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【摘 要】板书是师生在课堂上最常用的信息交流方式。教师在设计教学板书时，往往重课前预
设、轻课中生成;重散点呈现、轻结构关联;重知识罗列、轻方法提炼。因而，教师应在教学中基于教学以结构化板书，做到以约驭博，厘清知识的内在关联;归纳梳理，明晰教学的过程结构;一以贯之，生成学习的方法结构，让学生数学思维自然生长。
【关键词】板书 数学思维 实施策略
板书是师生在课堂上最常用的视觉交流信息方式。随着信息技术的发展，现代化的教学手段在课堂中运用得日益广泛，教师在对教学内容进行设计时，往往重视教学过程中的师生活动和精美课件的制作，却极易忽视对板书的思考。
一、课堂板书中存在的问题
（一）重课前预设，轻课中生成
日常教学中，教师现场的板书与教学设计中的板书几乎完全一致。当然，这不是否定板书的预设，但课堂教学的推进是在师生交流互动中逐步生成的。正因为如此，课堂教学浓缩的“精华”——板书，必然应该是在课堂多维互动中自然生成的内容。
如教学苏教版数学一年级上册“连加连减”时，当教师呈现主题图，引导学生观察、思考、列算式时，有的学生写出了4+2+1，还有的学生写出了4+2和2+1+4。教师只是直接板书4+2+1，并提问学生其表示的意义。在此基础上，教师继续教学连减，也只呈现了板书8-3-1=4。
不难发现，教师在教学推进和板书呈现时，更多的是以课前的预设为主。教学中，即时生成的学习资源并没有在板书中呈现出来。因为没有呈现，教学中也就缺乏了对学生不同思維进行对比沟通的可能。
（二）重散点呈现，轻结构关联
板书时，教师通常是把教学内容以静态化的文字简单地呈现在黑板上。随着现代信息技术的广泛使用，教师常常用课件代替部分板书;或者板书很少，只写几个关键词;或者只把板书看作是一种简单的过程记录，随意地将所讲的内容记录在黑板上。这样的板书，容易导致知识的分散和混乱，学生很难能通过板书内化完善自己的认知结构。
如教学苏教版数学一年级上册“认识>、<或=”一课时，教师仅仅板书4=4，5>3，3<5。教师像这样对教学内容认识的窄化会导致学生停留在形式上的机械表达，很难从本质上体悟这些符号的实际含义。学生对>、<或=的认识，仅仅停留在符号记忆的水平，这也易导致学生在练习时，因认知的不完备而出错。
（三）重知识罗列，轻方法提炼
教学中，教师的板书常常是对本课知识的罗列。以苏教版数学二年级上册“认识千以内的数”为例，教师仅仅分别在黑板上罗列了“一、十、百、千”及对应的方格图、百格图以及“从右边起，千位在第四位”文字。此时的教师忽视了以数形结合的方式帮助学生理解抽象的数位。事实上，板书应贯穿于整个教学活动，这是学生在课堂上提升结构化思维的重要途径。
二、结构化板书，让学生思维自然生长
（一）建立结构化的知识脉络
以复习课为例，复习整理的作用是对知识内容温故知新、对学习方法加强练习，但整理的主动权更多还是在教师手里，教师整理好了给学生去记忆。教师如能教会学生如何整理，让学生经历整理的过程，学生就可以逐渐形成整体的知识框架结构，继而实现学生认知过程结构化和学习方法结构化的育人价值。
在进行单元复习时，教师可以在板书中运用表格、箭头、括号等形式，将单元中主要知识点、与其他单元相关内容知识点进行有效勾连。一方面帮助学生系统地回顾、温习所学知识内容，另一方面使学生了解各知识点之间的关系，形成知识脉络，完善学生的认知结构。
（二）获得自主性的学习工具
在知识的内部，还存在着一种难以用语言文字表述的隐性知识——数学思维方法。教师应努力根据不同的知识类型，如规律探索类内容，让学生经历“提出猜想、举例验证、归纳结论”的学习过程，引导学生在以后学习类似的知识时，尝试自主学习。
