论文部分内容阅读
摘 要：在反思教师教学分析现状的基础上，以“圆（1）”为载体，简录用“三要素”理论指导教学分析的过程，旨在增强教师教学分析的意识和学会教学分析的方法．
关键词：教学分析；三要素理论；案例
引 言
“三要素”理论是人民教育出版社中数室章建跃博士在研究高效数学教学过程中发展起来的数学教学分析的理论模型． “三要素”指：理解数学（内容的特点及价值）；理解学生（认知起点及思维障碍）；理解教学（教学的方式与方法）． 他认为“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石．” 苏霍姆林斯基说：“我们要会用一辈子的时间去备课，但真正上具体的一节课，只要花十几分钟就够了．” 因此，教学决策之前进行深入、细致的教学分析（在“三个理解”上狠下工夫）是实现高效教学的前提． 但目前教师仍缺乏教学分析的意识与技能，导致课堂教学“立意”不高和教学指导不当． 本文，以浙教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》九年级上册“3.1圆”第1课时为载体，简录用“三要素”理论指导教学分析的过程，希望对帮助教师增强教学分析的意识和学会教学分析的方法有积极的作用．
“三要素”教学分析法过程简录
1. 理解数学——内容及其解析
内容：“圆（1）”涉及“结果形态”的知识主要有：圆、弧、弦的概念及表示，点与圆的位置关系；涉及“过程形态”的知识主要有：圆的产生过程、圆性质的生成过程和圆性质的应用过程中反映出来的思想方法和认知策略等；涉及“关系形态”的知识主要有：在认识圆与其他几何图形的关系和圆与现实生活的关系中反映出来的原有知识与经验． 其知识之间的相互关系可用如下结构框图表示：
解析：圆是在认识直线型图形和小学初步认识圆的基础上提出来的，是对圆的再认识． 但中学认识圆比小学上了一个较大的台阶：研究的对象数学化程度提高了——从以生活中的圆为主过渡到以数学中的圆为主；研究的内容丰富了——从圆的部分特征与圆的部分性质过渡到圆的所有特征与圆的所有性质；研究的思想方法变化了——从宏观的定性描述圆的特征与性质过渡到微观的定量描述圆的特征与性质；研究的思维要求提高了——从借助生活中的圆进行直观感知过渡到借助数学中的圆进行理性思维；研究结果的数学表示方式丰富了——从以文字表示为主过渡到文字表示、图形表示与符号表示相结合． 圆可以看成是圆形物体的数学抽象（“综括关系”）；圆也可以看成是线段绕一个端点旋转一周，另一个端点的轨迹（“类属关系”）；圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的集合（“类属关系”）；圆又可以看成是正多边形边数无限增加时的极限（“综括关系”）． 圆是最美丽的几何图形，在现实生活中有丰富情景；圆不但是平面几何的研究对象，而且是解析几何的研究对象．圆有两个要素（圆心和半径），它在研究直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系中有重要作用；弧、弦的概念是进一步认识圆的有关性质（对称性，垂径定理，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，弧长和扇形面积公式等）的基础；圆的性质是进一步认识几何图形和研究解析几何的基础，并是解决实际问题的工具． 其蕴涵的发现数学规律的基本方法（特殊到一般、具体到抽象、现象到本质）、数学研究的普遍方法（定性到定量）、研究数学的一般方法（分析与综合、归纳与演绎、联想与类比）、研究图形的思想方法（数形结合、运动观点），对发展学生的智力和丰富学生的数学活动经验有积极的作用． 其蕴涵的理性思维过程（生活中圆到几何中圆的抽象过程、画圆经验到圆本质特征的概括过程、圆中的不变关系的发现过程、圆及其有关概念的建构过程和用定量方法描述点与圆的位置关系的过程、概念的辨析与“多元联系”的过程、圆有关理论的应用过程等），对发展学生的能力和个性也有重要作用．
