表征方式多样的同学数学成绩表现较好；根据以上调查结果，启发我们一线教师多关注学生的知识的储备，知识间联系的广度和深度，激发学生的顿悟，提高学生问题表征能力。
【关键词】数学问题解决；数学问题表征；性别差异
1.概念界定
1.1数学问题解决
问题解决是从一个待解决的问题情境转移到解决方案的目标情境的过程，在这个过程中必须克服遇到的所有的障碍。数学问题解决是问题解决的一个重要的分支。数学问题解决一般可分为问题表征、选择策略、实施操作和评价这四个阶段。
1.2数学问题表征
问题表征的实质是对问题中所含信息的提取、组织、加工和表达。数学问题的有效解决尝尝依赖于对问题的适宜表征，不同的表征产生不同的解题方法。表征包括内部表征和外部表征。准确、恰当的表征是数学问题能否解决的关键。
2.实验
2.1被试
我们从江苏省丰县中学高三年级学生中随机选取100个学生作为被试，其中男生52人，女生48人，被试者年龄为18岁左右。这样可以有效的避免被试的年龄、智力水平和学习背景的差异过大，尽可能避免外部因素导致的数学问题表征的差异。
2.2实验工具
本次实验选用江苏省苏州市2016届高三模拟试卷上的一道不等式求最值问题作为测试题，因其灵活度高，可表征的方式比较多，所以比较能有效的测出被试的表征水平。题目如下：已知x，y∈R，4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为____。（尽可能多的写出你的解法）
2.3实验过程
选用一节自习课，由班主任辅助下发测试卷，测试，回收，并且事先告知学生这份测试不记名，不公开，仅用于数学研究。这样能确保学生认真对待这份测试卷，保证测试的有效性。测试卷下发100份，回收100份。
3.实验结果与分析
3.1数学问题表征的性别差异
中可以看出未能正确进行表征的同学中，男女生的人数基本相差不大，在能够用1种表征方式进行表征的同学中，女生的人数要高于男生的人数，在用2种方法的同学中，男女生又相差不大，但是用3种表征方式的同学中，男生略有优势，在使用4种及以上的同学中，男生具有绝对的优势。总体来看，约有72%的男女生都可以选用1种或者2种方式进行表征。
如果把每位同学的不同表征方式按次数累加，女生合计表征63种，男生合计表征93种，具体分布情况如下，学生采取的表征主要集中在表征1二次函数表征，表征5基本不等式表征，表征6函数表征和表征8齐次式表征这四种表征方式，占了总体表征数量的71.8%，这几种表征是本身与题目所呈现的信息较为相近的知识，联系度比较高，同时也是平时遇到类似问题时教师经常讲解的几种表征方式，相反的，剩下的4种表征方式与题目信息知识关联度较低，同时也是比较少见的。
3.2学生问题表征能力水平与学习成绩差异的检验与分析
针对以上男女生出现的不同的表征方式和差异，我们跟踪了他们的高三几次重要考试的成绩，并取平均值，结果如下：
看出采用不同的表征方式的方法数和数学成绩是正相关的。也就是说习惯用多种表征方式分析问题的同学，他们的数学成绩就相对表现比较好，而习惯单一进行表征的同学的数学成绩就相对差了一些。对于能够采用表征方式的个数一样的男女生，成绩之间没有明显的差异。
通过对以上的分析，我们发现题目所给的显性信息是一个二元二次方程，求一个二元一次代数式的最值问题。在我们列出的8种不同表征方式中，表征5的基本不等式表征是关联度最高的，也是最容易进行联想的，其次是通过还原，转化成二次函数问题，分式函数问题，也就是相应的表征1和表征6关联度相对低一些，另外联想三角函数的齐次式，进行构造，需要学生具备齐次式的结构体征的辨别功能，但是由于这个方法在日常学习中经常用，所以学生的表征方式主要集中在以上四种方式。剩下的4种表征方式，不仅需要学生认知结构中具有一定的知识储备，还需要对不同的形式进行转化，进而把题目信息和认知结构中的知识联系在一起。另外还需要具备丰富的联想能力，敏捷的辨别能力以及良好的捕捉信息的能力，由于知识关联度比较小，导致学生在进行表征的时候遇到了障碍，出现的表征结果并不理想。
4.结论
通过以上的实验及其分析，我们可以发现：
高中生的数学问题表征能力是有差异的，这种差异主要反映在学生本身的认知结构中知识的储备数量不同，其中包括认知的广度和深度都有差异；学生对不同知识之间的联系的方式方法以及思维方式不同；从而使得学生认知中的层次性、逻辑性不同，导致问题表征的呈现形式也不相同。
学生的数学问题表征水平和其数学成绩之间具有较显著的相关性。表征方法越是具有多样性，学生的成绩越是表现较好，表征方式单一，成绩就相对较低。
5.教育启示
5.1注意培养学生的知识的广度和深度
只有具备了一定的知识积累，弄清之间的来龙去脉，才能够进行联想，建立对应的关联，才能对知识进行横向和纵向的延伸，拓宽。
5.2加强不同板块知识之间的联系
可以采用例如思维导图的方式训练学生对不同知识间的联系，有意识的培养他们思维的联想意识，联想习惯，训练逻辑思维。
5.3班级内充分利用男女生各自优势进行教学
例如在分组教学中，每个小组在人员分配中充分考虑一些男生表征能力多样化和女生的稳定性，解题准确性，进行优势互补，互帮互助，综合提高。
【参考文献】
[1]李建华.波利亚的“问题解决”理论及其发展[J].数学通报，2009.48（12）：9-14
[2]何小亚.解决数学问题的心理过程分析[J].数学教育学报，2004.13（3）：34-36