三、结构化板书生成的实施策略
（一）以约驭博，厘清知识的内在关联
1.整体架构，借助板书完善数学知识的结构化认识
教师不仅要关注抽象的符号化的知识，还要关注关系形态和过程形态的知识对学生成长发展的价值，将教材散点化的知识借助板书进行整体加工，以提升教学内容的整体架构。
从一年级上册开始，教材以融合渗透的方式进行混合运算的教学。苏教版数学一年级是以例题的方式教学连加、连减、加减混合同级运算，到了二年级上册，教材以同样的方式教学两级运算（如乘加、乘减）。再到二年级下册，教材在安排三位数连加、三位数连减，以及在三年级上册安排教学三个数连乘时，就不再以例题的方式进行同级运算组合教学，而是以练习的方式让学生类比思考，自主练习。可见，一年级连加、连减、加减混合等内容是为后续延伸自主学习奠定基础。
仍以一年级上册的“连加 连减”为例。PPT呈现例题后，当学生用语言表述图意后，教师不妨提出：“你们能借助摆小棒的方法将这个过程表示出来吗？如果能用算式记录下来就更好了。”
教师及时将学生的资源呈现在黑板上，让学生自主辨析正确资源和错误资源，同时黑板上保留正确的连加算式。（详见图1）待连减教学内容教完，教师要对连加、连减内容及时聚焦：“仔细观察这两个算式，数字不同，符号不同，计算时有什么相同的地方吗？”原来，这两个算式，计算时，都是按照从左往右的顺序依次计算。
2.对比解读，厘清教学内容的过程与结构
教师在对板书进行设计时，更多的是关注这节课的教学内容的前沿后续，但是有些课，可能前后关联度较小。于是，教师就简单地以为这仅仅是一节课而已。如苏教版数学教材中的“探究计算中的规律”“和、积的奇偶性”“涂色的正方体”……这些课都属于规律探究课。因此，这类课在板书设计上有它们的共通之处。以苏教版数学五年级下册“探究计算中的规律”为例，在教学时，教师把以1—2开头的计算规律放置于黑板的左边，把以1—3、 1—4和1—5开头的计算规律放置于黑板的右边，同时可以将两者有效勾连，既勾连了如1—2+1—4，1—2+1—4+1—8，1—2+1—4+1—8+1—16等算式与图形之间、算式与算式之间的关系，又可以让学生左右对比看，表面上，以1—2开头的加法算式与以1—3、 1—4和1—5开头的加法算式在最后的结论上看似不同，但实际上都是用第一个数×2-最后一个数。（详见表1） 结论：1—n×2-最后一个分数，第一个数×2-最后一个数（前一个分数最后一个分数的2倍）
数学教学实质上是数学思维的活动。本节课的板书，不仅突出了知识结构，而且突出了化归的基本方法。从板书可以看出，其探索过程“化大为小——有序研究——数学建模（字母表达）”，同样适用于如“多边形内角和”“涂色的正方体”等内容。
3.研究本质，把握数学内容的多维度联系
板书是学生开展数学思考，外显数学思维的抓手之一。学生只有结合板书，才能进一步明晰所学知识的结构和研究方法的结构。如果只是把课堂中涉及的一些知识点写在黑板上，是发挥不了板书的育人价值的。
以教学“认识千以内的数”为例，图2的板书简单地罗列了千以内数的认识的相关要点。图3的板书用文字帮助学生理解一、十、百之間的关系，即“10个一是一个十”“10个十是一百”，还借助计数器帮助学生形象地了解个位、十位、百位在计数器上的位置，为后续学习数位表做好铺垫。由此可见，图3的板书更有利于帮助学生把握数学内容的多维度联系，逐步完善认知结构。
（二）归纳梳理，明晰教学的过程结构
板书，可以通过呈现良好的知识结构来实现发展学生认知结构的目的，达到知识与认知的统一。在概念教学中，学生只有具备了概念同化的经验基础和积极的学习心态，才能使新知与旧知相互作用。