教学重点：描述圆的几何特征与寻找圆的性质．
2. 理解学生——教学问题诊断
认知起点：“圆（1）”包含圆的产生、圆的特征、圆的定义及符号表示、圆的性质、弧及弦的定义、圆性质的应用． 根据学生的认知规律，圆的产生和圆特征的概括要运用“抽象问题具体化”的策略，需要学生具有数学抽象的经历和用圆规画圆的经验，需要学生具有多角度观察几何图形特征的经验；发现圆的性质要运用“一般问题特殊化”的策略，需要学生具有发现几何关系的科学视角；有关概念的建构要运用“特殊到特殊或一般到一般”的类比方法，需要学生具有用文字、符号表示几何概念的经验． 由于学生在小学已经积累了有关圆的知识和活动经验，并且具有认识几何图形特征与性质的经验．因此，大多数学生通过回顾与思考能激活学习新知识所需要的“生长点”．
思维障碍：尽管圆的结构比较简单，但用文字形式表述圆的本质特征有一定的难度，估计部分学生会遇到困难；尽管学生有发现几何关系的经历与经验，但大多数学生缺乏发现几何关系的科学视角，估计大部分学生很难发现：圆分平面上的点为三个部分、圆上任意两点之间的部分长（路程）和连结这两点之间的线段长（距离）存在不等关系、圆上任意三点不在同一条直线上；尽管学生有定量刻画几何关系的经历与经验，但定量刻画点与圆的位置关系包括三种情况及其正反两个方面比较复杂，估计部分学生会遇到困难．
教学难点：圆几何特征的描述与圆性质的生成．
3. 理解教学——教学方式与方法分析
（1）这节课教学的创新点之一是导入性学习活动的设计． 从知识结构框图中不难发现，这节课有三种切入方式：①从正多边形边数无限增加演绎得出圆（圆是正多边形边数无限增加时的极限）． 这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是上位学习，思维形式是归纳）和新课程理念（从学生已有的知识与经验出发展开教学），并且借助多媒体直接给出圆花时少，但这种方式不能反映圆的本质特征，并且教师演示学生观察的方法学生思维含量不高，同时与现实生活缺少沟通． ②从现实生活中的圆形物体抽象得出圆． 这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是上位学习，思维形式是归纳）和几何发展规律（平面几何理论是在对物质世界进行了抽象的基础上借助一些概念、公理和法则经演绎推理而来的，它属于经验性与演绎性在实践基础上辩证统一的产物），并且暗示了圆具有广泛的现实情景，有利于学生感受进一步研究圆的必要性，但借助多媒体抽象得出的圆不能反映圆的本质特征，并且教师演示学生观察的方法学生思维含量也不高（学生没有实质性经历数学抽象的过程），容易导致学生“生活中圆”与“数学中圆”相混淆． ③借助圆规画圆得出圆．这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是下位学习，思维形式是演绎）和几何发展规律，并且学生经历了动手操作的过程，也暗示了圆的本质特征，但没有反映圆现实情景的广泛存在性，并且画图操作花时较多． 通过对三种切入方式的优劣分析，这节课的导入性学习活动可以这样设计：首先，要求学生借助圆规画圆（包括同心圆和等圆）；其次，要求学生思考：①确定一个圆需要哪些条件？其作用分别是什么？②用数学的眼光看画圆的过程，圆形成的实质是什么？第三，要求学生给圆赋予尽可能多的现实情景（寻找圆的生活原型）；第四，组织学生交流对圆的感触（生活意义、数学意义、育人意义）． 这样的开放式导入“立意”可能更高． 考虑到经历“过程”可能会对按时完成教学任务带来挑战，这里的画图、思考、举例可以移至课前（让学生课前进行活动——预习）． （2）这节课教学的创新点之二是探究性学习活动的设计． 描述圆的本质特征和寻找圆中的不变关系，有思想、有数学味、有能力发展点、有个性和创新精神培养点．