（基金项目：本文系江苏省教研室第十期课题《高中生数学解题能力的性别差异及对策研究——以丰县地区为例》研究成果之一。）
【关键词】数学问题解决；数学问题表征；性别差异
1.概念界定
1.1数学问题解决
问题解决是从一个待解决的问题情境转移到解决方案的目标情境的过程，在这个过程中必须克服遇到的所有的障碍。数学问题解决是问题解决的一个重要的分支。数学问题解决一般可分为问题表征、选择策略、实施操作和评价这四个阶段。
1.2数学问题表征
问题表征的实质是对问题中所含信息的提取、组织、加工和表达。数学问题的有效解决尝尝依赖于对问题的适宜表征，不同的表征产生不同的解题方法。表征包括内部表征和外部表征。准确、恰当的表征是数学问题能否解决的关键。
2.实验
2.1被试
我们从江苏省丰县中学高三年级学生中随机选取100个学生作为被试，其中男生52人，女生48人，被试者年龄为18岁左右。这样可以有效的避免被试的年龄、智力水平和学习背景的差异过大，尽可能避免外部因素导致的数学问题表征的差异。
2.2实验工具
本次实验选用江苏省苏州市2016届高三模拟试卷上的一道不等式求最值问题作为测试题，因其灵活度高，可表征的方式比较多，所以比较能有效的测出被试的表征水平。题目如下：已知x，y∈R，4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为____。（尽可能多的写出你的解法）
2.3实验过程
选用一节自习课，由班主任辅助下发测试卷，测试，回收，并且事先告知学生这份测试不记名，不公开，仅用于数学研究。这样能确保学生认真对待这份测试卷，保证测试的有效性。测试卷下发100份，回收100份。
3.实验结果与分析
3.1数学问题表征的性别差异
中可以看出未能正确进行表征的同学中，男女生的人数基本相差不大，在能够用1种表征方式进行表征的同学中，女生的人数要高于男生的人数，在用2种方法的同学中，男女生又相差不大，但是用3种表征方式的同学中，男生略有优势，在使用4种及以上的同学中，男生具有绝对的优势。总体来看，约有72%的男女生都可以选用1种或者2种方式进行表征。
如果把每位同学的不同表征方式按次数累加，女生合计表征63种，男生合计表征93种，具体分布情况如下，学生采取的表征主要集中在表征1二次函数表征，表征5基本不等式表征，表征6函数表征和表征8齐次式表征这四种表征方式，占了总体表征数量的71.8%，这几种表征是本身与题目所呈现的信息较为相近的知识，联系度比较高，同时也是平时遇到类似问题时教师经常讲解的几种表征方式，相反的，剩下的4种表征方式与题目信息知识关联度较低，同时也是比较少见的。
3.2学生问题表征能力水平与学习成绩差异的检验与分析
针对以上男女生出现的不同的表征方式和差异，我们跟踪了他们的高三几次重要考试的成绩，并取平均值，结果如下：
看出采用不同的表征方式的方法数和数学成绩是正相关的。也就是说习惯用多种表征方式分析问题的同学，他们的数学成绩就相对表现比较好，而习惯单一进行表征的同学的数学成绩就相对差了一些。对于能够采用表征方式的个数一样的男女生，成绩之间没有明显的差异。
通过对以上的分析，我们发现题目所给的显性信息是一个二元二次方程，求一个二元一次代数式的最值问题。在我们列出的8种不同表征方式中，表征5的基本不等式表征是关联度最高的，也是最容易进行联想的，其次是通过还原，转化成二次函数问题，分式函数问题，也就是相应的表征1和表征6关联度相对低一些，另外联想三角函数的齐次式，进行构造，需要学生具备齐次式的结构体征的辨别功能，但是由于这个方法在日常学习中经常用，所以学生的表征方式主要集中在以上四种方式。剩下的4种表征方式，不仅需要学生认知结构中具有一定的知识储备，还需要对不同的形式进行转化，进而把题目信息和认知结构中的知识联系在一起。另外还需要具备丰富的联想能力，敏捷的辨别能力以及良好的捕捉信息的能力，由于知识关联度比较小，导致学生在进行表征的时候遇到了障碍，出现的表征结果并不理想。
4.结论
通过以上的实验及其分析，我们可以发现：
高中生的数学问题表征能力是有差异的，这种差异主要反映在学生本身的认知结构中知识的储备数量不同，其中包括认知的广度和深度都有差异；学生对不同知识之间的联系的方式方法以及思维方式不同；从而使得学生认知中的层次性、逻辑性不同，导致问题表征的呈现形式也不相同。
学生的数学问题表征水平和其数学成绩之间具有较显著的相关性。表征方法越是具有多样性，学生的成绩越是表现较好，表征方式单一，成绩就相对较低。
5.教育启示
5.1注意培养学生的知识的广度和深度
只有具备了一定的知识积累，弄清之间的来龙去脉，才能够进行联想，建立对应的关联，才能对知识进行横向和纵向的延伸，拓宽。
5.2加强不同板块知识之间的联系
可以采用例如思维导图的方式训练学生对不同知识间的联系，有意识的培养他们思维的联想意识，联想习惯，训练逻辑思维。
5.3班级内充分利用男女生各自优势进行教学
例如在分组教学中，每个小组在人员分配中充分考虑一些男生表征能力多样化和女生的稳定性，解题准确性，进行优势互补，互帮互助，综合提高。
【参考文献】
[1]李建华.波利亚的“问题解决”理论及其发展[J].数学通报，2009.48（12）：9-14
[2]何小亚.解决数学问题的心理过程分析[J].数学教育学报，2004.13（3）：34-36
（基金项目：本文系江苏省教研室第十期课题《高中生数学解题能力的性别差异及对策研究——以丰县地区为例》研究成果之一。）