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函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连接的主干作用. 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想. 具体讲就是通过类比联想转化，合理地构造函数，从而有效降低题目难度，以达到轻松解题的目的. 函数思想的运用范围不仅在函数问题的高考试题中，而且在不等式、数列、解析几何等问题中也有不俗表现.
1. 数 列
数列从本质上来讲是函数，用函数思想解决数列问题不但能够加深对数列概念的理解，而且能加强知识点间的联系.
例1 等差数列｛bn｝中，b1 > 0，前n项的和为Tn，若Tl = Tk（l ≠ k），当n取何值时Tn最大？
解析 运用数列中的通项公式的特点，把数列问题转化为函数问题解决.
设ｆ（ｎ） ＝ Ｔｎ ＝ ｎｂ１ ＋ ｄ，ｎ∈Ｎ，
则ｆ（ｎ） ＝ ｄｎ２ ＋ （b１ － ）ｎ，此函数是以ｎ为自变量的二次函数．
∵ b１ ＞ ０，Ｔｌ ＝ Ｔｋ（ｌ ≠ ｋ），
∴ d < 0，
∴ 二次函数ｆ（ｎ）的图像开口向下．
∵ ｆ（ｌ） ＝ ｆ（ｋ），
∴ 当ｘ ＝ 时， ｆ（ｘ）最大，但ｆ（ｎ）中ｎ∈Ｎ，
∴ 当l + k为偶数时，n = 时，Tn最大.
当l + k为奇数时，n = 时，Tn最大.
2. 平面解析几何
在解决平面解析几何问题时，若是能够通过仔细读题，发现某些点、线之间的联系，并用函数来刻画，往往会起到事半功倍的效果.
例2 设a > b > c且a + b + c = 0，抛物线y = ax2 + 2bx + c被x轴截得的弦长为m，证明： < m < 2.
解析 由于弦长m是与ａ，ｂ，ｃ有关的变量，若能找到它们之间的关系式，问题就变简单了.
∵ a > b > c且a + b + c = 0，
∴ ａ ＞ ０，ｃ ＜ ０.
∵ Δ = 4b2 - 4ac > 0，
故方程ａｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０必有两个不同实根ｘ１，x2 .
∴ m2 = （ｘ１ － ｘ２）２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ４ｘ１ｘ２ ＝ - =
４（ - ） = 4［(1 + )2 - ］ = 4（ + ）2 + 3.
∴ m2是的二次函数，由a > b > c且a + b + c = 0，可知-2 < < -，当 < -时，m2是单调递减的．
∴ ４（－ ＋ ）２ ＋ ３ ＜ ｍ２ ＜ ４（－２ ＋ ）２ ＋ ３，
即3 < m2 < 12，又m > 0，
∴ < m < 2.
例3 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e = ，已知点P（０，）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
解析 设椭圆的方程为 + = 1，因为e = ，
∴ = = ，
∴ a = 2b，故 + ＝ １．
设椭圆上的点P１（ｘ，ｙ）到P的距离为ｄ，则
ｄ２ ＝ ｘ２ ＋ （ｙ － ）２ ＝ ４ｂ２ － ４ｙ２ ＋ ｙ２ － ３ｙ ＋ ＝
－３（ｙ ＋ ）２ ＋ ４ｂ２ ＋ ３（－ｂ ≤ ｙ ≤ ｂ）.
若ｂ ＜ ，则当ｙ ＝ －ｂ时，ｄ２ｍａｘ ＝ （ｂ ＋ ）2，
∴ （）2 = （ｂ ＋ ）2，
即b = - > ，与b < 矛盾.
若b ≥ ，则当y = - 时，d2max = 4b2 + 3.
∴ （）2 = 4b2 + 3，得b = 1.
∴ a = 2.
综上所述，椭圆方程为 ＋ ｙ２ ＝ １，且椭圆上的点（±，）到点P的距离等于.
3. 组 合
例4 证明：当ｎ ≥ ３时，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.
证明 设ｆ（ｘ） ＝ （１ ＋ ｘ）ｎ ＝ Ｃ ＋ Ｃｘ ＋ Ｃｘ２ ＋ … ＋ Ｃｘｎ，
ｆ（１） ＝ Ｃ ＋ Ｃ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ，
＝ １ ＋ ｎ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ ＋ ｎ ＋ １
＝ ２（１ ＋ ｎ） ＋ （Ｃ ＋ … ＋ Ｃ） ＝ ２ｎ.
当ｎ ＝ ３时，２ｎ ＝ ２（１ ＋ ｎ），
当ｎ ＞ ３时，２ｎ ＝ 2（１ ＋ ｎ） ＋ Ｃ ＋ … + Ｃ，
∴ 当ｎ ≥ ３时，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.
4. 解不等式问题
在解决有些不等式问题时，若运用函数的视野去分析、推理的话，可以让证明轻松许多.
例5 证明不等式： < （ｘ ≠ ０）.
