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摘要： 证明三维湍流Richardson扩散方程中的变系数拉普拉斯算子是基本解为r-7/3的一个势算子，并称其为Richardson势算子，其中，r是空间中两点的欧几里得距离.基于Kolmogorov标度律和湍流快扩散（superdiffusion）理论，运用隐式微积分方程建模方法提出雷诺方程中的Richardson势算子湍流涡黏性本构方程.
关键词： 湍流； 涡黏性本构； Richardson扩散方程； 基本解； Richardson势算子； 隐式微积分方程建模
中图分类号： O39； O241.8文献标志码： A
Abstract： It is verified that the Laplacian operator with varying coefficient in the 3D turbulence Richardson diffusion equation is a potential operator having the fundamental solution r-7/3， which is called the Richardson potential operator and where r is the Euclidean distance between two points. Based on the Kolmogorov scaling law and turbulence superdiffusion theory， a Richardson potential operator equation of turbulence eddy viscosity constitutive relationship in the Reynolds equation is proposed by the implicit calculus equation modeling approach.
Key words： turbulence； eddy viscosity constitutive relationship； Richardson diffusion equation； fundamental solution； Richardson potential operator； implicit calculus equation modeling
3讨论
隐式微积分建模方法将微积分建模与统计模型深刻紧密地结合起来，揭示确定性模型与随机模型的内在联系.本文利用隐式微积分建模方法发展的雷诺湍流模型，是一个统计意义清晰的确定性物理模型.
Richardson势算子基本解r-7/3与湍流的Kolmogorov标度率有数学、力学上的清晰联系.另一方面，其也许与湍流的分形结构有关，深入分析这个问题是下一步工作的重点.
类似于文献[2]的方法，也可以用Richardson势算子构造间歇性湍流的统计方程Pt-γΔRP-υΔP=0（11）式中：P为概率密度函数.式（11）包含涡尺度和分子尺度的黏性扩散行为，可刻画湍流的多尺度行为.
文献[2]提出的分数阶拉普拉斯算子涡黏性本构模型，本质上假设湍流涡的扩散服从Lévy稳态分布[3]，但是湍流实验数据更接近伸展高斯分布[6].本文引入的Richardson势算子湍流涡黏性本构模型在统计上反映湍流的伸展高斯分布特征.此外，Lévy稳态分布的2阶矩无穷大[3]，而伸展高斯分布没有这个问题.有关这两个模型的数值验证是一个非常重要的工作，可以考虑从槽道湍流问题入手.
参考文献：
[1]BATCHELOR G K. Theory of homogeneous turbulence[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1953.
[2]CHEN W. A speculative study of 2/3order fractional Laplacian modeling of turbulence： Some thoughts and conjectures[J]. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 2006， 16（2）： 023126. DOI： 10.1063/1.2208452.
[3]SAICHEV A， ZASLAVSKY G M. Fractional kinetic equations： Solutions and applications[J]. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 1997， 7（4）： 753764. DOI： 10.1063/1.166272.
[4]JULLIEN M C， PARET J， TABELING P. Richardson pair dispersion in twodimensional turbulence[J]. Physical Review Letters， 1999， 82（14）： 28722875. DOI： 10.1103/PhysRevLett.82.2872.
[5]MAJDA A J， KRAMER P R. Simplified models for turbulent diffusion： Theory， numerical modeling， and physical phenomena[J]. Physics Reports， 1999， 314（45）： 237574.
[6]PORTA A L， VOTH G A， CRAWFORD A M， et al. Fluid particle accelerations in fully developed turbulence[J]. Nature， 2001， 409： 10171019.
[7]SOKOLOV I M， KLAFTER J， BLUMEN A. Ballistic versus diffusive pair dispersion in the Richardson regime[J]. Physical Review E， 2000， 61（3）： 27172722. DOI：10.1103/PhysRevE.61.2717.
[8]陈文.复杂科学与工程问题仿真的隐式微积分建模[J]. 计算机辅助工程， 2014， 23（5）： 16.