如果采用接受性教学或教师问学生答的“小步子推进”的方式，会隐去蕴涵在内容中生动活泼的思维活动，从而失去了学生体会思维方法和思想方法以及发展能力和个性的机会，这不符合数学素质教育的要求和新课程的主张；如果采用开放度比较大的学生自主建构的方式，会导致学生思维受阻或思维偏离前进的方向，从而产生教学停顿状态或教学花时过多对按时完成教学任务带来挑战的问题，这也不符合新课程倡导的教学理念． 这些不当的教法都是假探究，学生没有经历深度思维的过程． 其责任是教师引导不到位——问题的指向性太强或太弱． 因此，探究性学习活动可采用教师价值引导与学生自主建构相结合的方式． 如概括圆的本质特征，可以采用教师问题引导下的学生合作研讨的方式：尽管圆的位置和大小千变万化，但圆的形状具有不变性，你能根据圆的形成过程来描述圆的形状（圆的本质特征）吗？请大家合作研讨并发表自己的观点． 这里暗示了根据圆的形成过程来观察的方法． 又如圆中不变关系的发现，可以采用教师问题引导与必要提示下的学生合作研讨的方式：尽管圆的位置和大小千变万化，但圆中有许多不变关系，你能根据圆的形状特征，给出尽可能多的圆中的不变关系（元素之间的数量或位置的不变关系）吗？请大家合作研讨并发表自己的观点（提示：可从宏观（着眼于图形）、微观（着眼于点）或宏观与微观相结合多个角度进行观察）． 如果学生发现几何关系的能力弱，则提示的指向性可进一步加强：圆分平面上的点为几个部分？平面上点与圆的位置关系是否存在数量关系？圆上任意两点之间的部分长（路程）与连结这两点之间的线段长（距离）有何关系？圆上任意三点有何关系？圆是否具有对称性？这样暗示了发现几何关系的科学视角，能使学生发现更全面（能消除学生只会说课本提供的结论的现象），能使学生经历实质性思维过程． 探究性学习活动要关注四性：必要性——内容是否有教育价值（是否有探究的必要）；目的性——探究目标是否明确；可操作性——学生是否有思维前进的方向；有效性——能否引发学生积极思维．
（3）这节课教学的创新点之三是理论应用学习活动的设计． 借助生成的数学方法和理论解决具体问题（数学问题或实际问题）是数学教学重要组成部分． 但数学应用要关注：①问题的选择要紧扣教学目标（避免盲目性和随意性）． 如本节课的核心目标是掌握点与圆的位置关系（因为圆的对称性学生已熟悉且后继学习会进一步深化，“路程”与“距离”的不等关系是引出弧、弦概念的需要提出来的），因此，重点是选择涉及点与圆位置关系的问题． ②问题的数量要合适（数量过多会导致就题论题）． 如点与圆位置关系的应用一个例子就足够了，关键在于问题解决后的进一步引申与拓展，使学生认识更深刻、体验更深入． ③寓数学思想方法于问题解决之中，能使学生体会到解题的策略（思想）、方法和技巧． 如本节课的问题可以借用课本中的例题：如图，在A地正北60 m的Ｂ处有一幢民房，正西80 m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑． 因施工需要，必须在A处进行一次爆破． 为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内．
教学可以这样进行：先引导学生经历：审题、分析、建模、解模、验证、作答的过程，再引导学生进行反思：①解决问题的策略是什么？用的是什么方法？使用了哪些技巧？②若BC是一条马路，为保证不影响马路上的行人和车辆，则爆破影响面的半径应控制在什么范围内？
这样就消除了就题论题的现象，充分发挥了问题的教育功能，能使学生在问题解决过程中进一步理解点与圆位置关系，也能在“过程”中体会思维方法和思想方法以及发展能力和个性．
基于以上分析，这节课的教学流程、教学方式与方法基本明确了，可用如下结构框图表示：
这是一个以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程，比较自然、和谐． 它改变了普遍存在的内容配置散点割裂化的现象——弧、弦概念的引入和点与圆位置关系的引入有“天上掉下林妹妹”的感觉． 在此基础上，可以进行教学决策：设计教学目标并将其具体化——选择学习的载体，教学的方式，指导的方法．
随感随想