解析 一般证法是分x > 0或x < 0讨论，但运算量较大. 这里不妨试试构造函数ｆ（ｘ） = - （ｘ ≠ ０）.
∵ ｆ（－ｘ） = - = －ｘ（１ ＋ ） ＋ = - = ｆ（ｘ）,
∴ ｆ（ｘ）是偶函数. 当x > ０时，１ － ２ｘ ＜ ０，从而ｆ（ｘ） ＜ ０，
于是ｘ ＜ ０时，ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｘ） < 0，
故当x ≠ 0时，恒有ｆ（ｘ） < 0，即 < （ｘ ≠ ０）.
5. 求 值
求某些代数式的值时，可以将代数式转化为函数式，以提 高解题速度.
例 ６ 如果实数ａ，ｂ满足（ａ － ２）２ ＋ ｂ２ = 3，那么的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
解析 由已知，等式两边同除以a2得项，同时可得到关于的二次函数，求此函数值最大值即可.
两边同除以ａ２，得
（）2 - + 1 + = 0.
即（）2 = -（ - 2）2 + 3,
又 ｂ２ ＝ ３ － （ａ － ２）２ ≥ ０,
∴ 2 - ≤ a ≤ 2 + ,
当 = 2，即a = ∈［2 - ，２ + ］时，（）2max =3，
∴ （）max = .
例7 设实数ｘ，ｙ满足x3 + 2x + a = 0，y3 + 2y - a = 0，试求x + y的值.
解析 直接解这两个方程，显然运算量太大，不明智，通过观察发现，可把两个方程变为：ｘ３ ＋ ２ｘ ＝ －ａ，ｙ３ ＋ ２ｙ ＝ ａ．
构造函数ｆ（ｔ） ＝ ｔ３ ＋ ２ｔ（ｔ∈R）， 显然ｆ（－ｔ） ＝ －ｆ（ｔ），
∴ ｆ（ｔ）为奇函数.
∵ ｆ（ｘ） ＝ －ａ，ｆ（ｙ） ＝ ａ，所以ｆ（ｘ） ＝ －ｆ（ｙ），
又 ｆ（ｔ）为奇函数，所以ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｙ）.
易证，ｆ（ｔ）为增函数，所以ｘ＝－ｙ，
故ｘ ＋ ｙ ＝ ０．
通过上面的例子，我们可以看到，函数思想作为重要的数学思想之一，渗透在很多知识点里面，我们平时在教学时应注意多去发掘、培养、训练、强化这种解题思想，让它不只是局限在用来专门解函数题上面，而应该有更广泛的应用. 善用它，可使我们在解决相关题目时更轻松、更高效.
1. 数 列
数列从本质上来讲是函数，用函数思想解决数列问题不但能够加深对数列概念的理解，而且能加强知识点间的联系.
例1 等差数列｛bn｝中，b1 > 0，前n项的和为Tn，若Tl = Tk（l ≠ k），当n取何值时Tn最大？
解析 运用数列中的通项公式的特点，把数列问题转化为函数问题解决.
设ｆ（ｎ） ＝ Ｔｎ ＝ ｎｂ１ ＋ ｄ，ｎ∈Ｎ，
则ｆ（ｎ） ＝ ｄｎ２ ＋ （b１ － ）ｎ，此函数是以ｎ为自变量的二次函数．
∵ b１ ＞ ０，Ｔｌ ＝ Ｔｋ（ｌ ≠ ｋ），
∴ d < 0，
∴ 二次函数ｆ（ｎ）的图像开口向下．
∵ ｆ（ｌ） ＝ ｆ（ｋ），
∴ 当ｘ ＝ 时， ｆ（ｘ）最大，但ｆ（ｎ）中ｎ∈Ｎ，
∴ 当l + k为偶数时，n = 时，Tn最大.
当l + k为奇数时，n = 时，Tn最大.
2. 平面解析几何
在解决平面解析几何问题时，若是能够通过仔细读题，发现某些点、线之间的联系，并用函数来刻画，往往会起到事半功倍的效果.
例2 设a > b > c且a + b + c = 0，抛物线y = ax2 + 2bx + c被x轴截得的弦长为m，证明： < m < 2.
解析 由于弦长m是与ａ，ｂ，ｃ有关的变量，若能找到它们之间的关系式，问题就变简单了.
∵ a > b > c且a + b + c = 0，
∴ ａ ＞ ０，ｃ ＜ ０.
∵ Δ = 4b2 - 4ac > 0，
故方程ａｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０必有两个不同实根ｘ１，x2 .
∴ m2 = （ｘ１ － ｘ２）２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ４ｘ１ｘ２ ＝ - =
４（ - ） = 4［(1 + )2 - ］ = 4（ + ）2 + 3.
∴ m2是的二次函数，由a > b > c且a + b + c = 0，可知-2 < < -，当 < -时，m2是单调递减的．
∴ ４（－ ＋ ）２ ＋ ３ ＜ ｍ２ ＜ ４（－２ ＋ ）２ ＋ ３，
即3 < m2 < 12，又m > 0，
∴ < m < 2.