如在教学“认识一个整体的几分之一”时，教师可以让学生经历概念形成的过程，并且将这一过程在板书中清晰地呈现出来。借助板书，学生通过对学习材料的纵向、横向对比、沟通，其单一思维逐渐转向关系思维。通过大量的举例，学生在辨析比较中进一步感悟部分与整体的关系，最终聚焦到“把一些物体看成一个整体，平均分成几份，每一份就是它的几分之一”这一知识点上来。（详见图4）
（三）一以贯之，生成学习的方法结构
有效的教学关注学生数学思维的发展，尤其关注学生思维品质的提升。教师在教学时，若能将体现思维过程的思维链“有痕”地展示给学生，无疑会对学生思维能力的提高有所帮助。要实现这种“有痕”的展示，最有效的一种手段便是板书。教师通过精心设计的板书可以将教材以及有痕思维过程清晰地展示给学生。
如规律探究课“和与积的奇偶性”的板书：
图5的板书更多地聚焦于结论的得出。板书中的算式来源于教师，以一位数计算为主，缺少一般性;另一方面，仅仅通过一个算式，就得出“奇数+奇数=偶数”等结论，难以让学生信服。图6的板书则让学生举例，这样就进一步丰富了学生举例的类型，可能是一位数，也可能是两、三位数，每个学生举的例子不尽相同，更具有广泛性、普遍性。此外，学生完整地经历了猜想、验证的过程，学习的体验与感悟可能更为深刻，这也体现在学生对探究规律的结论感悟中。如当任意个数（整数）相加时，学生不仅关注加数的奇偶性，更进一步关注加数是奇数的个数，还是偶数的个数，以及它们之间存在的关联性。这样的教学，不仅教学生相应的知识结论，更教学生怎样开展数学研究。
可见，作为教学有机组成部分的板书，既可以对教学内容进行加工和提炼，厘清学生学习思路，更能将教学内容结构化，突出教学重难点。要让学生在每一节课中有思维生长感，板书是有效途径之一。当一节课临近结束时，学生可以借助板书回顾学习的过程，这样就做到了让学习真正“留痕”。
设、轻课中生成;重散点呈现、轻结构关联;重知识罗列、轻方法提炼。因而，教师应在教学中基于教学以结构化板书，做到以约驭博，厘清知识的内在关联;归纳梳理，明晰教学的过程结构;一以贯之，生成学习的方法结构，让学生数学思维自然生长。
【关键词】板书 数学思维 实施策略
板书是师生在课堂上最常用的视觉交流信息方式。随着信息技术的发展，现代化的教学手段在课堂中运用得日益广泛，教师在对教学内容进行设计时，往往重视教学过程中的师生活动和精美课件的制作，却极易忽视对板书的思考。
一、课堂板书中存在的问题
（一）重课前预设，轻课中生成
日常教学中，教师现场的板书与教学设计中的板书几乎完全一致。当然，这不是否定板书的预设，但课堂教学的推进是在师生交流互动中逐步生成的。正因为如此，课堂教学浓缩的“精华”——板书，必然应该是在课堂多维互动中自然生成的内容。
如教学苏教版数学一年级上册“连加连减”时，当教师呈现主题图，引导学生观察、思考、列算式时，有的学生写出了4+2+1，还有的学生写出了4+2和2+1+4。教师只是直接板书4+2+1，并提问学生其表示的意义。在此基础上，教师继续教学连减，也只呈现了板书8-3-1=4。
不难发现，教师在教学推进和板书呈现时，更多的是以课前的预设为主。教学中，即时生成的学习资源并没有在板书中呈现出来。因为没有呈现，教学中也就缺乏了对学生不同思維进行对比沟通的可能。
（二）重散点呈现，轻结构关联
板书时，教师通常是把教学内容以静态化的文字简单地呈现在黑板上。随着现代信息技术的广泛使用，教师常常用课件代替部分板书;或者板书很少，只写几个关键词;或者只把板书看作是一种简单的过程记录，随意地将所讲的内容记录在黑板上。这样的板书，容易导致知识的分散和混乱，学生很难能通过板书内化完善自己的认知结构。