（１）教学分析的意义． 教学分析有利于从数学上把握学习内容的整体性和内在联系性，从而能明确学习内容的逻辑结构和思想方法结构，能使教学“立意”更高，内在逻辑线索更明显，目标定位更准确；教学分析有利于明确实现目标所需要的合适载体，从而能更好地开发和利用教学资源并处理教学内容，使组织的教学内容更具有针对性，更能激发学生的学习兴趣；教学分析有利于明确内容呈现的各种可行方式，从而能使教学方式经历“多选一”的过程，并有可能在优势互补的基础上作出创新，使教学更符合数学发展规律和学生学习数学的认知规律以及教育的规律；教学分析有利于明确实现目标所需要的学习方法，从而能使学法指导更科学，教学更有效． 教学决策之前的分析是不该被遗忘的教学起点．
（２）教学分析的视角与视点． 从宏观看，“三要素”教学分析理论给出了相对稳定的分析程式：内容及其解析→教学问题诊断→教学方式与方法分析． 但从微观看，每个分析视角又有多样化的描述方式和有详有略的刻画特点． 一般地，内容概述是阐述用“望远镜”把握教材（内容的整体性和联系性）的结果，其重点是制作知识结构框图——以显性的“结果形态”的知识为载体，揭示隐性的“关系形态”和“过程形态”的知识． 内容解析是阐述用“显微镜”认识教材的结果，其主要视点有：知识发生与发展的背景，特别关注研究这些知识与小学研究有关知识的差异；内容的数学本质；新、旧知识的联系方式；内容的价值——认识价值（对数学知识的认识、对学习方法和理性思维过程等的认识）；智力价值（内容蕴涵的思想方法、思维方式、数学活动经验等，对发展学生智力的影响）；育人价值（内容蕴涵的能力培养素材，使人成才的功能；内容凝聚的前人或他人的智慧、精神和品格，积淀的具有普遍意义和永恒价值的思维方式、思想观念、价值取向和精神追求等品质发展素材，使人成人的功能）；应用价值（内容在解决数学内部和外部问题中的作用）等． 教学问题诊断是阐述认识学生的结果，其主要视点有：认知起点（根据内容的认知特点分析学生学习新知识所需要的“生长点”以及学生是否具备学习新知识所需要的“生长点”）；认知障碍（根据内容的认知特点和学生心理发展规律，预测学生学习新知识可能会遇到的思维障碍）． 教学方式与方法分析是阐述用“广角镜”认识教学的结果，其主要视点有：分析内容呈现的各种可行方式，并指出各种呈现方式的优点与缺点，从中选择最能反映数学本质和最有利于发展学生认知的教学方式；分析实现教学目标所需要的教学内容；分析实现教学目标所需要的学习方法和指导策略，特别是有利于促进学生有效思维的教师指导方法；进而构建合适的教学过程结构．
（３）教学分析的策略．理解数学需要正确认识数学知识的内涵：数学知识包括作为人类经验和精神文化成果的知识（显性知识）和作为人的生命实践活动的“过程形态”和“关系形态”的知识（隐性知识）． 因此，知识结构框图的建构，需要对知识结构多层次理解（特别是意义理解），需要对知识结构多维关系认识；教学价值的定位，需要正确认识内容的数学本质以及内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源． 理解教学需要正确认识“教学有法，但无定法”的内涵：教学有法是指教学内容的呈现方式，不但要遵循数学的发展规律（数学的发现、数学的完善、数学的应用）和学生学习数学的认知规律（具体到抽象、特殊到一般、现象到本质），也要遵循教育的规律（在数学学习活动的过程中，体验思维方法和思想方法，发展能力和个性）；教学无定法是指可行的教学反映方式可能具有多样性，可以根据内容的特点和不同地域学生的实际选择合适的教学方式——最能反映内容的数学本质且最有利于学生认知发展． 因此，教学方式的选择，需要对知识结构多维加工——“条状重组”、“块状重组”、“条块融通”，在可行的教学方式中选择合适的教学方式；教学方法的运用，需要激活知识的“生命态”（实现书本知识与学生现实生活的沟通，实现书本知识与学生个人经验的沟通，实现书本知识与人类生命实践的沟通），需要根据内容的特点和学生的思维状况进行有效指导：思维跨度大时的问题暗示、困惑或认识模糊时的点拨、思维受阻时的“元认知提示语”发问、思维偏离方向时的干预、观念碰撞时的评价、回答不完善时的追问、回答有创意时的激励、解法多样化时的价值分析、问题解决后提出反思性问题等．
