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每一个重要数学事实的发现，除演绎推理外还要大量地依赖于合情推理，如哥德巴赫猜想、费尔马大定理、四色问题等，甚至其它学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说、假设，再经过演绎推理或实验手段得以证实的．合情推理的重要内容之一是类比推理．
一、“类比推理”能力的培养途径
新知识的学习需要建立在学生已有的知识结构上，需要与旧知识进行类比，这样才能使新知识的学习更加牢固，又有支撑点，使新知识纳入已有的知识结构中形成新的认知结构．新授课中，在各个环节都能渗透“类比推理”的内容．
1． 在概念的形成过程中培养类比推理能力
虽然我们不可能把教学概念的形成过程照搬给学生，但若能择其要领，浓缩精华地将数学家的发现过程暴露给学生，则无疑是教学生学会“数学地思考”以及培养合情推理能力的重要途径．如二面角的平面角概念的形成, 可先类比平面几何中的角的概念, 从而形成二面角的概念,再联想立体几何中学过的异面直线所成角、斜线与平面所成角的概念, 进而猜想“用顶点在二面角的棱上, 两边分别在两个半平面内的角”表示二面角的大小，从而形成“二面角的平面角”这一概念．
2． 在定理、公式的发现过程中培养类比推理能力
数学公式和定理的发现过程，是数学家智慧的集中体现，也是合情推理的精典之作，所以自然是进行合情推理能力培养的典型材料．如果只教给学生结论，实在是一大损失．如在学习了等差数列后再学习等比数列，对等比数列的一些性质可通过类比等差数列得出，然后，通过类比等差数列的方法进行证明．如对于“等比数列{an}的性质：若p+q=m=n(p,q,m,n均为正整数)，则apaq=aman”的教学可以进行如下设计：
（1）在等差数列{an}中，若p+q=m+n(p,q,m,n均为正整数)，则ap+aq=am+an，这一性质在解决不少问题时发挥着巨大作用，请同学们思考，在等比数列中有没有类似的结论？（引发猜想）
（2）搜集学生中的各种猜想：
猜想1：在等比数列{an}中，若pq=mn(p,q,m,n均为正整数)，则apaq=aman．
猜想2：在等比数列{an}中，若p+q=m+n(p,q,m,n均为正整数)，则apaq=aman．
猜想3：在等比数列{an}中，若p+q=m+n(p,q,m,n均为正整数)，则ap+aq=am+an．
猜想4：在等比数列{an}中，pq=mn(p,q,m,n均为正整数)，则ap+aq=am+an．
（3）引导讨论，验证各种猜想是否成立．
分析：等差数列中的对称性的证明是如何进行的？能否移植到等比数列中？
根据等差数列相应性质的证明思路，利用通项公式来证明．不难得出，猜想1将等差数列的性质中的“和”简单变成“积”，但利用通项公式，或举反例说明，如取若等比数列的前6项分别为1,2,4,8,16,32，取p=1，q=6，m=2，n=3，有pq=mn，但apaq=32，aman=8，因此apaq=aman不成立．
引导学生用同样的方法分析判断猜想3、猜想4均不成立，即只有猜想2成立，利用通项公式即可证明．
apaq=a21Qp+q-2（Q为等比数列的公比），aman=a21Qm+n-2，由于p+q=m+n，因此apaq=aman．
以上过程，既突出了类比的思想，又体现演绎推理的严谨．通过类比结论的真假判定，提高了学生的演绎推理能力．
3． 在解题思路的探索中培养类比推理能力
每一个数学题的解题思路的产生都是一个合情推理的过程, 从条件要达到结论的彼岸, 如何选择入口?如何实现过渡？这是观察、归纳、类比、猜想、联想、直觉、灵感等合情推理手段的综合运用．每一个解题过程就是一个小的“数学发现”，为培养学生合情推理能力提供了取之不尽的素材．
例1设f（x）是定义在R上的函数，且f（x）的图像关于直线x=a和直线x=b对称（a>b），问f（x）是不是周期函数，为什么？
分析：从函数有两条对称轴的情况来看，可以与函数y=sinx进行类比，它有两条对称轴x=，x=-，周期为2，恰好是-（-）的两倍. 从而提出猜想：函数f（x）是周期函数，且周期为2（a-b）．有了猜想后，尚需进一步的验证．由于函数f（x）关于x=a对称，则f（x）=f（2a-x），由于函数f（x）关于x=b，则f（x）=f（2b-x），即f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=
f（2b-2a+x），所以有f（x）=f（2b-x）=f（2b-2a+x），故f（x）是以2a-2b=2（a-b）周期的周期函数．
例2在四面体P—ABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面积，、、分别表示平面PAB、平面PBC、平面PAC与底面ABC所成的二面角的大小，则有S＝S1cos+S2cos+S3cos.