如教学苏教版数学一年级上册“认识>、<或=”一课时，教师仅仅板书4=4，5>3，3<5。教师像这样对教学内容认识的窄化会导致学生停留在形式上的机械表达，很难从本质上体悟这些符号的实际含义。学生对>、<或=的认识，仅仅停留在符号记忆的水平，这也易导致学生在练习时，因认知的不完备而出错。
（三）重知识罗列，轻方法提炼
教学中，教师的板书常常是对本课知识的罗列。以苏教版数学二年级上册“认识千以内的数”为例，教师仅仅分别在黑板上罗列了“一、十、百、千”及对应的方格图、百格图以及“从右边起，千位在第四位”文字。此时的教师忽视了以数形结合的方式帮助学生理解抽象的数位。事实上，板书应贯穿于整个教学活动，这是学生在课堂上提升结构化思维的重要途径。
二、结构化板书，让学生思维自然生长
（一）建立结构化的知识脉络
以复习课为例，复习整理的作用是对知识内容温故知新、对学习方法加强练习，但整理的主动权更多还是在教师手里，教师整理好了给学生去记忆。教师如能教会学生如何整理，让学生经历整理的过程，学生就可以逐渐形成整体的知识框架结构，继而实现学生认知过程结构化和学习方法结构化的育人价值。
在进行单元复习时，教师可以在板书中运用表格、箭头、括号等形式，将单元中主要知识点、与其他单元相关内容知识点进行有效勾连。一方面帮助学生系统地回顾、温习所学知识内容，另一方面使学生了解各知识点之间的关系，形成知识脉络，完善学生的认知结构。
（二）获得自主性的学习工具
在知识的内部，还存在着一种难以用语言文字表述的隐性知识——数学思维方法。教师应努力根据不同的知识类型，如规律探索类内容，让学生经历“提出猜想、举例验证、归纳结论”的学习过程，引导学生在以后学习类似的知识时，尝试自主学习。
三、结构化板书生成的实施策略
（一）以约驭博，厘清知识的内在关联
1.整体架构，借助板书完善数学知识的结构化认识
教师不仅要关注抽象的符号化的知识，还要关注关系形态和过程形态的知识对学生成长发展的价值，将教材散点化的知识借助板书进行整体加工，以提升教学内容的整体架构。
从一年级上册开始，教材以融合渗透的方式进行混合运算的教学。苏教版数学一年级是以例题的方式教学连加、连减、加减混合同级运算，到了二年级上册，教材以同样的方式教学两级运算（如乘加、乘减）。再到二年级下册，教材在安排三位数连加、三位数连减，以及在三年级上册安排教学三个数连乘时，就不再以例题的方式进行同级运算组合教学，而是以练习的方式让学生类比思考，自主练习。可见，一年级连加、连减、加减混合等内容是为后续延伸自主学习奠定基础。
仍以一年级上册的“连加 连减”为例。PPT呈现例题后，当学生用语言表述图意后，教师不妨提出：“你们能借助摆小棒的方法将这个过程表示出来吗？如果能用算式记录下来就更好了。”
教师及时将学生的资源呈现在黑板上，让学生自主辨析正确资源和错误资源，同时黑板上保留正确的连加算式。（详见图1）待连减教学内容教完，教师要对连加、连减内容及时聚焦：“仔细观察这两个算式，数字不同，符号不同，计算时有什么相同的地方吗？”原来，这两个算式，计算时，都是按照从左往右的顺序依次计算。
2.对比解读，厘清教学内容的过程与结构
