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七年级下学期的课本中与几何有关的章节是第七章和第十二章，分别是《平面图形的认识（二）》和《证明》.第七章大致可分为两部分：平行线和三角形.平行线的相关性质和定理是初中几何学习的基础，比如三角形的内角和定理就是依据平行线的相关性质推导出来的.因此可以认为，第七章里前面平行线的相关内容是为后面三角形的内容做铺垫，而多边形内角和、外角和又是三角形相关内容的延伸.整个第七章是一个逻辑严密的整体，它还是八年级学习等腰三角形、直角三角形、平行四边形等内容的基础，是初中几何知识最重要的基础.第十二章《证明》则简要介绍了常见的说理证明的方法.内容比较简略，本文不赘述.为了让同学们更好地掌握第七章的内容，下面给同学们解读一下其中的重要知识点.
重点1：平行线的判定（即直线平行的条件）
关于这个内容，课本共有三条结论：1. 同位角相等，两直线平行；2. 内错角相等，两直线平行；3. 同旁内角互补，两直线平行.其中，结论1是基本事实，是人们公认的真命题，无须证明.结论2和结论3，可以用定理“对顶角相等”、“同角的补角相等”再经由结论1加以证明，是平行线的判定定理.
D. ∠4 ∠2=180°
【分析】依据平行线的判定的三条结论可知：
A. 已知∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可以判断，故命题正确；
B. 不能判断；
C. 同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故命题正确；
（2） 如图乙，AB∥CD，试问∠2 ∠4与∠1 ∠3 ∠5一样大吗？为什么？
（3） 如图丙，AB∥CD，试问∠2 ∠4 ∠6与∠1 ∠3 ∠5 ∠7哪个大？为什么？
你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论.
【分析】看这“峰回路转”的折线夹在两条平行线之间，容易联想到内错角这一形象.这样就可以依据“两直线平行，内错角相等”来添加辅助线进行解题.具体解法如下：
（1） ∠2=∠1 ∠3.
过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠1，
∠CEF=∠3，
∴∠2=∠BEF ∠CEF=∠1 ∠3；
（2） ∠2 ∠4=∠1 ∠3 ∠5.
分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，
∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2 ∠4=∠BEF ∠FEG ∠GMN ∠CMN=∠1 ∠EGH ∠MGH ∠5=∠1 ∠3 ∠5；
（3） ∠2 ∠4 ∠6=∠1 ∠3 ∠5 ∠7.
分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，
GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，
同（2）可得
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2 ∠4 ∠6=∠1 ∠3 ∠5 ∠7.
归纳：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等.
重点3：图形的平移
图形的平移是初中学习的三种最重要的几何变换之一.另外两种重要的几何变换——轴对称、旋转将在八年级学习.平移的两个要素是方向和距离.这可以分别用具体的方向和距离给出，也可以用一个有向线段给出，比如像“把△ABC平移，使顶点A移动到点A′的位置”这样的说法.图形的平移的结论有：平移前后的图形中，对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等.此外，同学们还要掌握平移图形的画法.
例3 如图5，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A′，做出平移后的四边形.
【分析】依据“平移前后的图形中，对应点的连线平行且相等”，过点B、C、D分别作直线AA′的平行线，并在直线上分别截取BB′=CC′=DD′=AA′，再顺次连接A′、B′、C′、D′即可（如图6）. 【点评】考查平移变换作图.关键在于做出平移后的对应点.
重点4：三角形的重要线段
三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段.解题时要依据其定义，转化为相应的数量关系或者位置关系，再加以运用.通过画图，同学们可以总结出：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，三条中线交于三角形内一点.这两个结论的证明比较有难度，将分别在八年级和九年级给出.三角形的三条高（所在直线）交于一点，这点的位置与三角形的形状有关.锐角三角形的三条高的交点在三角形内；直角三角形的三条高的交点在直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，在三角形外部.
例4 在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）.
【分析】作哪一条边上的高，从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可.故而，在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C.故选C.
【点评】此题主要考查了三角形的高，要抓住定义“在三角形中，从一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高”.
