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摘要：模型的思想对于学生乃至任何人都有着举足轻重的作用，大学里面我们用建模去解决一类问题，带着这样的思考，纵观小学数学的内容，你会发现在小学的数学内容中其实也贯穿这很多的数学模型，怎样利用这些数学模型，并让学生通过模型的学习去掌握数学知识和发现数学知识的前后关联，对于教师来说是个课题。
关键词：数学模型 小学数学教学 转化 便捷之路
在这几年的教学中，一直在思考的问题就是怎样把“数学建模的思想运用在小学数学教学中”。下面从以下几点做出阐述。
一、数学模型的概念
数学模型[1]。（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。简言之“数学模型是对于一个现实的特定对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。”在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程及各种图表、图形等都是数学模型。
二、义务教育阶段中的数学模型
史宁中教授在《数学思想概论》中提出：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。由此可见，模型思想在义务教育数学教学中的作用举足轻重。
自己的教育理想就是“把数学建模思想应用于教学中，培养学生的发散思维，尝试灵动课堂的构建并形成自己的教学风格。”从教二年半，自己从懵懂的站上讲台到现在渐渐地能摸索出一些自己的方法，虽然还不是很成熟，但是相信不断的尝试终有一天会游鱼得水。《数学课程标准》[2]中把义务教育阶段的数学知识分为三大领域，即数与代数部分，空间与图形部分和统计与概率部分。“宏观层面上，数学知识对于学生的发展价值，除了提供数学知识以外，还可以提供学生特有的运算符号和逻辑系统，使学生具有数学的话语系统;提供学生认识事物数量，数形关系及转换的不同路径和不同视角，使学生具有数学的眼光;提供发现数学数量关系、数形关系及转换的方法和思维策略，使学生具有数学的头脑;提供学生一种唯有在数学学科中才可能经历和体验并建立起来的独特思维方式。”[3]
三、数学模型在教学中的存在
对学生数学模型意识的培养，要从低年级循序渐进，首先对低年级的学生我是通过实例和日常教学培养孩子模型的意识，到高年级渐渐地让孩子自己抽象出模型并学会运用模型，“确定位置”的数学模型是立体坐标系。学生在一年级接触到的一列队伍中“小明男孩排在第2个”，是一维空间上的确定位置;在二年级接触到的“小明坐在第3排第4个”，是二维空间上的确定位置;五年级学习的“数对”则是初步抽象的二维坐标模型。再到后来学习的折线统计图更加是我们初中阶段的函数图象的数学模型，在教学中如果我们教师注意到这样的数学模型存在，并不断的去强化和渗透一定能为学生将来在高中阶段学习立体坐标系提供很好的支持。其实这样的例子在小学数学内容的安排上有很多的例子，还有如图形面积公式的推导，其实就是转化模型的具体应用，梯形的面积是转化成平行四边形，后来圆的面积同样是转化成长方形。
四、数学模型的载体和实施
2013年8月份我有幸来到翡翠学校，在华师大的集中培训下，自己接受了很多新的教育理念，终于为自己认识到的小学教学中的数学模型找到了一个载体，那就是吴亚萍老师的“教结构，用结构”以及課堂教学中的三放三收。
找到了数学模型的载体后，自己在当前的教学中，不断的去尝试，去完善这种教学方法。在开学之初，结合自己寒假的思考，我开始运运用这种方法。
【教学片段1】
出示情境图。
师：请同学们认真数一数，大猴子面前有多少个桃？
生：有13个桃。
师：你真棒！谁再来说一说小猴子告诉了我们什么。
生：小猴子说“我买了9个。”
师：很好！现在我们来把着两个信息连起来看看，你有什么想问的吗？你知道怎样列式吗？
生：还剩多少个？13-9=4。
教师听了满意地点点头，板书13-9=4。
接着教学13-9=4的计算方法。
【教学片段2】
出示情境图。（同上）
师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？
生：从图中我看到了大猴子面前有13个桃子。
师：来了一只小猴子，小孩子想干嘛？
生：小猴子说“我买9个”。
师：你能把两句话连起来说吗？
生：大猴子有13个桃子，小猴子买了9个。
师：同学们观察得很仔细，也说得很好。说完之后，你有什么想问的吗？
