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亲爱的同学们，你们知道吗，人类认识一元二次方程的历史相当久远。阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的著作《代数学》里第一次承认了一元二次方程有两个根，还用几何学方法得出一般的求根公式，极大地推动了数学的发展。我们都知道解一元二次方程常见的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，下面我们一起来结合具体题目，合理选择解一元二次方程的方法，以方便我们的计算。
一、直接开平方法
例1 解方程：（x 1）2-1=3。
【解析】把x 1看作一个整体，将方程两边同时加1，变形为（x 1）2=4，再直接开平方，计算即可。
解：（x 1）2-1=3。
（x 1）2=4。
x 1=±2。
x=-1±2。
∴x1=1，x2=-3。
【点评】形如（x h）2=k（h、k为常数，k≥0）的方程通常使用直接开平方法。需要注意的是，若k=0，则答案需写作x1=x2=-h的形式，方程有两个相等的实数根。
二、配方法
例2 解方程：x2-10x 22=0。
【解析】观察这个一元二次方程，我们发现二次项系数为1，一次项系数为偶数，此时考虑选择使用配方法。
解：x2-10x=-22。
x2-10x 52=-22 52。
（x-5）2=3。
x-5=[±3]。
x=5±[3]。
∴x1=5 [3]，x2=5-[3]。
【点评】关于x的一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0），当a=1，b为偶数时通常使用配方法。先把常数项移到方程的右边，然后加上一次项系数的一半的平方。将方程转化为（x h）2=k的形式，进而求解。当一元二次方程的一次项系数不是偶数时，配方容易出错，同学们应引起注意。
三、公式法
例3 解方程：2x2 x-1=0。
【解析】观察这个一元二次方程，我们发现二次项系数不为1，一次项系数为奇数，此时应选择使用公式法。
解：∵a=2，b=1，c=-1，
b2-4ac=12-4×2×（-1）=9。
∴x=[-1±32×2]。
∴x1=[12]，x2=-1。
【点评】关于x的一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0），当b2-4ac≥0时，方程的实数根是x=[-b±b2-4ac2a]。同学们对一元二次方程的求根公式需要熟练掌握，把各项系数的值直接代入公式，进而求解。特别对于a≠1，b为奇数的情况，公式法通常较为简便。
四、因式分解法
例4 解方程：x（2x-1）=3（1-2x）。
【解析】观察这个一元二次方程，我们发现2x-1与1-2x互为相反数，移项后可提公因式，因此应选择使用因式分解法。
解：x（2x-1）-3（1-2x）=0。
x（2x-1） 3（2x-1）=0。
（2x-1）（x 3）=0。
∴2x-1=0或x 3=0。
∴x1=[12]，x2=-3。
【点评】开始动笔做题之前，同学们一定要养成认真读题的好习惯。这道题可通过移项，将方程右边化为0，方程左边经提公因式之后可分解为两个一次因式的乘积。把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，从而得出结果。
例5 解方程：（3x-1）2-4x2=0。
【解析】将4x2看作2x整体的平方，我们可以利用平方差公式将这个一元二次方程的左边进行因式分解，转化成两个一次因式的乘积。
解：（3x-1）2-（2x）2=0。
（3x-1 2x）（3x-1-2x）=0。
（5x-1）（x-1）=0。
∴5x-1=0或x-1=0。
∴x1=[15]，x2=1。
【点评】形如x2-ax=0和x2-a2=0的一元二次方程通常可以使用因式分解法快速地解决。
一般地，在一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0）中，如果b2-4ac≥0时，那么它的两个根为x1=[-b b2-4ac2a]、x2=[-b-b2-4ac2a]，这两个根满足x1 x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。这个结论也可以帮助我们更加便捷地解决一些问题。
例6 已知关于x的方程2x2 mx 50=0的一个根是10，求它的另一个根。
【解析】已知一元二次方程的一个根，可以将此根代入方程求出参数的值，再通过解这个方程得到它的另一个根。或者根据题目条件，利用根与系数的关系，进行求解。
解法一：把x=10代入，得2×102 10m 50=0。
解得m=-25。
把m=-25代入，得2x2-25x 50=0。
∵a=2，b=-25，c=50，
b2-4ac=（-25）2-4×2×50=225。
∴x=[25±2252×2]=[25±154]。
∴x1=10，x2=[52]。
∴方程的另一个根是[52]。
解法二：∵a=2，c=50，
∴x1·x2=[ca]=[502]=25。
∵x1=10，
∴x2=[2510]=[52]。
∴方程的另一个根是[52]。
【点评】对比本题的这两种解法，我们可以明显看出方法2更为便捷。已知一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0）中a和b的值，可以利用x1 x2=[-ba]进行求解;已知a和c的值，则可以利用x1·x2=[ca]进行求解。
例7 已知关于x的方程x2 bx c=0的两根分别是[2] 1、[2]-1，求b、c的值。
【解析】已知一元二次方程的两个根，那么我们可以直接代入，联立得到关于b和c的二元一次方程组，进而求解。经过计算，我们发现这种方法并不方便。我们可以逆向使用根与系数的关系，直接得到b和c的值。
