同学们在自省静悟的复习过程中,为了纠正一些常见错误,澄清一些模糊的认识,克服理解上的思维障碍,我们把高考中容易出错和混淆的知识点进行梳理与归纳,力求提高同学们的复习效果,在高考中取得优异的成绩.
　　一、集合、简易逻辑、函数部分
　　1.研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);
　　例:已知集合A={x,xy,lg(xy)},集合B={0,|x|,y},且A=B,则x+y=.
　　2.在研究集合时,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义.
　　例:(1)已知“集合M={y|y=1-x,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈R},求M∩N”;
　　(2)已知“集合M={x|y=1-x,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈R},求M∩N”;
　　(3)“集合M={(x,y)|y=x,x∈R},N={(x,y)|y=x2,x∈R}求M∩N”
　　注意:这三个问题的区别.
　　3.在进行集合运算时不要忘记空集的情况,如集合A、B,A∩B=时,你是否注意到“极端”情况:A=或B=;求集合的子集AB时是否忘记A=.
　　例:(1)(a-2)x2+2(a-2)x-1<0对一切x∈R恒成立,求a的取植范围,你讨论了a=2的情况了吗?(1　　4.理解全称命题和存在命题的含义.
　　例:(1)对于任意a∈[1,3],使不等式ax2+(a-2)x-2>0,求x的取值范围.
　　(2)若存在a∈[1,3],使不等式ax2+(a-2)x-2>0,求x的取值范围.
　　(1)x<-1或x>2,(2)x<-1或x>23
　　5.函数的几个重要性质不要混淆:
　　(1)如果函数y=f(x)对于一切x∈R,都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),那么函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
　　(2)如果函数y=f(x)对于一切x∈R,都有f(a+x)=2b-f(a-x)或f(x)=2b-f(2a-x),那么函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
　　(3)如果函数y=f(x)对于一切x∈R,都有f(x)=-f(x-a)或f(x)=-1f(x-a),那么函数y=f(x)的最小正周期为|2a|.
　　(4)函数y=f(-x+a)与函数y=f(x+b)的图象关于直线x=a-b2对称
　　例如:(1)函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)则关于直线对称(x=1)
　　(2)函数y=f(x+1)与y=f(-x+1)关于直线对称(x=0)
　　6.求一个函数的解析式,要注意函数的定义域.
　　例:若f(x+1x)=x3+1x3,则f(x)=(f(x)=x3-3x(x≤-2或x≥2))
　　7.注意复合函数的定义域、值域的求法,复合函数的单调区间的求法
　　例:(1)函数f(2x)的定义域是(0,1],求f(log2x)的定义域.(2,4]
　　(2)已知函数y=logb[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若函数的定义域为R,求a的取值范围是;若函数的值域为R,求a的取值范围是.(a≤-1或a>53;-1　　(3)函数y=log12(x2-2x-3)的单调减区间为.(3,+∞)
　　(4)若函数y=log12(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.(-4　　二、平面向量、三角函数部分
　　1.要认准向量的夹角.
　　例:△ABC的面积S满足3≤S≤3,且AB•BC=6,求角B的取值范围.
　　应当先把AB•BC=6转化为BA•BC=-6,向量BA和BC的夹角才是∠B,再用数量积公式得到BA•BCcos∠B=-6,求得3π4≤B≤5π6.
　　2.不要把向量b在a方向上的投影当成向量,实际上向量b在a方向上的投影|b|•cosθ(θ为a,b的夹角)为实数.
　　3.若a与b的夹角为θ,a•b<0,θ为钝角对吗?(必须去掉反向的情况);
　　a•b>0,θ为锐角对吗?(必须去掉同向的情况)
　　4.借助于角的一个三角函数值求角时,不要忽略角的范围.
　　5.写三角函数的单调区间时要注意数形结合与书写规范,可别忘了k∈Z,更不要忘记先把x的系数化为正数.
　　例:求y=sinπ3-2x的单调区间
　　6.清楚函数y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sinx经过怎样的变换得到?
　　例:如何把函数y=2sin3x的图象变成函数y=2sin(3x+π3)的图象?如何把函数y=2sin(x+π3)的图象变成函数y=2sin(3x+π3)的图象?
　　注意先平移再放缩与先放缩再平移两种方法的区别,都能用文字语言表示出来.
　　7.在用到sinxcosx和sinx±cosx的内在关系时,易忽略t=sinx±cosx的范围.
　　例:求函数f(x)=(sinx+1)(cosx+1),x∈[0,π2]的最值.
　　8.注意解三角形问题时常用的结论
　　设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
　　(1)A>B>CsinA>sinB>sinCa>b>c
　　(2)a,b,c成等差数列sinA,sinB,sinC成等差数列;
　　a,b,c成等比数列sinA,sinB,sinC成等比数列
　　(3)已知a,b,c成等差数列,求角B的取值范围.
　　已知a,b,c成等比数列,求角B的取值范围.
　　已知a2,b2,c2成等差数列或等比数列,求角B的取值范围.