生：大猴子有13个桃子，小猴子买了9个，还剩几个？
生（齐）：4个。
师：对，大家能不能用小棒代替桃子，将计算过程摆一摆呢？
（教师在行间指导学生摆小棒，并请一生将小棒摆在投影仪的下面。）
师：（结合情境图和摆小棒的过程说明）大猴子有13个桃子，小猴子买了9个，还剩4个。
生1：从13根小棒中一根一根拿，拿走9个，还剩4个。所以13-9=4。
生2：从10根里面拿走9根，剩下1根加上另外的3根，所以13-9=4。
生3：从13根里面先拿走3根，再拿走6根，13-3=10，10-6=4。所以13-9=4。
生4：9加（4）等于13，13减9得4。
师：同学们说得真好！你喜欢哪种计算方法呢？请同桌互相说一说。
师小结：像这样的四种计算方法，我们分别把它们叫做一个一个的减，破十法，平十法，还有想加得减法。并分别用多媒体课件演示。其实呀这些方法我们不仅可以算13减9，还可以算很多的十几减9的算式呢，你能举例说明吗？
生1：12-9=因为12-2=10.10-7=3所以12-9=3。
生2：15-9=因为9加6等于15，所以15-9=6。
……
上述两段教学，所体现出来的教学方法和效果是完全不一样的。第一个片段，属于“就教材教教材”式的简单教学，这是我第一次拿到课本对教学的定位，感觉完全停留在知识传授的层面上，“13-9=4”仅是一道题的解答算式的计算方法而已。第二个片段，是自己在一年教学后，对教学的重建，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切，由具体、形象的实例开始，借助操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以推广，把13-9=的计算方法推广到十几减9，甚至是后面的十几减8等教学中，真正做到了教结构，用结构，让学生用已经学到的模型去解决新的知识。
结束语
数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等到处都存在“数学模型”的影子，用数学建模的思想来指导着小学数学教学，给我们的数学教学带来了便捷之路，也给学生的知识积累带来了便捷之路。
参考文献：
[1] 姜启源谢金星叶俊《数学模型第三版》，高等教育出版社，2008年.
[2]《义务教育数学课程标准》，北京师范大学出版社，2012，16-26.
[3]吴亚萍，小学数学教学新视野 [M]，上海教育出版社，2006，32.
关键词：数学模型 小学数学教学 转化 便捷之路
在这几年的教学中，一直在思考的问题就是怎样把“数学建模的思想运用在小学数学教学中”。下面从以下几点做出阐述。
一、数学模型的概念
数学模型[1]。（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。简言之“数学模型是对于一个现实的特定对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。”在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程及各种图表、图形等都是数学模型。
二、义务教育阶段中的数学模型
史宁中教授在《数学思想概论》中提出：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。由此可见，模型思想在义务教育数学教学中的作用举足轻重。
自己的教育理想就是“把数学建模思想应用于教学中，培养学生的发散思维，尝试灵动课堂的构建并形成自己的教学风格。”从教二年半，自己从懵懂的站上讲台到现在渐渐地能摸索出一些自己的方法，虽然还不是很成熟，但是相信不断的尝试终有一天会游鱼得水。《数学课程标准》[2]中把义务教育阶段的数学知识分为三大领域，即数与代数部分，空间与图形部分和统计与概率部分。“宏观层面上，数学知识对于学生的发展价值，除了提供数学知识以外，还可以提供学生特有的运算符号和逻辑系统，使学生具有数学的话语系统;提供学生认识事物数量，数形关系及转换的不同路径和不同视角，使学生具有数学的眼光;提供发现数学数量关系、数形关系及转换的方法和思维策略，使学生具有数学的头脑;提供学生一种唯有在数学学科中才可能经历和体验并建立起来的独特思维方式。”[3]
三、数学模型在教学中的存在