由该题的结构容易联想到平面三角中的射影定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，a=bcosC+ccosB.
它们的结构相似，能否借鉴平面的方法得到启示？为此，先研究平面射影定理的证明方法．
解:如图,设点A在直线BC上的射影为O，若点O在线段BC上，则在Rt△ABO和Rt△ACO中，BO=AB×cosB，CO=AC×cosC，因此，CB=OC+OB = AC×cosC+ AB×cosB，即a=bcosC+ccosB，若点O在线段BC外，同样可以证明．
类比解决上述问题的方法证明可证明例2．
设点P在平面ABC上的射影为O，过点O作OD⊥AB于D，连接PD，则可以证明PD⊥AB，即∠PDO为二面角P—AB—C的平面角，若点O在△ABC的内部，则==cos，即S△AOB=S1cos，同理S△COB=S2cos，S△AOC=S3cos，而S=S△AOB+S△COB+S△AOC，故S=S1cos+S2cos+S3cos.
若点O在ABC的边上或ABC外部时，用同样方法可以证明．
可见，类比不仅可以发现新结论，而且在解题方法上也可通过类比而获得．
二、克服类比推理的负迁移效应
由于类比推理的结论具有或然性，所得的结论不一定正确，因此，在教学中，要防止学生根据形式类似，进行类比造成的错误．如由a（b+c）=ab+bc类比sin（+）＝sin+sin；由平面内垂直于同一直线的两直线平行类比出空间垂直于同一平面的两平面平行等错误．警惕类比的负迁移作用，才能促使问题解决获得“圆满成功”.为此，教师在进行数学“类比推理”教学时要注意以下问题．
1. 既教猜想又教证明
在进行“类比推理”的教学中，教师要将“猜想”与“证明”同时进行，即类比得出的结论若判断证明则需要给予证明，若判断是错误的要举反例加以说明．在发展合情推理的同时发展逻辑推理思维能力，使学生形成一种良好的思维习惯，既善于通过类比发现新问题和新解法，又要对新问题、新结论给予证明，对问题的新解法进行提炼，总结出一般规律．
2. 既重类比规律又重特殊性
类比推理有规律可循，我们要努力寻求从低维到高维、平面到空间、从具体到抽象，从特殊到一般，从数到形等方面的类比的规律，同时，要研究其特殊性．真正使学生明白，类比是有规律的，是可以探究的，但又不是一成不变的，有其自身的特性．同时也要使学生清醒地认识到：“类比”也会犯错误，也会将人的思维搞乱，要注意分析类比带来的负面影响．
例3（1）在椭圆x2+8y2=8上找一点P，使点P到直线l：x-y+4=0的距离最小；（2）求椭圆x2+4y2=4上的点到点（0，5）的最大距离．
分析：第（1）问把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离．
设l与平行且与椭圆相切的直线为y=x+m，联立得9x2+16mx+8m2-8，通过△=0，结合图像得m=3，从而得到最短距离和切点坐标（即为P点）．
学生用类比的思想解决第（2）问，想到以（0，5）为圆心作圆，设方程为x2+（y-5）2=r2，利用圆和椭圆的方程联立得：3y2+10y-29+r2=0，通过△=0，求出r2=，即最大距离为．
可以看出学生类比其中相切的思想方法，求出了最大距离，感觉一气呵成．但细细一想，当r2=时，方程3y2+10y-29+r2=0的解为y=-，由于椭圆x2+4y2=4中-1≤y≤1，则r2=时，椭圆x2+4y2=4与圆x2+（y-5）2=r2没有交点，因此，所求最大距离出现了问题．
分析原因：由于在圆锥曲线中x和y有了范围，所以相切只要求联立后的方程只有一解，一个符合范围的解，而不一定△=0，所以此处的类比因范围不同而不具类比性，从而出现了问题．
直线与圆锥曲线相切，只要将它们的方程联立后消去未知数x（或y）而得到一个关于y（或x）的一元二次方程，则该方程的△=0可以求出一个y（或x），再代入直线方程得到一个x（或y）都只有一解．
但将此结论类比到二次曲线与二次曲线相切，将它们的方程联立后消去一个未知数（或而得到一个关于x（或y）的一元二次方程，该方程有相等实根，则△=0，只能说明联立后的方程只有一个y（或x），还要将它代入原方程求出x（或y），此时，不一定有解，因此，类比的结论是错误的．
那么，是不是它们完全没有类比性呢？
第（1）问，通过椭圆参数方程转化为求函数的最大值问题．则第（2）问可以用此方法计算：设椭圆x2+4y2=4上任一点为（2cos,sin），它与点（0，5）的距离为
=
显然，当sin=-1时，其最大值为6，即所求的最大距离为6．
责任编辑罗峰