关键词：教学分析；三要素理论；案例
引 言
“三要素”理论是人民教育出版社中数室章建跃博士在研究高效数学教学过程中发展起来的数学教学分析的理论模型． “三要素”指：理解数学（内容的特点及价值）；理解学生（认知起点及思维障碍）；理解教学（教学的方式与方法）． 他认为“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石．” 苏霍姆林斯基说：“我们要会用一辈子的时间去备课，但真正上具体的一节课，只要花十几分钟就够了．” 因此，教学决策之前进行深入、细致的教学分析（在“三个理解”上狠下工夫）是实现高效教学的前提． 但目前教师仍缺乏教学分析的意识与技能，导致课堂教学“立意”不高和教学指导不当． 本文，以浙教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》九年级上册“3.1圆”第1课时为载体，简录用“三要素”理论指导教学分析的过程，希望对帮助教师增强教学分析的意识和学会教学分析的方法有积极的作用．
“三要素”教学分析法过程简录
1. 理解数学——内容及其解析
内容：“圆（1）”涉及“结果形态”的知识主要有：圆、弧、弦的概念及表示，点与圆的位置关系；涉及“过程形态”的知识主要有：圆的产生过程、圆性质的生成过程和圆性质的应用过程中反映出来的思想方法和认知策略等；涉及“关系形态”的知识主要有：在认识圆与其他几何图形的关系和圆与现实生活的关系中反映出来的原有知识与经验． 其知识之间的相互关系可用如下结构框图表示：
解析：圆是在认识直线型图形和小学初步认识圆的基础上提出来的，是对圆的再认识． 但中学认识圆比小学上了一个较大的台阶：研究的对象数学化程度提高了——从以生活中的圆为主过渡到以数学中的圆为主；研究的内容丰富了——从圆的部分特征与圆的部分性质过渡到圆的所有特征与圆的所有性质；研究的思想方法变化了——从宏观的定性描述圆的特征与性质过渡到微观的定量描述圆的特征与性质；研究的思维要求提高了——从借助生活中的圆进行直观感知过渡到借助数学中的圆进行理性思维；研究结果的数学表示方式丰富了——从以文字表示为主过渡到文字表示、图形表示与符号表示相结合． 圆可以看成是圆形物体的数学抽象（“综括关系”）；圆也可以看成是线段绕一个端点旋转一周，另一个端点的轨迹（“类属关系”）；圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的集合（“类属关系”）；圆又可以看成是正多边形边数无限增加时的极限（“综括关系”）． 圆是最美丽的几何图形，在现实生活中有丰富情景；圆不但是平面几何的研究对象，而且是解析几何的研究对象．圆有两个要素（圆心和半径），它在研究直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系中有重要作用；弧、弦的概念是进一步认识圆的有关性质（对称性，垂径定理，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，弧长和扇形面积公式等）的基础；圆的性质是进一步认识几何图形和研究解析几何的基础，并是解决实际问题的工具． 其蕴涵的发现数学规律的基本方法（特殊到一般、具体到抽象、现象到本质）、数学研究的普遍方法（定性到定量）、研究数学的一般方法（分析与综合、归纳与演绎、联想与类比）、研究图形的思想方法（数形结合、运动观点），对发展学生的智力和丰富学生的数学活动经验有积极的作用． 其蕴涵的理性思维过程（生活中圆到几何中圆的抽象过程、画圆经验到圆本质特征的概括过程、圆中的不变关系的发现过程、圆及其有关概念的建构过程和用定量方法描述点与圆的位置关系的过程、概念的辨析与“多元联系”的过程、圆有关理论的应用过程等），对发展学生的能力和个性也有重要作用．
教学重点：描述圆的几何特征与寻找圆的性质．