例3 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e = ，已知点P（０，）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
解析 设椭圆的方程为 + = 1，因为e = ，
∴ = = ，
∴ a = 2b，故 + ＝ １．
设椭圆上的点P１（ｘ，ｙ）到P的距离为ｄ，则
ｄ２ ＝ ｘ２ ＋ （ｙ － ）２ ＝ ４ｂ２ － ４ｙ２ ＋ ｙ２ － ３ｙ ＋ ＝
－３（ｙ ＋ ）２ ＋ ４ｂ２ ＋ ３（－ｂ ≤ ｙ ≤ ｂ）.
若ｂ ＜ ，则当ｙ ＝ －ｂ时，ｄ２ｍａｘ ＝ （ｂ ＋ ）2，
∴ （）2 = （ｂ ＋ ）2，
即b = - > ，与b < 矛盾.
若b ≥ ，则当y = - 时，d2max = 4b2 + 3.
∴ （）2 = 4b2 + 3，得b = 1.
∴ a = 2.
综上所述，椭圆方程为 ＋ ｙ２ ＝ １，且椭圆上的点（±，）到点P的距离等于.
3. 组 合
例4 证明：当ｎ ≥ ３时，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.
证明 设ｆ（ｘ） ＝ （１ ＋ ｘ）ｎ ＝ Ｃ ＋ Ｃｘ ＋ Ｃｘ２ ＋ … ＋ Ｃｘｎ，
ｆ（１） ＝ Ｃ ＋ Ｃ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ，
＝ １ ＋ ｎ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ ＋ ｎ ＋ １
＝ ２（１ ＋ ｎ） ＋ （Ｃ ＋ … ＋ Ｃ） ＝ ２ｎ.
当ｎ ＝ ３时，２ｎ ＝ ２（１ ＋ ｎ），
当ｎ ＞ ３时，２ｎ ＝ 2（１ ＋ ｎ） ＋ Ｃ ＋ … + Ｃ，
∴ 当ｎ ≥ ３时，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.
4. 解不等式问题
在解决有些不等式问题时，若运用函数的视野去分析、推理的话，可以让证明轻松许多.
例5 证明不等式： < （ｘ ≠ ０）.
解析 一般证法是分x > 0或x < 0讨论，但运算量较大. 这里不妨试试构造函数ｆ（ｘ） = - （ｘ ≠ ０）.
∵ ｆ（－ｘ） = - = －ｘ（１ ＋ ） ＋ = - = ｆ（ｘ）,
∴ ｆ（ｘ）是偶函数. 当x > ０时，１ － ２ｘ ＜ ０，从而ｆ（ｘ） ＜ ０，
于是ｘ ＜ ０时，ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｘ） < 0，
故当x ≠ 0时，恒有ｆ（ｘ） < 0，即 < （ｘ ≠ ０）.
5. 求 值
求某些代数式的值时，可以将代数式转化为函数式，以提 高解题速度.
例 ６ 如果实数ａ，ｂ满足（ａ － ２）２ ＋ ｂ２ = 3，那么的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
解析 由已知，等式两边同除以a2得项，同时可得到关于的二次函数，求此函数值最大值即可.
两边同除以ａ２，得
（）2 - + 1 + = 0.
即（）2 = -（ - 2）2 + 3,
又 ｂ２ ＝ ３ － （ａ － ２）２ ≥ ０,
∴ 2 - ≤ a ≤ 2 + ,
当 = 2，即a = ∈［2 - ，２ + ］时，（）2max =3，
∴ （）max = .
例7 设实数ｘ，ｙ满足x3 + 2x + a = 0，y3 + 2y - a = 0，试求x + y的值.
解析 直接解这两个方程，显然运算量太大，不明智，通过观察发现，可把两个方程变为：ｘ３ ＋ ２ｘ ＝ －ａ，ｙ３ ＋ ２ｙ ＝ ａ．
构造函数ｆ（ｔ） ＝ ｔ３ ＋ ２ｔ（ｔ∈R）， 显然ｆ（－ｔ） ＝ －ｆ（ｔ），
∴ ｆ（ｔ）为奇函数.
∵ ｆ（ｘ） ＝ －ａ，ｆ（ｙ） ＝ ａ，所以ｆ（ｘ） ＝ －ｆ（ｙ），
又 ｆ（ｔ）为奇函数，所以ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｙ）.
易证，ｆ（ｔ）为增函数，所以ｘ＝－ｙ，
故ｘ ＋ ｙ ＝ ０．
通过上面的例子，我们可以看到，函数思想作为重要的数学思想之一，渗透在很多知识点里面，我们平时在教学时应注意多去发掘、培养、训练、强化这种解题思想，让它不只是局限在用来专门解函数题上面，而应该有更广泛的应用. 善用它，可使我们在解决相关题目时更轻松、更高效.