教师在对板书进行设计时，更多的是关注这节课的教学内容的前沿后续，但是有些课，可能前后关联度较小。于是，教师就简单地以为这仅仅是一节课而已。如苏教版数学教材中的“探究计算中的规律”“和、积的奇偶性”“涂色的正方体”……这些课都属于规律探究课。因此，这类课在板书设计上有它们的共通之处。以苏教版数学五年级下册“探究计算中的规律”为例，在教学时，教师把以1—2开头的计算规律放置于黑板的左边，把以1—3、 1—4和1—5开头的计算规律放置于黑板的右边，同时可以将两者有效勾连，既勾连了如1—2+1—4，1—2+1—4+1—8，1—2+1—4+1—8+1—16等算式与图形之间、算式与算式之间的关系，又可以让学生左右对比看，表面上，以1—2开头的加法算式与以1—3、 1—4和1—5开头的加法算式在最后的结论上看似不同，但实际上都是用第一个数×2-最后一个数。（详见表1） 结论：1—n×2-最后一个分数，第一个数×2-最后一个数（前一个分数最后一个分数的2倍）
数学教学实质上是数学思维的活动。本节课的板书，不仅突出了知识结构，而且突出了化归的基本方法。从板书可以看出，其探索过程“化大为小——有序研究——数学建模（字母表达）”，同样适用于如“多边形内角和”“涂色的正方体”等内容。
3.研究本质，把握数学内容的多维度联系
板书是学生开展数学思考，外显数学思维的抓手之一。学生只有结合板书，才能进一步明晰所学知识的结构和研究方法的结构。如果只是把课堂中涉及的一些知识点写在黑板上，是发挥不了板书的育人价值的。
以教学“认识千以内的数”为例，图2的板书简单地罗列了千以内数的认识的相关要点。图3的板书用文字帮助学生理解一、十、百之間的关系，即“10个一是一个十”“10个十是一百”，还借助计数器帮助学生形象地了解个位、十位、百位在计数器上的位置，为后续学习数位表做好铺垫。由此可见，图3的板书更有利于帮助学生把握数学内容的多维度联系，逐步完善认知结构。
（二）归纳梳理，明晰教学的过程结构
板书，可以通过呈现良好的知识结构来实现发展学生认知结构的目的，达到知识与认知的统一。在概念教学中，学生只有具备了概念同化的经验基础和积极的学习心态，才能使新知与旧知相互作用。
如在教学“认识一个整体的几分之一”时，教师可以让学生经历概念形成的过程，并且将这一过程在板书中清晰地呈现出来。借助板书，学生通过对学习材料的纵向、横向对比、沟通，其单一思维逐渐转向关系思维。通过大量的举例，学生在辨析比较中进一步感悟部分与整体的关系，最终聚焦到“把一些物体看成一个整体，平均分成几份，每一份就是它的几分之一”这一知识点上来。（详见图4）
（三）一以贯之，生成学习的方法结构
有效的教学关注学生数学思维的发展，尤其关注学生思维品质的提升。教师在教学时，若能将体现思维过程的思维链“有痕”地展示给学生，无疑会对学生思维能力的提高有所帮助。要实现这种“有痕”的展示，最有效的一种手段便是板书。教师通过精心设计的板书可以将教材以及有痕思维过程清晰地展示给学生。
如规律探究课“和与积的奇偶性”的板书：
图5的板书更多地聚焦于结论的得出。板书中的算式来源于教师，以一位数计算为主，缺少一般性;另一方面，仅仅通过一个算式，就得出“奇数+奇数=偶数”等结论，难以让学生信服。图6的板书则让学生举例，这样就进一步丰富了学生举例的类型，可能是一位数，也可能是两、三位数，每个学生举的例子不尽相同，更具有广泛性、普遍性。此外，学生完整地经历了猜想、验证的过程，学习的体验与感悟可能更为深刻，这也体现在学生对探究规律的结论感悟中。如当任意个数（整数）相加时，学生不仅关注加数的奇偶性，更进一步关注加数是奇数的个数，还是偶数的个数，以及它们之间存在的关联性。这样的教学，不仅教学生相应的知识结论，更教学生怎样开展数学研究。
可见，作为教学有机组成部分的板书，既可以对教学内容进行加工和提炼，厘清学生学习思路，更能将教学内容结构化，突出教学重难点。要让学生在每一节课中有思维生长感，板书是有效途径之一。当一节课临近结束时，学生可以借助板书回顾学习的过程，这样就做到了让学习真正“留痕”。