对学生数学模型意识的培养，要从低年级循序渐进，首先对低年级的学生我是通过实例和日常教学培养孩子模型的意识，到高年级渐渐地让孩子自己抽象出模型并学会运用模型，“确定位置”的数学模型是立体坐标系。学生在一年级接触到的一列队伍中“小明男孩排在第2个”，是一维空间上的确定位置;在二年级接触到的“小明坐在第3排第4个”，是二维空间上的确定位置;五年级学习的“数对”则是初步抽象的二维坐标模型。再到后来学习的折线统计图更加是我们初中阶段的函数图象的数学模型，在教学中如果我们教师注意到这样的数学模型存在，并不断的去强化和渗透一定能为学生将来在高中阶段学习立体坐标系提供很好的支持。其实这样的例子在小学数学内容的安排上有很多的例子，还有如图形面积公式的推导，其实就是转化模型的具体应用，梯形的面积是转化成平行四边形，后来圆的面积同样是转化成长方形。
四、数学模型的载体和实施
2013年8月份我有幸来到翡翠学校，在华师大的集中培训下，自己接受了很多新的教育理念，终于为自己认识到的小学教学中的数学模型找到了一个载体，那就是吴亚萍老师的“教结构，用结构”以及課堂教学中的三放三收。
找到了数学模型的载体后，自己在当前的教学中，不断的去尝试，去完善这种教学方法。在开学之初，结合自己寒假的思考，我开始运运用这种方法。
【教学片段1】
出示情境图。
师：请同学们认真数一数，大猴子面前有多少个桃？
生：有13个桃。
师：你真棒！谁再来说一说小猴子告诉了我们什么。
生：小猴子说“我买了9个。”
师：很好！现在我们来把着两个信息连起来看看，你有什么想问的吗？你知道怎样列式吗？
生：还剩多少个？13-9=4。
教师听了满意地点点头，板书13-9=4。
接着教学13-9=4的计算方法。
【教学片段2】
出示情境图。（同上）
师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？
生：从图中我看到了大猴子面前有13个桃子。
师：来了一只小猴子，小孩子想干嘛？
生：小猴子说“我买9个”。
师：你能把两句话连起来说吗？
生：大猴子有13个桃子，小猴子买了9个。
师：同学们观察得很仔细，也说得很好。说完之后，你有什么想问的吗？
生：大猴子有13个桃子，小猴子买了9个，还剩几个？
生（齐）：4个。
师：对，大家能不能用小棒代替桃子，将计算过程摆一摆呢？
（教师在行间指导学生摆小棒，并请一生将小棒摆在投影仪的下面。）
师：（结合情境图和摆小棒的过程说明）大猴子有13个桃子，小猴子买了9个，还剩4个。
生1：从13根小棒中一根一根拿，拿走9个，还剩4个。所以13-9=4。
生2：从10根里面拿走9根，剩下1根加上另外的3根，所以13-9=4。
生3：从13根里面先拿走3根，再拿走6根，13-3=10，10-6=4。所以13-9=4。
生4：9加（4）等于13，13减9得4。
师：同学们说得真好！你喜欢哪种计算方法呢？请同桌互相说一说。
师小结：像这样的四种计算方法，我们分别把它们叫做一个一个的减，破十法，平十法，还有想加得减法。并分别用多媒体课件演示。其实呀这些方法我们不仅可以算13减9，还可以算很多的十几减9的算式呢，你能举例说明吗？
生1：12-9=因为12-2=10.10-7=3所以12-9=3。
生2：15-9=因为9加6等于15，所以15-9=6。
……
上述两段教学，所体现出来的教学方法和效果是完全不一样的。第一个片段，属于“就教材教教材”式的简单教学，这是我第一次拿到课本对教学的定位，感觉完全停留在知识传授的层面上，“13-9=4”仅是一道题的解答算式的计算方法而已。第二个片段，是自己在一年教学后，对教学的重建，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切，由具体、形象的实例开始，借助操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以推广，把13-9=的计算方法推广到十几减9，甚至是后面的十几减8等教学中，真正做到了教结构，用结构，让学生用已经学到的模型去解决新的知识。
结束语
数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等到处都存在“数学模型”的影子，用数学建模的思想来指导着小学数学教学，给我们的数学教学带来了便捷之路，也给学生的知识积累带来了便捷之路。
参考文献：
[1] 姜启源谢金星叶俊《数学模型第三版》，高等教育出版社，2008年.
[2]《义务教育数学课程标准》，北京师范大学出版社，2012，16-26.
[3]吴亚萍，小学数学教学新视野 [M]，上海教育出版社，2006，32.