CHEN W. Implicit calculus modeling for simulating complex scientific and engineering problems[J]. Computer Aided Engineering， 2014， 23（5）： 16. DOI： 10.13340/j.cae.2014.05.001.
（编辑于杰）
关键词： 湍流； 涡黏性本构； Richardson扩散方程； 基本解； Richardson势算子； 隐式微积分方程建模
中图分类号： O39； O241.8文献标志码： A
Abstract： It is verified that the Laplacian operator with varying coefficient in the 3D turbulence Richardson diffusion equation is a potential operator having the fundamental solution r-7/3， which is called the Richardson potential operator and where r is the Euclidean distance between two points. Based on the Kolmogorov scaling law and turbulence superdiffusion theory， a Richardson potential operator equation of turbulence eddy viscosity constitutive relationship in the Reynolds equation is proposed by the implicit calculus equation modeling approach.
Key words： turbulence； eddy viscosity constitutive relationship； Richardson diffusion equation； fundamental solution； Richardson potential operator； implicit calculus equation modeling
3讨论
隐式微积分建模方法将微积分建模与统计模型深刻紧密地结合起来，揭示确定性模型与随机模型的内在联系.本文利用隐式微积分建模方法发展的雷诺湍流模型，是一个统计意义清晰的确定性物理模型.
Richardson势算子基本解r-7/3与湍流的Kolmogorov标度率有数学、力学上的清晰联系.另一方面，其也许与湍流的分形结构有关，深入分析这个问题是下一步工作的重点.
类似于文献[2]的方法，也可以用Richardson势算子构造间歇性湍流的统计方程Pt-γΔRP-υΔP=0（11）式中：P为概率密度函数.式（11）包含涡尺度和分子尺度的黏性扩散行为，可刻画湍流的多尺度行为.
文献[2]提出的分数阶拉普拉斯算子涡黏性本构模型，本质上假设湍流涡的扩散服从Lévy稳态分布[3]，但是湍流实验数据更接近伸展高斯分布[6].本文引入的Richardson势算子湍流涡黏性本构模型在统计上反映湍流的伸展高斯分布特征.此外，Lévy稳态分布的2阶矩无穷大[3]，而伸展高斯分布没有这个问题.有关这两个模型的数值验证是一个非常重要的工作，可以考虑从槽道湍流问题入手.
参考文献：
[1]BATCHELOR G K. Theory of homogeneous turbulence[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1953.
[2]CHEN W. A speculative study of 2/3order fractional Laplacian modeling of turbulence： Some thoughts and conjectures[J]. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 2006， 16（2）： 023126. DOI： 10.1063/1.2208452.
[3]SAICHEV A， ZASLAVSKY G M. Fractional kinetic equations： Solutions and applications[J]. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 1997， 7（4）： 753764. DOI： 10.1063/1.166272.
[4]JULLIEN M C， PARET J， TABELING P. Richardson pair dispersion in twodimensional turbulence[J]. Physical Review Letters， 1999， 82（14）： 28722875. DOI： 10.1103/PhysRevLett.82.2872.
[5]MAJDA A J， KRAMER P R. Simplified models for turbulent diffusion： Theory， numerical modeling， and physical phenomena[J]. Physics Reports， 1999， 314（45）： 237574.
[6]PORTA A L， VOTH G A， CRAWFORD A M， et al. Fluid particle accelerations in fully developed turbulence[J]. Nature， 2001， 409： 10171019.
[7]SOKOLOV I M， KLAFTER J， BLUMEN A. Ballistic versus diffusive pair dispersion in the Richardson regime[J]. Physical Review E， 2000， 61（3）： 27172722. DOI：10.1103/PhysRevE.61.2717.
[8]陈文.复杂科学与工程问题仿真的隐式微积分建模[J]. 计算机辅助工程， 2014， 23（5）： 16.
CHEN W. Implicit calculus modeling for simulating complex scientific and engineering problems[J]. Computer Aided Engineering， 2014， 23（5）： 16. DOI： 10.13340/j.cae.2014.05.001.
（编辑于杰）