【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02
　　换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，從而使问题得到简化。换元法又称辅助元素法、变量代换法。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
　　然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。
　　一、一般换元法
　　【例1】求函数的值域.
　　解：令，则且，
　　，
　　函数的值域为.
　　【变式1】求函数的值域.
　　二、三角换元
　　重要公式： 有着本质的联系！
　　【例2】（2005福建）已知实数满足，求的最小值.
　　解：，
　　令 ，则
　　的最小值为.
　　【例3】 求函数的值域.
　　解：令，其中.
　　，
　　.
　　● 反思： 角的范围为什么这么取？
　　【变式1】 求函数的最大值.
　　答案：.
　　【例4】（2009辽宁竞赛） 函数的最大值与最小值的乘积是 .
　　解：
　　，令，
　　所以答案是.
　　三、双换元
　　【例5】求函数的值域.
　　解：方法1：平方
　　当时，；当或1时，.
　　函数的值域为.
　　方法2：双换元
　　令，
　　则，其中
　　，则
　　（接下去可以用线性规划做，也可以三角换元）
　　令
　　【例6】 求函数的值域.
　　解：令，
　　则，其中
　　，其中
　　则，
　　令，其中
　　函数的值域为.
　　四、整体换元
　　【例7】 求函数的值域.
　　解：，
　　令，则，
　　其中，
　　【变式1】（2013新课标Ⅰ）
　　若函数的图像关于直线对称，则的最大值为 .
　　解：观察得是的两根，
　　的图像关于对称，
　　和也是的两根.
　　由已知，和是方程的两根，由韦达定理得.
　　令，则，其中，. 故答案为16.
　　五、结论换元
　　当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。
　　【例8】已知，且，求的取值范围.
　　解：设，令，代入已知等式，
　　得 .
　　由
　　故的取值范围是.
　　六、小结
　　通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学.
　　【变式1】实数满足，设，求的最大值和最小值.
　　解：设，
　　则
　　而