　　提示:应用cosB=a2+c2-b22ac求解,以上B的范围均为(0,π3].
　　(4)三角形解的个数你还记得吗?
　　例:在ΔABC中,a=80,b=100,A=450,则此三角形解的情况是.
　　
　　9.在解正,余弦函数的问题时,你注意正,余弦函数的有界性了吗?
　　如:sinαcosβ=12,求t=sinβcosα的范围.
　　(-12≤t≤12).
　　三、数列与不等式部分
　　1.等差数列中的重要性质不要混淆:
　　(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;不是m+n=p,则am+an=ap
　　(2)数列{an}为等差数列,则数列{a2n-1},{a2n},{kan+b}仍成等差数列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列;
　　注意:Sn,S2n,S3n不为等差数列.
　　(3)若{an},{bn}是等差数列,Sn,Tn分别为它们的前n项和,则ambm=S2m-1T2m-1;
　　注意:anbm≠S2n-1T2m-1
　　例1:{an},{bn}都是等差数列,前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=2n-13n+2,则a9b9=.
　　例2:{an},{bn}都是等差数列,前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=2n-13n+2,则a8b9=.
　　两者解法一样吗?3353,2953
　　2.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时,需要分类讨论.(q=1时,Sn=na1;q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q)
　　3.用an=Sn-Sn-1求数列的通项公式时,注意到a1=S1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
　　4.注意几个重要不等式适用的范围.
　　21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,(a,b∈R+)
　　a2+b2+c2≥ab+bc+ac,
　　a2x+b2y≥(a+b)2x+y,(x>0,y>0)
　　5.用均值不等式求最值的记忆口诀为:“一正二定三相等”,三者缺一不可.
　　例1:已知x>0,y>0,且1x+9y=1,则x+y的最小值为.
　　解析:(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy再利用均值不等式.(16)
　　6.解分式不等式f(x)g(x)>a(a≠0)应注意什么问题?(不能去分母而要移项通分)
　　7.序轴标根法解不等式的注意事项是什么?
　　①化简成多个一次因式;②x项系数为正;③“奇穿偶不穿”.
　　8.解指数、对数不等式应该注意什么问题?(利用指数函数与对数函数的单调性,注意对数的真数大于零.)
　　9.解含参数的不等式的方法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”
　　四、概率、统计部分
　　1.古典概型和几何概型的区别.
　　例如:(1)任意取实数x∈[1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为.(5099)
　　(2)任意取整数x∈[1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为.(51100)
　　2.明确概率问题的基本事件
　　例如:在等腰直角三角形ABC中,
　　(1)在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率;(22)
　　(2)过顶点C在∠ACB内任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM　　3.分清几种抽样方法的区别与联系.
　　注意它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等.
　　4.样本估计总体时,注意频率分布直方图的纵坐标常为频率/组距,小长方形的面积为其频率.
　　五、解析几何部分
　　1.设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,但要注意到直线垂直于x轴时,斜率k不存在的情况.
　　例如:一条直线经过点-3,-32,且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程.该题就要注意,不要漏掉x+3=0这一解.
　　2.注意几个角的范围,倾斜角的范围:[0,π);两向量夹角的范围:[0,π]
　　例:若a∈R,则直线xcosα+y-1=0的倾斜角的取值范围是.
　　解析:y=-xcosα+1,设倾斜角为θ,则tanθ=-cosα,|cosα|≤1知-1≤tanθ≤1,故θ∈0,π4∪3π4,π.
　　易错原因:①倾斜角理解有误;②误以为倾斜角的范围为π4,3π4.
　　3.注意距离与截距的区别,截距不是距离,研究截距时不要丢掉截距为零的情况.
　　例1:直线l过点(-4,-1),横截距是纵截距的两倍,则直线l的方程是.
　　解:设直线方程为ya+x2a=1,
　　∵直线l过点(-4,-1),有-1a+-42a=1,故a=-3,则直线l的方程为x+2y+6=0.
　　易错分析:遗漏了直线过原点的情况,正确答案是y=14x或x+2y+6=0.
　　
　　4.直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式.注意各种形式的局限性.
　　提示:有时为了避免讨论斜率的存在与否,可以设直线方程为x=my+b形式.
　　5.对不重合的两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,有
　　l1//l2A1B2=A2B1A1C2≠A2C1;l1⊥l2A1A2+B1B2=0.
　　六、导数部分
　　1.几个重要函数的导数一定要熟练掌握:
　　2.f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要非充分条件,f(x)在x0处取得极值,利用f′(x0)=0,必须要检验.
　　3.导数可以证明或判断函数的单调性,单调递增f′(x)≥0,单调递减f′(x)≤0,注意带上等号.
　　例:已知a=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=13x3+12a•x2+a•bx在R上有极值,则a与b的夹角的范围为π3,π
　　4.利用导数求最值时注意,当极值不唯一时,极值不一定是最值,要比较区间端点所对应的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值.
　　(作者:朱正峰,江苏省张家港市暨阳高级中学)