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一、“类比推理”能力的培养途径
新知识的学习需要建立在学生已有的知识结构上，需要与旧知识进行类比，这样才能使新知识的学习更加牢固，又有支撑点，使新知识纳入已有的知识结构中形成新的认知结构．新授课中，在各个环节都能渗透“类比推理”的内容．
1． 在概念的形成过程中培养类比推理能力
虽然我们不可能把教学概念的形成过程照搬给学生，但若能择其要领，浓缩精华地将数学家的发现过程暴露给学生，则无疑是教学生学会“数学地思考”以及培养合情推理能力的重要途径．如二面角的平面角概念的形成, 可先类比平面几何中的角的概念, 从而形成二面角的概念,再联想立体几何中学过的异面直线所成角、斜线与平面所成角的概念, 进而猜想“用顶点在二面角的棱上, 两边分别在两个半平面内的角”表示二面角的大小，从而形成“二面角的平面角”这一概念．
2． 在定理、公式的发现过程中培养类比推理能力
数学公式和定理的发现过程，是数学家智慧的集中体现，也是合情推理的精典之作，所以自然是进行合情推理能力培养的典型材料．如果只教给学生结论，实在是一大损失．如在学习了等差数列后再学习等比数列，对等比数列的一些性质可通过类比等差数列得出，然后，通过类比等差数列的方法进行证明．如对于“等比数列{an}的性质：若p+q=m=n(p,q,m,n均为正整数)，则apaq=aman”的教学可以进行如下设计：
（1）在等差数列{an}中，若p+q=m+n(p,q,m,n均为正整数)，则ap+aq=am+an，这一性质在解决不少问题时发挥着巨大作用，请同学们思考，在等比数列中有没有类似的结论？（引发猜想）
（2）搜集学生中的各种猜想：
猜想1：在等比数列{an}中，若pq=mn(p,q,m,n均为正整数)，则apaq=aman．
猜想2：在等比数列{an}中，若p+q=m+n(p,q,m,n均为正整数)，则apaq=aman．
猜想3：在等比数列{an}中，若p+q=m+n(p,q,m,n均为正整数)，则ap+aq=am+an．
猜想4：在等比数列{an}中，pq=mn(p,q,m,n均为正整数)，则ap+aq=am+an．
（3）引导讨论，验证各种猜想是否成立．
分析：等差数列中的对称性的证明是如何进行的？能否移植到等比数列中？
根据等差数列相应性质的证明思路，利用通项公式来证明．不难得出，猜想1将等差数列的性质中的“和”简单变成“积”，但利用通项公式，或举反例说明，如取若等比数列的前6项分别为1,2,4,8,16,32，取p=1，q=6，m=2，n=3，有pq=mn，但apaq=32，aman=8，因此apaq=aman不成立．
引导学生用同样的方法分析判断猜想3、猜想4均不成立，即只有猜想2成立，利用通项公式即可证明．
apaq=a21Qp+q-2（Q为等比数列的公比），aman=a21Qm+n-2，由于p+q=m+n，因此apaq=aman．
以上过程，既突出了类比的思想，又体现演绎推理的严谨．通过类比结论的真假判定，提高了学生的演绎推理能力．
3． 在解题思路的探索中培养类比推理能力
每一个数学题的解题思路的产生都是一个合情推理的过程, 从条件要达到结论的彼岸, 如何选择入口?如何实现过渡？这是观察、归纳、类比、猜想、联想、直觉、灵感等合情推理手段的综合运用．每一个解题过程就是一个小的“数学发现”，为培养学生合情推理能力提供了取之不尽的素材．
例1设f（x）是定义在R上的函数，且f（x）的图像关于直线x=a和直线x=b对称（a>b），问f（x）是不是周期函数，为什么？
分析：从函数有两条对称轴的情况来看，可以与函数y=sinx进行类比，它有两条对称轴x=，x=-，周期为2，恰好是-（-）的两倍. 从而提出猜想：函数f（x）是周期函数，且周期为2（a-b）．有了猜想后，尚需进一步的验证．由于函数f（x）关于x=a对称，则f（x）=f（2a-x），由于函数f（x）关于x=b，则f（x）=f（2b-x），即f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=
f（2b-2a+x），所以有f（x）=f（2b-x）=f（2b-2a+x），故f（x）是以2a-2b=2（a-b）周期的周期函数．
例2在四面体P—ABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面积，、、分别表示平面PAB、平面PBC、平面PAC与底面ABC所成的二面角的大小，则有S＝S1cos+S2cos+S3cos.