2. 理解学生——教学问题诊断
认知起点：“圆（1）”包含圆的产生、圆的特征、圆的定义及符号表示、圆的性质、弧及弦的定义、圆性质的应用． 根据学生的认知规律，圆的产生和圆特征的概括要运用“抽象问题具体化”的策略，需要学生具有数学抽象的经历和用圆规画圆的经验，需要学生具有多角度观察几何图形特征的经验；发现圆的性质要运用“一般问题特殊化”的策略，需要学生具有发现几何关系的科学视角；有关概念的建构要运用“特殊到特殊或一般到一般”的类比方法，需要学生具有用文字、符号表示几何概念的经验． 由于学生在小学已经积累了有关圆的知识和活动经验，并且具有认识几何图形特征与性质的经验．因此，大多数学生通过回顾与思考能激活学习新知识所需要的“生长点”．
思维障碍：尽管圆的结构比较简单，但用文字形式表述圆的本质特征有一定的难度，估计部分学生会遇到困难；尽管学生有发现几何关系的经历与经验，但大多数学生缺乏发现几何关系的科学视角，估计大部分学生很难发现：圆分平面上的点为三个部分、圆上任意两点之间的部分长（路程）和连结这两点之间的线段长（距离）存在不等关系、圆上任意三点不在同一条直线上；尽管学生有定量刻画几何关系的经历与经验，但定量刻画点与圆的位置关系包括三种情况及其正反两个方面比较复杂，估计部分学生会遇到困难．
教学难点：圆几何特征的描述与圆性质的生成．
3. 理解教学——教学方式与方法分析
（1）这节课教学的创新点之一是导入性学习活动的设计． 从知识结构框图中不难发现，这节课有三种切入方式：①从正多边形边数无限增加演绎得出圆（圆是正多边形边数无限增加时的极限）． 这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是上位学习，思维形式是归纳）和新课程理念（从学生已有的知识与经验出发展开教学），并且借助多媒体直接给出圆花时少，但这种方式不能反映圆的本质特征，并且教师演示学生观察的方法学生思维含量不高，同时与现实生活缺少沟通． ②从现实生活中的圆形物体抽象得出圆． 这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是上位学习，思维形式是归纳）和几何发展规律（平面几何理论是在对物质世界进行了抽象的基础上借助一些概念、公理和法则经演绎推理而来的，它属于经验性与演绎性在实践基础上辩证统一的产物），并且暗示了圆具有广泛的现实情景，有利于学生感受进一步研究圆的必要性，但借助多媒体抽象得出的圆不能反映圆的本质特征，并且教师演示学生观察的方法学生思维含量也不高（学生没有实质性经历数学抽象的过程），容易导致学生“生活中圆”与“数学中圆”相混淆． ③借助圆规画圆得出圆．这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是下位学习，思维形式是演绎）和几何发展规律，并且学生经历了动手操作的过程，也暗示了圆的本质特征，但没有反映圆现实情景的广泛存在性，并且画图操作花时较多． 通过对三种切入方式的优劣分析，这节课的导入性学习活动可以这样设计：首先，要求学生借助圆规画圆（包括同心圆和等圆）；其次，要求学生思考：①确定一个圆需要哪些条件？其作用分别是什么？②用数学的眼光看画圆的过程，圆形成的实质是什么？第三，要求学生给圆赋予尽可能多的现实情景（寻找圆的生活原型）；第四，组织学生交流对圆的感触（生活意义、数学意义、育人意义）． 这样的开放式导入“立意”可能更高． 考虑到经历“过程”可能会对按时完成教学任务带来挑战，这里的画图、思考、举例可以移至课前（让学生课前进行活动——预习）． （2）这节课教学的创新点之二是探究性学习活动的设计． 描述圆的本质特征和寻找圆中的不变关系，有思想、有数学味、有能力发展点、有个性和创新精神培养点．如果采用接受性教学或教师问学生答的“小步子推进”的方式，会隐去蕴涵在内容中生动活泼的思维活动，从而失去了学生体会思维方法和思想方法以及发展能力和个性的机会，这不符合数学素质教育的要求和新课程的主张；如果采用开放度比较大的学生自主建构的方式，会导致学生思维受阻或思维偏离前进的方向，从而产生教学停顿状态或教学花时过多对按时完成教学任务带来挑战的问题，这也不符合新课程倡导的教学理念． 