解：∵x1 x2=-b，
∴（[2] 1） （[2]-1）=-b，
∴b=[-22]。
∵x1·x2=c，
∴（[2] 1）·（[2]-1）=c，
∴c=1。
【點评】此处为根与系数的关系的直接应用，同学们要注意归纳总结。另外需要注意的是，x1 x2=[-ba]中，负号不要漏写。
（作者单位：江苏省南京市第一中学初中部）
一、直接开平方法
例1 解方程：（x 1）2-1=3。
【解析】把x 1看作一个整体，将方程两边同时加1，变形为（x 1）2=4，再直接开平方，计算即可。
解：（x 1）2-1=3。
（x 1）2=4。
x 1=±2。
x=-1±2。
∴x1=1，x2=-3。
【点评】形如（x h）2=k（h、k为常数，k≥0）的方程通常使用直接开平方法。需要注意的是，若k=0，则答案需写作x1=x2=-h的形式，方程有两个相等的实数根。
二、配方法
例2 解方程：x2-10x 22=0。
【解析】观察这个一元二次方程，我们发现二次项系数为1，一次项系数为偶数，此时考虑选择使用配方法。
解：x2-10x=-22。
x2-10x 52=-22 52。
（x-5）2=3。
x-5=[±3]。
x=5±[3]。
∴x1=5 [3]，x2=5-[3]。
【点评】关于x的一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0），当a=1，b为偶数时通常使用配方法。先把常数项移到方程的右边，然后加上一次项系数的一半的平方。将方程转化为（x h）2=k的形式，进而求解。当一元二次方程的一次项系数不是偶数时，配方容易出错，同学们应引起注意。
三、公式法
例3 解方程：2x2 x-1=0。
【解析】观察这个一元二次方程，我们发现二次项系数不为1，一次项系数为奇数，此时应选择使用公式法。
解：∵a=2，b=1，c=-1，
b2-4ac=12-4×2×（-1）=9。
∴x=[-1±32×2]。
∴x1=[12]，x2=-1。
【点评】关于x的一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0），当b2-4ac≥0时，方程的实数根是x=[-b±b2-4ac2a]。同学们对一元二次方程的求根公式需要熟练掌握，把各项系数的值直接代入公式，进而求解。特别对于a≠1，b为奇数的情况，公式法通常较为简便。
四、因式分解法
例4 解方程：x（2x-1）=3（1-2x）。
【解析】观察这个一元二次方程，我们发现2x-1与1-2x互为相反数，移项后可提公因式，因此应选择使用因式分解法。
解：x（2x-1）-3（1-2x）=0。
x（2x-1） 3（2x-1）=0。
（2x-1）（x 3）=0。
∴2x-1=0或x 3=0。
∴x1=[12]，x2=-3。
【点评】开始动笔做题之前，同学们一定要养成认真读题的好习惯。这道题可通过移项，将方程右边化为0，方程左边经提公因式之后可分解为两个一次因式的乘积。把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，从而得出结果。
例5 解方程：（3x-1）2-4x2=0。
【解析】将4x2看作2x整体的平方，我们可以利用平方差公式将这个一元二次方程的左边进行因式分解，转化成两个一次因式的乘积。
解：（3x-1）2-（2x）2=0。
（3x-1 2x）（3x-1-2x）=0。
（5x-1）（x-1）=0。
∴5x-1=0或x-1=0。
∴x1=[15]，x2=1。
【点评】形如x2-ax=0和x2-a2=0的一元二次方程通常可以使用因式分解法快速地解决。
一般地，在一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0）中，如果b2-4ac≥0时，那么它的两个根为x1=[-b b2-4ac2a]、x2=[-b-b2-4ac2a]，这两个根满足x1 x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。这个结论也可以帮助我们更加便捷地解决一些问题。
例6 已知关于x的方程2x2 mx 50=0的一个根是10，求它的另一个根。
【解析】已知一元二次方程的一个根，可以将此根代入方程求出参数的值，再通过解这个方程得到它的另一个根。或者根据题目条件，利用根与系数的关系，进行求解。
解法一：把x=10代入，得2×102 10m 50=0。
解得m=-25。
把m=-25代入，得2x2-25x 50=0。
∵a=2，b=-25，c=50，
b2-4ac=（-25）2-4×2×50=225。
∴x=[25±2252×2]=[25±154]。
∴x1=10，x2=[52]。
∴方程的另一个根是[52]。
解法二：∵a=2，c=50，
∴x1·x2=[ca]=[502]=25。
∵x1=10，
∴x2=[2510]=[52]。
∴方程的另一个根是[52]。
【点评】对比本题的这两种解法，我们可以明显看出方法2更为便捷。已知一元二次方程ax2 bx c=0（a、b、c是常数，a≠0）中a和b的值，可以利用x1 x2=[-ba]进行求解;已知a和c的值，则可以利用x1·x2=[ca]进行求解。
例7 已知关于x的方程x2 bx c=0的两根分别是[2] 1、[2]-1，求b、c的值。
【解析】已知一元二次方程的两个根，那么我们可以直接代入，联立得到关于b和c的二元一次方程组，进而求解。经过计算，我们发现这种方法并不方便。我们可以逆向使用根与系数的关系，直接得到b和c的值。
解：∵x1 x2=-b，
∴（[2] 1） （[2]-1）=-b，
∴b=[-22]。
∵x1·x2=c，
∴（[2] 1）·（[2]-1）=c，
∴c=1。
【點评】此处为根与系数的关系的直接应用，同学们要注意归纳总结。另外需要注意的是，x1 x2=[-ba]中，负号不要漏写。
（作者单位：江苏省南京市第一中学初中部）