重点5：多边形的外角和与内角和
这一部分内容包含：三角形的内角和定理，n边形的内角和公式，多边形的外角和定理.其中，三角形的内角和定理是基础和出发点.
在小学，我们就已经知晓“三角形的内角和为180°”这个结论.到了初中，同学们还需要掌握这个结论的证明方法.这个定理的证明方法有多种，以下仅举出其中一种：
如图7所示，在△ABC中，过A引l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1 ∠BAC ∠2=180°，
∴∠A ∠B ∠C=180°.
即三角形的内角和为180°.
由三角形的内角和定理还直接得出以下结论：①直角三角形两锐角互余，②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.对n边形适当分割，使其转化为若干个三角形，还可以得出n边形内角和公式（n-2）·180°，并最终得出n边形外角和为360°.
例5 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究一：如图8，在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，
通过分析发现∠BOC=90° ∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1 ∠2=（∠ABC ∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1 ∠2）=180°-（90°-∠A）=90° ∠A.
（1） 探究2：如图9中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由.
（2） 探究3：如图10，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）结论：_________.
（3） 拓展：如图11，在四边形ABCD中，已知O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A ∠D有怎样的关系？（直接写出结论）结论：__________.
【分析】（1） 根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A ∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（2） 根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
（3） 同（1）的求解思路.
具体解法如下：
（1） 探究2结论：∠BOC=∠A.
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2=∠ACD
=（∠A ∠ABC）
=∠A ∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠2-∠1
=∠A ∠1-∠1
=∠A，
即∠BOC=∠A；
（2） 根据三角形的外角性质和角平分线的定义，
∠OBC=（∠A ∠ACB），
∠OCB=（∠A ∠ABC），
在△BOC中，
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠A ∠ACB）-（∠A ∠ABC），
=180°-（∠A ∠ACB ∠A ∠ABC），
=180°-（180° ∠A），
=90°-∠A；
（3） ∠OBC ∠OCB=（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，
∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）
=（∠A ∠D）.
【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图、整体思想的利用是解题的关键.本题的四个图形属于同一个系列，放在一起比较更容易相互联系进行理解.
在几何内容学习的时候，“转化”是常出现的字眼.“转化”是重要的数学思想，我们不断建构新知识的过程，往往也是不断把新知识转化为已学知识的过程.望同学们能领略其中的奥妙，学得轻松，学得高效.
（作者单位：江苏省南京师范大学附属中学江宁分校）
重点1：平行线的判定（即直线平行的条件）
关于这个内容，课本共有三条结论：1. 同位角相等，两直线平行；2. 内错角相等，两直线平行；3. 同旁内角互补，两直线平行.其中，结论1是基本事实，是人们公认的真命题，无须证明.结论2和结论3，可以用定理“对顶角相等”、“同角的补角相等”再经由结论1加以证明，是平行线的判定定理.
D. ∠4 ∠2=180°
【分析】依据平行线的判定的三条结论可知：
A. 已知∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可以判断，故命题正确；
B. 不能判断；
C. 同旁内角互补，两直线平行，可以判断，故命题正确；
（2） 如图乙，AB∥CD，试问∠2 ∠4与∠1 ∠3 ∠5一样大吗？为什么？
（3） 如图丙，AB∥CD，试问∠2 ∠4 ∠6与∠1 ∠3 ∠5 ∠7哪个大？为什么？
你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论.
【分析】看这“峰回路转”的折线夹在两条平行线之间，容易联想到内错角这一形象.这样就可以依据“两直线平行，内错角相等”来添加辅助线进行解题.具体解法如下：
（1） ∠2=∠1 ∠3.
过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠1，
∠CEF=∠3，
∴∠2=∠BEF ∠CEF=∠1 ∠3；
（2） ∠2 ∠4=∠1 ∠3 ∠5.
分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，
∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2 ∠4=∠BEF ∠FEG ∠GMN ∠CMN=∠1 ∠EGH ∠MGH ∠5=∠1 ∠3 ∠5；
（3） ∠2 ∠4 ∠6=∠1 ∠3 ∠5 ∠7.