由该题的结构容易联想到平面三角中的射影定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，a=bcosC+ccosB.
它们的结构相似，能否借鉴平面的方法得到启示？为此，先研究平面射影定理的证明方法．
解:如图,设点A在直线BC上的射影为O，若点O在线段BC上，则在Rt△ABO和Rt△ACO中，BO=AB×cosB，CO=AC×cosC，因此，CB=OC+OB = AC×cosC+ AB×cosB，即a=bcosC+ccosB，若点O在线段BC外，同样可以证明．
类比解决上述问题的方法证明可证明例2．
设点P在平面ABC上的射影为O，过点O作OD⊥AB于D，连接PD，则可以证明PD⊥AB，即∠PDO为二面角P—AB—C的平面角，若点O在△ABC的内部，则==cos，即S△AOB=S1cos，同理S△COB=S2cos，S△AOC=S3cos，而S=S△AOB+S△COB+S△AOC，故S=S1cos+S2cos+S3cos.
若点O在ABC的边上或ABC外部时，用同样方法可以证明．
可见，类比不仅可以发现新结论，而且在解题方法上也可通过类比而获得．
二、克服类比推理的负迁移效应
由于类比推理的结论具有或然性，所得的结论不一定正确，因此，在教学中，要防止学生根据形式类似，进行类比造成的错误．如由a（b+c）=ab+bc类比sin（+）＝sin+sin；由平面内垂直于同一直线的两直线平行类比出空间垂直于同一平面的两平面平行等错误．警惕类比的负迁移作用，才能促使问题解决获得“圆满成功”.为此，教师在进行数学“类比推理”教学时要注意以下问题．
1. 既教猜想又教证明
在进行“类比推理”的教学中，教师要将“猜想”与“证明”同时进行，即类比得出的结论若判断证明则需要给予证明，若判断是错误的要举反例加以说明．在发展合情推理的同时发展逻辑推理思维能力，使学生形成一种良好的思维习惯，既善于通过类比发现新问题和新解法，又要对新问题、新结论给予证明，对问题的新解法进行提炼，总结出一般规律．
2. 既重类比规律又重特殊性
类比推理有规律可循，我们要努力寻求从低维到高维、平面到空间、从具体到抽象，从特殊到一般，从数到形等方面的类比的规律，同时，要研究其特殊性．真正使学生明白，类比是有规律的，是可以探究的，但又不是一成不变的，有其自身的特性．同时也要使学生清醒地认识到：“类比”也会犯错误，也会将人的思维搞乱，要注意分析类比带来的负面影响．
例3（1）在椭圆x2+8y2=8上找一点P，使点P到直线l：x-y+4=0的距离最小；（2）求椭圆x2+4y2=4上的点到点（0，5）的最大距离．
分析：第（1）问把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离．
设l与平行且与椭圆相切的直线为y=x+m，联立得9x2+16mx+8m2-8，通过△=0，结合图像得m=3，从而得到最短距离和切点坐标（即为P点）．
学生用类比的思想解决第（2）问，想到以（0，5）为圆心作圆，设方程为x2+（y-5）2=r2，利用圆和椭圆的方程联立得：3y2+10y-29+r2=0，通过△=0，求出r2=，即最大距离为．
可以看出学生类比其中相切的思想方法，求出了最大距离，感觉一气呵成．但细细一想，当r2=时，方程3y2+10y-29+r2=0的解为y=-，由于椭圆x2+4y2=4中-1≤y≤1，则r2=时，椭圆x2+4y2=4与圆x2+（y-5）2=r2没有交点，因此，所求最大距离出现了问题．
分析原因：由于在圆锥曲线中x和y有了范围，所以相切只要求联立后的方程只有一解，一个符合范围的解，而不一定△=0，所以此处的类比因范围不同而不具类比性，从而出现了问题．
直线与圆锥曲线相切，只要将它们的方程联立后消去未知数x（或y）而得到一个关于y（或x）的一元二次方程，则该方程的△=0可以求出一个y（或x），再代入直线方程得到一个x（或y）都只有一解．
但将此结论类比到二次曲线与二次曲线相切，将它们的方程联立后消去一个未知数（或而得到一个关于x（或y）的一元二次方程，该方程有相等实根，则△=0，只能说明联立后的方程只有一个y（或x），还要将它代入原方程求出x（或y），此时，不一定有解，因此，类比的结论是错误的．
那么，是不是它们完全没有类比性呢？
第（1）问，通过椭圆参数方程转化为求函数的最大值问题．则第（2）问可以用此方法计算：设椭圆x2+4y2=4上任一点为（2cos,sin），它与点（0，5）的距离为
=
显然，当sin=-1时，其最大值为6，即所求的最大距离为6．
责任编辑罗峰
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