这些不当的教法都是假探究，学生没有经历深度思维的过程． 其责任是教师引导不到位——问题的指向性太强或太弱． 因此，探究性学习活动可采用教师价值引导与学生自主建构相结合的方式． 如概括圆的本质特征，可以采用教师问题引导下的学生合作研讨的方式：尽管圆的位置和大小千变万化，但圆的形状具有不变性，你能根据圆的形成过程来描述圆的形状（圆的本质特征）吗？请大家合作研讨并发表自己的观点． 这里暗示了根据圆的形成过程来观察的方法． 又如圆中不变关系的发现，可以采用教师问题引导与必要提示下的学生合作研讨的方式：尽管圆的位置和大小千变万化，但圆中有许多不变关系，你能根据圆的形状特征，给出尽可能多的圆中的不变关系（元素之间的数量或位置的不变关系）吗？请大家合作研讨并发表自己的观点（提示：可从宏观（着眼于图形）、微观（着眼于点）或宏观与微观相结合多个角度进行观察）． 如果学生发现几何关系的能力弱，则提示的指向性可进一步加强：圆分平面上的点为几个部分？平面上点与圆的位置关系是否存在数量关系？圆上任意两点之间的部分长（路程）与连结这两点之间的线段长（距离）有何关系？圆上任意三点有何关系？圆是否具有对称性？这样暗示了发现几何关系的科学视角，能使学生发现更全面（能消除学生只会说课本提供的结论的现象），能使学生经历实质性思维过程． 探究性学习活动要关注四性：必要性——内容是否有教育价值（是否有探究的必要）；目的性——探究目标是否明确；可操作性——学生是否有思维前进的方向；有效性——能否引发学生积极思维．
（3）这节课教学的创新点之三是理论应用学习活动的设计． 借助生成的数学方法和理论解决具体问题（数学问题或实际问题）是数学教学重要组成部分． 但数学应用要关注：①问题的选择要紧扣教学目标（避免盲目性和随意性）． 如本节课的核心目标是掌握点与圆的位置关系（因为圆的对称性学生已熟悉且后继学习会进一步深化，“路程”与“距离”的不等关系是引出弧、弦概念的需要提出来的），因此，重点是选择涉及点与圆位置关系的问题． ②问题的数量要合适（数量过多会导致就题论题）． 如点与圆位置关系的应用一个例子就足够了，关键在于问题解决后的进一步引申与拓展，使学生认识更深刻、体验更深入． ③寓数学思想方法于问题解决之中，能使学生体会到解题的策略（思想）、方法和技巧． 如本节课的问题可以借用课本中的例题：如图，在A地正北60 m的Ｂ处有一幢民房，正西80 m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑． 因施工需要，必须在A处进行一次爆破． 为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内．
教学可以这样进行：先引导学生经历：审题、分析、建模、解模、验证、作答的过程，再引导学生进行反思：①解决问题的策略是什么？用的是什么方法？使用了哪些技巧？②若BC是一条马路，为保证不影响马路上的行人和车辆，则爆破影响面的半径应控制在什么范围内？
这样就消除了就题论题的现象，充分发挥了问题的教育功能，能使学生在问题解决过程中进一步理解点与圆位置关系，也能在“过程”中体会思维方法和思想方法以及发展能力和个性．
基于以上分析，这节课的教学流程、教学方式与方法基本明确了，可用如下结构框图表示：
这是一个以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程，比较自然、和谐． 它改变了普遍存在的内容配置散点割裂化的现象——弧、弦概念的引入和点与圆位置关系的引入有“天上掉下林妹妹”的感觉． 在此基础上，可以进行教学决策：设计教学目标并将其具体化——选择学习的载体，教学的方式，指导的方法．
随感随想