分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，
GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，
同（2）可得
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2 ∠4 ∠6=∠1 ∠3 ∠5 ∠7.
归纳：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等.
重点3：图形的平移
图形的平移是初中学习的三种最重要的几何变换之一.另外两种重要的几何变换——轴对称、旋转将在八年级学习.平移的两个要素是方向和距离.这可以分别用具体的方向和距离给出，也可以用一个有向线段给出，比如像“把△ABC平移，使顶点A移动到点A′的位置”这样的说法.图形的平移的结论有：平移前后的图形中，对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等.此外，同学们还要掌握平移图形的画法.
例3 如图5，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A′，做出平移后的四边形.
【分析】依据“平移前后的图形中，对应点的连线平行且相等”，过点B、C、D分别作直线AA′的平行线，并在直线上分别截取BB′=CC′=DD′=AA′，再顺次连接A′、B′、C′、D′即可（如图6）. 【点评】考查平移变换作图.关键在于做出平移后的对应点.
重点4：三角形的重要线段
三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段.解题时要依据其定义，转化为相应的数量关系或者位置关系，再加以运用.通过画图，同学们可以总结出：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，三条中线交于三角形内一点.这两个结论的证明比较有难度，将分别在八年级和九年级给出.三角形的三条高（所在直线）交于一点，这点的位置与三角形的形状有关.锐角三角形的三条高的交点在三角形内；直角三角形的三条高的交点在直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，在三角形外部.
例4 在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）.
【分析】作哪一条边上的高，从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可.故而，在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C.故选C.
【点评】此题主要考查了三角形的高，要抓住定义“在三角形中，从一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高”.
重点5：多边形的外角和与内角和
这一部分内容包含：三角形的内角和定理，n边形的内角和公式，多边形的外角和定理.其中，三角形的内角和定理是基础和出发点.
在小学，我们就已经知晓“三角形的内角和为180°”这个结论.到了初中，同学们还需要掌握这个结论的证明方法.这个定理的证明方法有多种，以下仅举出其中一种：
如图7所示，在△ABC中，过A引l∥BC.
∵l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1 ∠BAC ∠2=180°，
∴∠A ∠B ∠C=180°.
即三角形的内角和为180°.
由三角形的内角和定理还直接得出以下结论：①直角三角形两锐角互余，②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.对n边形适当分割，使其转化为若干个三角形，还可以得出n边形内角和公式（n-2）·180°，并最终得出n边形外角和为360°.
例5 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究一：如图8，在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，
通过分析发现∠BOC=90° ∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1 ∠2=（∠ABC ∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1 ∠2）=180°-（90°-∠A）=90° ∠A.
（1） 探究2：如图9中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由.
（2） 探究3：如图10，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）结论：_________.
（3） 拓展：如图11，在四边形ABCD中，已知O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A ∠D有怎样的关系？（直接写出结论）结论：__________.
【分析】（1） 根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A ∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（2） 根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
（3） 同（1）的求解思路.
具体解法如下：
（1） 探究2结论：∠BOC=∠A.
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2=∠ACD
=（∠A ∠ABC）
=∠A ∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠2-∠1
=∠A ∠1-∠1
=∠A，
即∠BOC=∠A；
（2） 根据三角形的外角性质和角平分线的定义，
∠OBC=（∠A ∠ACB），
∠OCB=（∠A ∠ABC），
在△BOC中，
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠A ∠ACB）-（∠A ∠ABC），
=180°-（∠A ∠ACB ∠A ∠ABC），
=180°-（180° ∠A），
=90°-∠A；
（3） ∠OBC ∠OCB=（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，
∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）
=（∠A ∠D）.
【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图、整体思想的利用是解题的关键.本题的四个图形属于同一个系列，放在一起比较更容易相互联系进行理解.
在几何内容学习的时候，“转化”是常出现的字眼.“转化”是重要的数学思想，我们不断建构新知识的过程，往往也是不断把新知识转化为已学知识的过程.望同学们能领略其中的奥妙，学得轻松，学得高效.
（作者单位：江苏省南京师范大学附属中学江宁分校）