摘要:零向量应该指出其大小和方向. 向量数量积与向量加、减、数乘混合运算中,运算律首先要通过类比得到,然后再通过证明才能运用,这是对学生理性精神的一种熏陶,在章建跃主编的普通高中课程标准实验教科书《数学 4》中只证一条,其他几条应该指明类似可证,不能想当然.
　　关键词:零向量;运算律;理性精神
　　
　　高中新课程引入的向量内容,因为兼具数与形的双重特征,给学生对相关数学内容的理解与计算均带来了很多方便,因此受到高中师生的广泛欢迎. 美中不足的是,笔者认为章建跃主编的《数学4》中有两个小问题,似值得商榷.
　　
　　■零向量的问题
　　章建跃主编的《数学4》中零向量是如下定义的:长度为0的向量叫做零向量,记作0. 这种处理方法不如丘维声教授在职高数学教材《数学2》中的定义:长度为0的向量叫做零向量,记作0,它的方向不确定. 《数学2》中的定义好于《数学4》的理由如下.
　　1. 我们知道向量均是如下定义的,既有大小,又有方向的量叫做向量. 也就是说向量应该有两个要素:大小和方向. 既然0是向量,当然不仅要指出其大小,还应该指明其方向. 《数学 4》中的处理方式不利于学生形成以向量定义为中心的认知结构. 特殊向量的定义均应该指明向量的两个要素. 再比方说单位向量,《数学 4》中的定义是:长度等于1的向量称为单位向量. 如上定义,虽然可以从着眼点是其长度和定义应该简洁两方面来解析,但笔者认为在定义之后,还是作如下说明为好:对一个具体的单位向量,方向是确定的,并举例示范. 这样做不至于让学生形成错误概念.
　　2. 有利于学生理解下面的规定:零向量与任一向量平行,也与任一向量垂直. 这是因为0的方向不确定,0与一非零向量平行时,0的方向可看作与非零向量方向一致或相反,垂直时可看作与非零向量方向垂直.
　　
　　■向量的数量积问题
　　与《数学 4》相应的教师教学用书开卷就有编者所写的“中学数学概观”,其中有如下两段文字:
　　数及数的运算是一切运算系统的标兵. 让任意运算的对象和数类比,让任意对象的运算和数的运算对比,不仅能使我们获得需要研究的问题,而且能使我们产生研究方法的灵感.
　　逻辑结构编织着中学数学:中学数学中虽然没有明确的公理体系形式,但在每一次推理时,我们都有明确的推理根据. 在这个意义下,我们心目中都有一个“公理体系”,并在其中进行推理,这种潜移默化的逻辑结构的熏陶是中学数学的“灵魂”,是培养学生理性精神的载体.
　　《数学 4》通过与代数式的运算类比,得到如下运算律:
　　已知向量a,b,c和实数λ,则
　　(1)a·b=b·a;
　　(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
　　(3)(a b)·c=a·c b·c.
　　《数学 4》接下来对(3)进行了证明,并举例2.
　　例2:我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a b)2=a2 2ab b2,(a b)(a-b)=a2-b2.
　　对任意向量a,b,是否也有下面类似的结论?
　　(1)(a b)2=a2 2ab b2;
　　(2)(a b)(a-b)=a2-b2.
　　笔者认为《数学 4》对两个向量结论的证明存在不妥,理由如下:
　　(a b)2=(a b)(a b)=a·a a·b b·a b·b=a2 2ab b2,此处默认了如下运算律(a b)(c d)=a·c a·d b·c b·d,而此式是没有经过证明的. 建议作如下修改:
　　(a b)2=(a b)(a b)=(a b)·a (a b)·b=a2 b·a a·b b2=a2 2ab b2.
　　在我们刚开始讲运算律时,我们必须完全按运算律进行运算,每一步都必须在运算律中找到根据. 这是对理性精神的一种培养,步步有根据,不能想当然. 上面中的(2)也应作相应的修改,读者可以自己尝试着修改.
　　笔者曾听过一节相关内容的公开课,执教教师只是简单地说了一句,“数量积、向量加法、数乘的混合运算与数与代数式加乘的混合运算完全一致”,然后着眼于举例示范. 因为作这样的类比,学生进行相关的运算是完全不会出错,在应试中可节约大量的时间做比较难的题目,而在实际的教学中,学生理性精神的培养并未得到应有的重视. 因此我们更应该牢记主编的话,数学教学不只是让学生会解题,更应该着力于培养学生的理性精神. 从这个意义上看,上面的修改是非常必要的,是主编意图的体现.