（１）教学分析的意义． 教学分析有利于从数学上把握学习内容的整体性和内在联系性，从而能明确学习内容的逻辑结构和思想方法结构，能使教学“立意”更高，内在逻辑线索更明显，目标定位更准确；教学分析有利于明确实现目标所需要的合适载体，从而能更好地开发和利用教学资源并处理教学内容，使组织的教学内容更具有针对性，更能激发学生的学习兴趣；教学分析有利于明确内容呈现的各种可行方式，从而能使教学方式经历“多选一”的过程，并有可能在优势互补的基础上作出创新，使教学更符合数学发展规律和学生学习数学的认知规律以及教育的规律；教学分析有利于明确实现目标所需要的学习方法，从而能使学法指导更科学，教学更有效． 教学决策之前的分析是不该被遗忘的教学起点．
（２）教学分析的视角与视点． 从宏观看，“三要素”教学分析理论给出了相对稳定的分析程式：内容及其解析→教学问题诊断→教学方式与方法分析． 但从微观看，每个分析视角又有多样化的描述方式和有详有略的刻画特点． 一般地，内容概述是阐述用“望远镜”把握教材（内容的整体性和联系性）的结果，其重点是制作知识结构框图——以显性的“结果形态”的知识为载体，揭示隐性的“关系形态”和“过程形态”的知识． 内容解析是阐述用“显微镜”认识教材的结果，其主要视点有：知识发生与发展的背景，特别关注研究这些知识与小学研究有关知识的差异；内容的数学本质；新、旧知识的联系方式；内容的价值——认识价值（对数学知识的认识、对学习方法和理性思维过程等的认识）；智力价值（内容蕴涵的思想方法、思维方式、数学活动经验等，对发展学生智力的影响）；育人价值（内容蕴涵的能力培养素材，使人成才的功能；内容凝聚的前人或他人的智慧、精神和品格，积淀的具有普遍意义和永恒价值的思维方式、思想观念、价值取向和精神追求等品质发展素材，使人成人的功能）；应用价值（内容在解决数学内部和外部问题中的作用）等． 教学问题诊断是阐述认识学生的结果，其主要视点有：认知起点（根据内容的认知特点分析学生学习新知识所需要的“生长点”以及学生是否具备学习新知识所需要的“生长点”）；认知障碍（根据内容的认知特点和学生心理发展规律，预测学生学习新知识可能会遇到的思维障碍）． 教学方式与方法分析是阐述用“广角镜”认识教学的结果，其主要视点有：分析内容呈现的各种可行方式，并指出各种呈现方式的优点与缺点，从中选择最能反映数学本质和最有利于发展学生认知的教学方式；分析实现教学目标所需要的教学内容；分析实现教学目标所需要的学习方法和指导策略，特别是有利于促进学生有效思维的教师指导方法；进而构建合适的教学过程结构．
（３）教学分析的策略．理解数学需要正确认识数学知识的内涵：数学知识包括作为人类经验和精神文化成果的知识（显性知识）和作为人的生命实践活动的“过程形态”和“关系形态”的知识（隐性知识）． 因此，知识结构框图的建构，需要对知识结构多层次理解（特别是意义理解），需要对知识结构多维关系认识；教学价值的定位，需要正确认识内容的数学本质以及内容蕴涵的科学方法、理性思维过程和价值观资源． 理解教学需要正确认识“教学有法，但无定法”的内涵：教学有法是指教学内容的呈现方式，不但要遵循数学的发展规律（数学的发现、数学的完善、数学的应用）和学生学习数学的认知规律（具体到抽象、特殊到一般、现象到本质），也要遵循教育的规律（在数学学习活动的过程中，体验思维方法和思想方法，发展能力和个性）；教学无定法是指可行的教学反映方式可能具有多样性，可以根据内容的特点和不同地域学生的实际选择合适的教学方式——最能反映内容的数学本质且最有利于学生认知发展． 因此，教学方式的选择，需要对知识结构多维加工——“条状重组”、“块状重组”、“条块融通”，在可行的教学方式中选择合适的教学方式；教学方法的运用，需要激活知识的“生命态”（实现书本知识与学生现实生活的沟通，实现书本知识与学生个人经验的沟通，实现书本知识与人类生命实践的沟通），需要根据内容的特点和学生的思维状况进行有效指导：思维跨度大时的问题暗示、困惑或认识模糊时的点拨、思维受阻时的“元认知提示语”发问、思维偏离方向时的干预、观念碰撞时的评价、回答不完善时的追问、回答有创意时的激励、解法多样化时的价值分析、问题解决后提出反思性问题等．